图 7-20 闭环采样系统结构图
闭环误差脉冲传递函数为
\[\Phi_e(z)=\frac{1}{1+G(z)}=\frac{z^2-1.368z+0.368}{z^2-0.736z+0.368}\]
当 \(r(t)=1(t)\) 时，\(R(z)=\dfrac{z}{z-1}\)，故稳态误差为
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})\Phi_e(z)R(z)=\lim_{z\to1}\frac{z-1}{z}\cdot\frac{z^2-1.368z+0.368}{z^2-0.736z+0.368}\cdot\frac{z}{z-1}=0\]
当 \(r(t)=5t\) 时，\(R(z)=\dfrac{5Tz}{(z-1)^2}\)（\(T=1\)）。静态速度误差系数
\[K_v=\lim_{z\to1}[(z-1)G(z)]=1\]
故稳态误差
\[e_{ss}(\infty)=\frac{5T}{K_v}=5\]
MATLAB 验证：系统斜坡响应如图 7-21所示。
图 7-21 系统斜坡响应(MATLAB)
MATLAB 文本：exe720.m
T=1;t=0:1:10;
sys=tf([0.632,0],[1,-0.732,0.368],T);
u=5*t;lsim(sys,u,t,0);grid;
7-21 已知系统结构图如图 7-22 所示，其中 \(r(t)=1(t)\)。试求出 \(T=1.0,2.0,4.0\) 时的 \(c(nT)\)，并说明 \(T\) 对稳定性和动态性能的影响。
解 开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{(1-e^{-sT})}{s^2(s+1)}\right]=(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]=(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}\right]\]
\[=(1-z^{-1})\left[\frac{Tz}{(z-1)^2}-\frac{z}{z-1}+\frac{z}{z-e^{-T}}\right]\]
\[=\frac{(T+e^{-T}-1)z+(1-e^{-T}-Te^{-T})}{(z-1)(z-e^{-T})}\]
闭环脉冲传递函数为
图 7-22 闭环采样系统结构图
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