图 4-90 图 4-84(b)控制系统根轨迹图(MATLAB)及与虚轴交点信息
其中等效开环传递函数
\[G_1(s)=\dfrac{100bs}{s^2+10s+100}=\dfrac{100bs}{(s+5-\mathrm{j}8.66)(s+5+\mathrm{j}8.66)}\]
① 实轴上的根轨迹：\((-\infty,0]\)。
② 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\dfrac{1}{d+5+\mathrm{j}8.66}+\dfrac{1}{d+5-\mathrm{j}8.66}=\dfrac{1}{d}\]
应有 \(d^2+10d+100=2d^2+10d\)
解得 \(d_1=-10\)，\(d_2=10\)（舍去）
③ 根轨迹的起始角
\[\theta_{p_1}=180°+\varphi_{z_1p_1}-\theta_{p_2p_1}=180°+\arctan(8.66/5)-90°=150°\]
\[\theta_{p_2}=-150°\]
根据以上几点，可以画出概略参数根轨迹如图 4-91 所示，其复数根轨迹部分实际上是以\((0,0)\)为圆心、10 为半径的圆的一部分。分离点 \(d=-10\) 处的 \(b\) 值可由模值条件求出为
\[100b=\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{2}|d-p_i|}{|d-z|}=\dfrac{100}{10}=10\Rightarrow b=0.1\]
仿真曲线如图 4-92 所示。
MATLAB 程序：exe428.m
G1=zpk([0],[-5+8.66i -5-8.66i],1); figure, rlocus(G1);
4-29 试利用根轨迹法确定下列多项式方程的根：
(1) \(s^3+2.1s^2+6.2s+4.4=0\)；
(2) \(s^5+4s^4+4s^3+s^2+2s+1=0\)。
解 (1) 多项式的等效开环传递函数为
\[G(s)=\dfrac{K}{s^3+2.1s^2+6.2s}=\dfrac{K}{s(s+1.05-\mathrm{j}2.26)(s+1.05+\mathrm{j}2.26)}\]
其中，\(K=4.4\)。系统的开环极点为