\[
\mathbf{S}=[\mathbf{b}\quad \mathbf{Ab}\quad \mathbf{A}^2\mathbf{b}]=\begin{bmatrix}2 & -4 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 1 & -5\end{bmatrix}
\]
由于 \(\mathrm{rank}\mathbf{S}=3=n\),所以系统可控。
系统的可观测性矩阵
\[
\mathbf{V}=\begin{bmatrix}\mathbf{c}\\\mathbf{cA}\\\mathbf{cA}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\-1 & -3 & -1\\0 & 5 & 0\end{bmatrix}
\]
由于 \(\mathrm{rank}\mathbf{V}=3=n\),所以系统可观测。
另由系统的输出可控性矩阵容易得到
\[
\mathrm{rank}\mathbf{S}_o=\mathrm{rank}[\mathbf{cb}\quad \mathbf{cAb}\quad \mathbf{cA}^2\mathbf{b}]=\mathrm{rank}[2\quad -3\quad 1]=1=q
\]
所以系统输出可控。
(7) 系统的可控性矩阵
\[
\mathbf{S}=[\mathbf{b}\quad \mathbf{Ab}\quad \mathbf{A}^2\mathbf{b}]=\begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\1 & 2 & 4\\0 & 3 & 9\end{bmatrix}
\]
由于 \(\mathrm{rank}\mathbf{S}=2<n=3\),所以系统不可控。
系统的可观测性矩阵
\[
\mathbf{V}=\begin{bmatrix}\mathbf{c}\\\mathbf{cA}\\\mathbf{cA}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\2 & 5 & 1\\4 & 13 & 1\end{bmatrix}
\]
由于 \(\mathrm{rank}\mathbf{V}=2<n=3\),所以系统不可观测。
另由系统的输出可控性矩阵容易得到
\[
\mathrm{rank}\mathbf{S}_o=\mathrm{rank}[\mathbf{cb}\quad \mathbf{cAb}\quad \mathbf{cA}^2\mathbf{b}]=1=q
\]
所以系统输出可控。
(8) 由于系统为可控标准型,所以系统可控。
系统的可观测性矩阵
\[
\mathbf{V}=\begin{bmatrix}\mathbf{c}\\\mathbf{cA}\\\vdots\\\mathbf{cA}^{n-1}\end{bmatrix}=\mathbf{I}_{n\times n}
\]
由于 \(\mathrm{rank}\mathbf{V}=n\),所以系统可观测。
另由系统的输出可控性矩阵容易得到
\[
\mathrm{rank}\mathbf{S}_o=\mathrm{rank}[\mathbf{cb}\quad \mathbf{cAb}\quad \mathbf{cA}^2\mathbf{b}]=1=q
\]
所以系统输出可控。
最后利用下列 MATLAB 程序验证上述计算,所得结果一致。
MATLAB 程序:exe926.m
A4=[1 1 0;0 1 0;0 1 1];B4=[0 1 0]';C4=[1 0 0];
str41=jctr(A4,B4)
str42=jobsv(A4,C4)
str43=jctro(A4,B4,C4,0)
·505·