试讨论参数 \(T\) 的变化对相角裕度的影响。
解 (1) 系统(1)的开环频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega) = \frac{K}{\mathrm{j}\omega(1+\mathrm{j}T\omega)} = \frac{K}{\omega\sqrt{(1+T^2\omega^2)}} \angle -90° - \arctan T\omega\]
由截止频率的定义可知
\[|G(\mathrm{j}\omega_c)| = \frac{K}{\omega_c\sqrt{(1+T^2\omega_c^2)}} = 1\]
即
\[T^2\omega_c^4 + \omega_c^2 - K^2 = 0\]
解得
\[\omega_c = \sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4K^2T^2}}{2T^2}}\]
而由相角裕度的定义可知
\[\gamma = 180° + \varphi(\omega_c) = 90° - \arctan T\omega_c = 90° - \arctan\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4K^2T^2}}{2}}\]
所以，\(\gamma\) 是 \(T\) 的减函数，即 \(T\) 增大会降低系统的相角裕度 \(\gamma\)。
(2) 系统(2)的开环频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega) = \frac{K(1+\mathrm{j}T\omega)}{-\omega^2} = \frac{K\sqrt{(1+T^2\omega^2)}}{\omega^2} \angle \arctan T\omega - 180°\]
由截止频率的定义可知
\[|G(\mathrm{j}\omega_c)| = \frac{K\sqrt{(1+T^2\omega_c^2)}}{\omega_c^2} = 1\]
即
\[\omega_c^4 - T^2K^2\omega_c^2 - K^2 = 0\]
解得
\[\omega_c = \sqrt{\frac{T^2K^2+\sqrt{T^4K^4+4K^2}}{2}}\]
而由相角裕度的定义可知
\[\gamma = 180° + \varphi(\omega_c) = \arctan T\omega_c = \arctan T\sqrt{\frac{T^2K^2+\sqrt{T^4K^4+4K^2}}{2}}\]
所以，\(\gamma\) 是 \(T\) 的增函数，即 \(T\) 增大会提高系统的相角裕度 \(\gamma\)。
5-48 由实验测得一最小相位系统的开环幅频特性的实验数据如表5-1所列，试确定系统的开环传递函数。
表5-1 实验数据表
| \(\omega\) | 0.3 | 0.5 | 1.25 | 2 | 2.5 | 5 | 6.25 | 10 | 12.5 | 20 | 25 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A\) | 9.978 | 9.79 | 9.64 | 9 | 8.78 | 6.3 | 5.3 | 3.24 | 2.3 | 0.9 | 0.6 | 0.1 | 0.01 |
解 令 \(L(\omega) = 20\lg A(\omega)\)，绘出其开环对数幅频特性；折线化处理后，得到开环对数幅频渐近特性 \(L_a(\omega)\)，如图5-93所示。由图5-93可知
当 \(0<\omega<5\) 时，斜率近似为 \(0\text{dB/dec}\)；
当 \(5<\omega<12.5\) 时，斜率近似为 \(-20\text{dB/dec}\)；