当 \(n(t)=0\) 时,系统的误差
\[E_r(s)=R(s)-C(s)=R(s)-\frac{200}{0.5s^2+s+200}R(s)=\frac{0.5s^2+s}{0.5s^2+s+200}R(s)\]
根据误差定义,用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[e_{ssr}(\infty)=\lim_{s\to0}sE_r(s)=\lim_{s\to0}s\cdot\frac{0.5s^2+s}{0.5s^2+s+200}\cdot R(s)\]
\[=\lim_{s\to0}s\cdot\frac{0.5s^2+s}{0.5s^2+s+200}\cdot\frac{1}{s}=0\]
当 \(r(t)=0\) 时,系统的误差
\[E_n(s)=R(s)-C(s)=-\frac{200}{0.5s^2+s+200}\cdot N(s)\]
根据误差定义,用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[e_{ssn}(\infty)=\lim_{s\to0}sE_n(s)=\lim_{s\to0}\left[-s\cdot\frac{200}{0.5s^2+s+200}\cdot N(s)\right]\]
\[=-\lim_{s\to0}s\cdot\frac{200}{0.5s^2+s+200}\cdot\frac{0.1}{s}=-0.1\]
故如图3-23(b)所示系统总的稳态误差
\[e_{ss}(\infty)=e_{ssr}(\infty)+e_{ssn}(\infty)=-0.1\]
3-31 设控制系统如图3-24所示,其中 \(K_1,K_2\) 为正常数;\(\beta\) 为非负常数。试分析:(1)\(\beta\) 值对系统稳定性的影响;(2)\(\beta\) 值对系统阶跃响应动态性能的影响;(3)\(\beta\) 值对系统斜坡响应稳态误差的影响。
图 3-24 控制系统结构图
解 根据图3-24可得系统的开环传递函数为
\[G(s)=\frac{K_1K_2}{s(s+K_2\beta)}\]
(1) \(\beta\) 值对系统稳定性的影响。
通过系统开环传递函数,可得闭环系统的特征方程为
\[D(s)=s^2+K_2\beta s+K_1K_2=0\]
由赫尔维茨判据可知,\(n=2\),若要求系统是稳定的,须有各系数为正。因此,当 \(\beta>0\) 时,系统稳定;当 \(\beta=0\) 时,系统非渐近稳定。
(2) \(\beta\) 值对系统阶跃响应动态性能的影响。
系统的开环传递函数为
\[G(s)=\frac{K_1K_2}{s(s+K_2\beta)}=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\]
则
\[\omega_n=\sqrt{K_1K_2},\quad \zeta=0.5\sqrt{K_2/K_1}\beta\]
因此,\(\beta\) 值通过影响阻尼比来影响系统的动态性能。\(\beta\) 值越小,阻尼比越小,超调量越
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