第八章 非线性控制系统分析
8-1 已知非线性系统的微分方程为
\[\dot{x}_1 = x_1(x_1^2+x_2^2-1)(x_1^2+x_2^2-9) - x_2(x_1^2+x_2^2-4)\]
\[\dot{x}_2 = x_2(x_1^2+x_2^2-1)(x_1^2+x_2^2-9) + x_1(x_1^2+x_2^2-4)\]
试分析系统奇点的类型,判断系统是否存在极限环。
解 (1) 奇点分析。首先将非线性系统的微分方程写成一般形式为
\[\dot{x}_1 = P(x_1,x_2), \quad \dot{x}_2 = Q(x_1,x_2)\]
其中 \(P,Q\) 表示非线性函数。令
\[\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}x_1} = \frac{P(x_1,x_2)}{Q(x_1,x_2)} = \frac{0}{0}\]
将增量线性化方程联立,可得系统的奇点为 \((0,0)\)。
为确定奇点类型,需计算奇点处的一阶偏导数及增量线性化方程,此时
\[a = \frac{\partial P(x_1,x_2)}{\partial x_1}\bigg|_{(0,0)} = 9, \quad b = \frac{\partial P(x_1,x_2)}{\partial x_2}\bigg|_{(0,0)} = 4\]
\[c = \frac{\partial Q(x_1,x_2)}{\partial x_1}\bigg|_{(0,0)} = -4, \quad d = \frac{\partial Q(x_1,x_2)}{\partial x_2}\bigg|_{(0,0)} = 9\]
则
\[\Delta\dot{x}_1 = a\Delta x_1 + b\Delta x_2 = 9\Delta x_1 + 4\Delta x_2\]
\[\Delta\dot{x}_2 = c\Delta x_1 + d\Delta x_2 = -4\Delta x_1 + 9\Delta x_2\]
可得系统的特征方程为
\[s^2 - (a+d)s + (ad-bc) = 0\]
特征根为
\[s_{1,2} = \frac{a+d \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad-bc)}}{2} = 9 \pm \mathrm{j}4\]
可知此时由于系统特征根为一对具有正实部的共轭复根,因此奇点 \((0,0)\) 为不稳定焦点。
(2) 极限环讨论。令 \(x_1 = r\cos\theta, x_2 = r\sin\theta\),并代入原方程后可得
\[\dot{r}\cos\theta - r(\sin\theta)\dot{\theta} = r\cos\theta(r^2-1)(r^2-9) - r\sin\theta(r^2-4)\]
\[\dot{r}\sin\theta + r(\cos\theta)\dot{\theta} = r\sin\theta(r^2-1)(r^2-9) + r\cos\theta(r^2-4)\]
经整理可知以极坐标变量 \(r\) 和 \(\theta\) 所描述的运动方程为
\[\dot{r} = (r^2-1)(r^2-9)\]
\[\dot{\theta} = r^2 - 4\]
因此可知,当 \(x_1^2+x_2^2=1\) 和 \(x_1^2+x_2^2=9\) 时,即 \(r=1\) 和 \(r=3\) 时,相轨迹为封闭圆。当 \(0<r<1\) 时,\(\dot{r}>0\),此时相轨迹向封闭单位圆发散逼近。当 \(1<r<3\) 时,\(\dot{r}<0\),此时的相轨迹向封闭单位圆收敛逼近。而当 \(r>3\) 时,\(\dot{r}>0\),此时的相轨迹发散至无穷远处。综上所述可知,系统的封闭单位圆即为该非线性系统的稳定极限环。
(3) MATLAB仿真。设系统在封闭单位圆内和单位圆外的初始状态分别 \([0.005 \quad 0]^{\mathrm{T}}\),\([-2 \quad 1.5]^{\mathrm{T}}\),利用下列MATLAB程序可绘制出系统的相轨迹图如图8-1所示。
MATLAB程序:exe801.m
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