(4) \(f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{s+2}{s(s+1)^2(s+3)}\right]\)
\(=\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{2}{s(s+3)}-\dfrac{2s}{(s+3)(s+1)^2}-\dfrac{3}{(s+3)(s+1)^2}\right]\)
\(=\dfrac{2}{3}(1-\mathrm{e}^{-3t})-\left(\dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{-t}-t\mathrm{e}^{-t}-\dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{-3t}\right)+\left(\dfrac{3}{4}\mathrm{e}^{-3t}-\dfrac{3}{4}\mathrm{e}^{-t}+\dfrac{3}{2}t\mathrm{e}^{-t}\right)\)
\(=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}(10t-9)\mathrm{e}^{-t}+\dfrac{5}{4}\mathrm{e}^{-3t}\)
2-6 应用拉普拉斯变换终值定理求函数 \(f(t)\) 的终值，\(f(t)\) 的拉普拉斯变换式如下：
(1) \(F(s)=\dfrac{10}{s(s+1)}\)； (2) \(F(s)=\dfrac{s+1}{s(s^2+s+1)}\)。
要求通过拉普拉斯反变换，并令 \(t\rightarrow\infty\) 来证明其计算结果。
解
(1) \(f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{10}{s(s+1)}\right]=\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{10}{s}-\dfrac{10}{s+1}\right]=10(1-\mathrm{e}^{-t})\)
\(\lim_{s\to0}sF(s)=\lim_{s\to0}\dfrac{10s}{s(s+1)}=\lim_{s\to0}\dfrac{10}{s+1}=10\)
\(\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{t\to\infty}10(1-\mathrm{e}^{-t})=10\)
(2) 由于
\(\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{s+a_0}{s[(s+a)^2+\omega^2]}\right]=\dfrac{a_0}{a^2+\omega^2}+\dfrac{[(a_0+a)^2+\omega^2]^{1/2}}{\omega(a^2+\omega^2)^{1/2}}\mathrm{e}^{-at}\sin(\omega t+\varphi)\)
式中，\(\varphi=\arctan\dfrac{\omega}{a_0-a}-\arctan\dfrac{\omega}{-a}\)，则
\(f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{s+1}{s(s^2+s+1)}\right]=1+2\mathrm{e}^{-0.5t}\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t+120^\circ\right)\)
\(\lim_{s\to0}sF(s)=\lim_{s\to0}\dfrac{s(s+1)}{s(s^2+s+1)}=\lim_{s\to0}\dfrac{s+1}{s^2+s+1}=1\)
\(\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{t\to\infty}[1+2\mathrm{e}^{-0.5t}\sin(\sqrt{3}/2t+120^\circ)]=1\)
2-7 设质量-弹簧-摩擦系统如图2-3所示，图中 \(f\) 为黏性摩擦系数，\(k\) 为弹簧系数，系统的输入量为力 \(p(t)\)，系统的输出量为质量 \(m\) 的位移 \(x(t)\)。试列出系统的输入输出微分方程。
解 显然，系统的摩擦力为 \(f\dfrac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}\)，弹簧力为 \(kx(t)\)，根据牛顿第二运动定律有
\(p(t)-f\dfrac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}-kx(t)=m\dfrac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d}t^2}\)
移项整理，得系统的微分方程为
\(m\dfrac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d}t^2}+f\dfrac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}+kx(t)=p(t)\)
2-8 试列写图2-4所示机械系统的运动微分方程。
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