图 9-9 系统的结构图
\[
\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&-6&-5\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u,\quad y=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}x
\]
要求：(1) 设计全维状态观测器，使其极点落在 \(\bar{\lambda}_1=\bar{\lambda}_2=\bar{\lambda}_3=-3\) 处，并求观测器输出反馈向量 \(h\)；(2) 利用状态观测器进行状态反馈，使系统极点配置在 \(\lambda_1=-6,\lambda_{2,3}=-3\pm \mathrm{j}3\) 处，并求满足要求的状态反馈增益向量 \(k\)；(3) 画出系统总体结构图。
解 (1)因可观测性矩阵
\[
V=\begin{bmatrix}c\\cA\\cA^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix},\quad \mathrm{rank}V=3=n
\]
所以系统可观测，因此可设计全维状态观测器为
\[
\dot{\hat{x}}=(A-hc)\hat{x}+bu+hy
\]
令 \(h=[h_1\quad h_2\quad h_3]^{\mathrm{T}}\)，计算
\[
A-hc=\begin{bmatrix}-h_1&1&0\\-h_2&0&1\\-h_3&-6&-5\end{bmatrix}
\]
得其特征多项式为
\[
\det[sI-(A-hc)]=s^3+(5+h_1)s^2+(6+5h_1+h_2)s+6h_1+5h_2+h_3
\]
而希望特征多项式为
\[
(s+3)^3=s^3+9s^2+27s+27
\]
比较可得
\[
h=[4\quad 1\quad -2]^{\mathrm{T}}
\]
于是可得观测器方程为
\[
\dot{\hat{x}}=\begin{bmatrix}-4&1&0\\-1&0&1\\2&-6&-5\end{bmatrix}\hat{x}+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u+\begin{bmatrix}4\\1\\-2\end{bmatrix}y
\]
(2) 因可控性矩阵
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