可针对单位阶跃输入设计最少拍系统,闭环误差脉冲传递函数为
\[\Phi_e(z) = 1 - z^{-1} = \frac{z-1}{z}\]
校正装置为
\[D(z) = \frac{1-\Phi_e(z)}{G(z)\Phi_e(z)}\]
\[= \frac{1}{K} \cdot \frac{z-e^{-\frac{1}{\tau}}}{(1-\tau+\tau e^{-\frac{1}{\tau}})z + (\tau - e^{-\frac{1}{\tau}} - \tau e^{-\frac{1}{\tau}})}\]
则闭环脉冲传递函数为 \(\Phi(z) = z^{-1}\)
其中,系数 \(K\) 和 \(\tau\) 不影响系统稳定性,系统单位阶跃响应曲线如图7-31所示。
图7-31 系统单位阶跃响应(MATLAB)
MATLAB文本:exe725.m
T=1;t=0:1:10;sys=tf([1],[1,0],T);
step(sys,t); axis([0,10,0,1.2]); grid;
7-26 已知系统结构图如图7-32所示。欲使系统具有 \(\nu=2\),并在有限拍结束过渡过程,求校正装置形式。
图7-32 闭环采样系统结构图
解 待校正系统开环脉冲传递函数为
\[G(z) = \mathscr{Z}\left[\frac{K_1K_2}{s(\tau s+1)}\right] = K_1K_2\mathscr{Z}\left[\frac{\frac{1}{\tau}}{s\left(s+\frac{1}{\tau}\right)}\right] = K_1K_2\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}\right]\]
\[= \frac{K_1K_2(1-e^{-\frac{1}{\tau}})z}{(z-1)(z-e^{-\frac{1}{\tau}})}\]
因为期望的系统为Ⅱ型系统,则开环脉冲传递函数应有两个 \(z=1\) 的极点,可见校正装置必有一个 \(z=1\) 的极点。可针对单位斜坡输入设计最少拍系统,闭环误差脉冲传递函数为
\[\Phi_e(z) = (1-z^{-1})^2 = \frac{(z-1)^2}{z^2}\]
校正装置为
\[D(z) = \frac{1-\Phi_e(z)}{G(z)\Phi_e(z)} = \frac{(z-e^{-\frac{1}{\tau}})(2z-1)}{K_1K_2(1-e^{-\frac{1}{\tau}})z(z-1)}\]
则闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z) = 2z^{-1} - z^{-2} = \frac{2z-1}{z^2}\]
其中,系数 \(K_1\) 和 \(K_2\) 不影响系统稳定性,系统单位斜坡响应曲线如图7-33所示。
MATLAB文本:exe726.m
T=1;t=0:1:10;sys=tf([2,-1],[1,0,0],T);
u=t; lsim(sys,u,t,0); grid;