\[
\begin{array}{c|cc}
s^3 & 1 & 0.2K_1+0.09 \\
s^2 & 0.1K_1 & 0.1K_1 \\
s^1 & 0.2K_1-0.91 & \\
s^0 & 0.1K_1 & \\
\end{array}
\]
欲使系统稳定,须有
\[
\begin{cases}
0.2K_1-0.91>0 \\
0.1K_1>0
\end{cases}
\Rightarrow K_1>4.55
\]
故当放大器增益 \(K_1>4.55\) 时可以保证系统稳定。
扩展 若要求潜艇在单位阶跃下潜指令下,快速下潜,问如何确定 \(K_1\) 值?
仿真结果如图 3-2 所示。
MATLAB程序:exe304.m
k=[8 10 20 50]; figure, %将 K1 值分别取为8,10,20和50
for i=1:length(k)
numg=[0.1*k(i) 0.2*k(i) 0.1*k(i)]; deng=[1 0 0.09 0]; numh=[1];
denh=[1]; [num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh);
if i<=2, T=40; else, T=10; end
subplot(2,2,i); t=0:0.1:T; u=-1*ones(1,length(t)); lsim(num,den,u,t);
grid on;
end
动态性能指标
\(K_1=8\)：\(\sigma\%=60.7\%\)，\(t_p=2.1\text{s}\)，
\(t_s=25.5\text{s}\) \((\Delta=2\%)\)
\(K_1=10\)：\(\sigma\%=54.9\%\)，\(t_p=1.78\text{s}\)，
\(t_s=16.4\text{s}\) \((\Delta=2\%)\)
图 3-2 潜艇潜水深度控制系统下潜单位阶跃响应（MATLAB）