图 8-51 系统的 \(\dot{e}\)-\(e\) 相轨迹及误差响应曲线
性环节在正弦信号作用下的一次谐波分量作为近似输出,再应用线性系统理论中的频域法来研究系统的频率响应特性。然而在本题中,经低通滤波得到的一次谐波分量并不足以近似描述系统的输出。因此,对于本题利用系统的时间响应来分析的相平面法分析的结果可信些。
8-21 已知图 8-52 所示非线性系统反馈通道中的测量元件具有非线性特性,试确定使系统自振稳定的 \(K\) 值范围。
图 8-52 非线性系统结构图
解 对于系统反馈通道中的非线性测量元件,其描述函数为
\[N(A)=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\pi}{2}+\arcsin\left(1-\frac{2a}{A}\right)+2\left(1-\frac{2a}{A}\right)\sqrt{\frac{a}{A}\left(1-\frac{2a}{A}\right)}\right]+\mathrm{j}\frac{4a}{\pi A}\left(\frac{a}{A}-1\right),\ A\geqslant a\]
其负倒描述函数曲线 \(-1/N(A)\) 绘制于图 8-53 中。线性部分的传递函数为
\[G(s)=\frac{K(s+0.5)}{s(s+1)(s^2+2s+2)}\]
其频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{K(\mathrm{j}\omega+0.5)}{\mathrm{j}\omega(1+\mathrm{j}\omega)[\mathrm{j}2\omega+(2-\omega^2)]}=\frac{-2.5K\omega^3+\mathrm{j}K(\omega^4-2.5\omega^2-1)}{\omega(1+\omega^2)(\omega^4+4)}\]
令虚部为零,得 \(\omega_c=1.6884\),则 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 曲线与负实轴交于点 \(c\),如图 8-53 所示。由图 8-53 可知,若要使系统自振稳定,则应使 \(c>-1\),即满足
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