图 3-83 系统结构图
解 (1) 求 \(K_r=0,r(t)=1(t)\) 时的 \(K\) 及 \(K_t\)。
由图得系统开环传递函数
\[G(s)=\frac{K}{s(s+KK_t)}=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\]
该系统为Ⅰ型系统,其静态速度误差系数为
\[K_v=\frac{K}{KK_t}=\frac{1}{K_t}\]
且
\[\omega_n=\sqrt{K},\quad 2\zeta\omega_n=KK_t\]
因为
\[\sigma=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}=0.163\]
可求出
\[\zeta=\sqrt{\frac{(\ln\sigma)^2}{\pi^2+(\ln\sigma)^2}}=0.5\]
又因
\[e_{ss}(\infty)=\frac{1}{K_v}=K_t=0.25\]
\[K=\frac{2\zeta\sqrt{K}}{K_t}=4\sqrt{K}\]
而 \(K\neq0\),必有 \(K=16\)。
(2) 设计 \(K_r\)。
由图 3-83 知,系统有两条前向通路,总增益分别为
\[p_1=\frac{K_r}{s},\quad p_2=\frac{16}{s^2}\]
回路增益为
\[L_1=-\frac{4s}{s^2},\quad L_2=-\frac{16}{s^2}\]
流图特征式及余因子如下:
\[\Delta=1-L_1-L_2=1+\frac{4s}{s^2}+\frac{16}{s^2}\]
\[\Delta_1=\Delta_2=1\]
根据梅森公式,闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{p_1\Delta_1+p_2\Delta_2}{\Delta}=\frac{K_rs+16}{s^2+4s+16}\]
其等效的单位负反馈开环传递函数为
\[G_a(s)=\frac{\Phi(s)}{1-\Phi(s)}=\frac{K_rs+16}{s[s+(4-K_r)]}\]
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