\[F(s) = \mathscr{L}[A\cos\omega t] = \frac{As}{s^2+\omega^2}\]
6) 平移函数
设函数为 \(f(t)\)，当 \(t<0\) 时 \(f(t)=0\)；平移函数为 \(f(t-\alpha)1(t-\alpha)\)，其中 \(\alpha\geqslant0\)，且 \(t<\alpha\) 时 \(f(t-\alpha)1(t-\alpha)=0\)，则平移函数的拉普拉斯变换为
\[\mathscr{L}[f(t-\alpha)1(t-\alpha)] = \int_0^{\infty} f(t-\alpha)1(t-\alpha)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t\]
令 \(\tau=t-\alpha\)，有
\[\int_0^{\infty} f(t-\alpha)1(t-\alpha)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t = \int_{-\alpha}^{\infty} f(\tau)1(\tau)\mathrm{e}^{-s(\tau+\alpha)}\,\mathrm{d}\tau\]
因 \(\tau<0\) 时 \(f(\tau)1(\tau)=0\)，故有
\[\int_{-\alpha}^{\infty} f(\tau)1(\tau)\mathrm{e}^{-s(\tau+\alpha)}\,\mathrm{d}\tau = \int_0^{\infty} f(\tau)1(\tau)\mathrm{e}^{-s\tau}\mathrm{e}^{-\alpha s}\,\mathrm{d}\tau\]
\[= \mathrm{e}^{-\alpha s}\int_0^{\infty} f(\tau)\mathrm{e}^{-s\tau}\,\mathrm{d}\tau\]
\[= \mathrm{e}^{-\alpha s}F(s)\]
式中
\[F(s) = \mathscr{L}[f(t)] = \int_0^{\infty} f(t)\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{d}t\]
于是
\[\mathscr{L}[f(t-\alpha)1(t-\alpha)] = \mathrm{e}^{-\alpha s}F(s), \quad \alpha\geqslant0\]
7) 脉动函数
考虑下列脉动函数：
\[f(t) = \begin{cases} \dfrac{A}{t_0}, & 0<t<t_0 \\ 0, & t<0,\ t_0<t \end{cases}\]
式中，\(A\) 和 \(t_0\) 为常数。由于
\[f(t) = \frac{A}{t_0}1(t) - \frac{A}{t_0}1(t-t_0)\]
故脉动函数的拉普拉斯变换
\[F(s) = \mathscr{L}\left[\frac{A}{t_0}1(t)\right] - \mathscr{L}\left[\frac{A}{t_0}1(t-t_0)\right] = \frac{A}{t_0 s}(1-\mathrm{e}^{-st_0})\]
8) 脉冲函数
考虑下列脉冲函数：
\[g(t) = \begin{cases} \displaystyle\lim_{t_0\to0}\frac{A}{t_0}, & 0<t<t_0 \\ 0, & t<0,\ t_0<t \end{cases}\]
则脉冲函数的拉普拉斯变换
\[\mathscr{L}[g(t)] = \lim_{t_0\to0}\left[\frac{A}{t_0 s}(1-\mathrm{e}^{-st_0})\right] = \lim_{t_0\to0}\frac{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t_0}[A(1-\mathrm{e}^{-st_0})]}{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t_0}(t_0 s)}\]
\[= \lim_{t_0\to0}\frac{As}{s} = A\]
· 3 ·