真题 · 真题(手写解答+试题)
(接上页) 三、解答(续)
解: 转折频率均为 \(\omega_1=0.01\)，\(\omega_2=0.1\)，\(\omega_3=2\)，\(\omega_4=10\)
\[40+20\lg k=60\]
\[\underline{k=10}\]
\[G(s)=\dfrac{K\left(\dfrac{s}{\omega_2}+1\right)}{s\left(\dfrac{s}{0.01}+1\right)\left(\dfrac{s}{2}+1\right)\left(\dfrac{s}{10}+1\right)}\]
\[\dfrac{20-L(\omega_1)}{\lg0.1-\lg0.01}=-40 \quad \therefore L(\omega)=20+40=60\]
\(\lg(0.01\div0.1)\)
\[20\lg\left|\dfrac{k}{\omega_1}\right|=60 \quad \therefore \dfrac{k}{\omega_1}=1000 \quad \therefore k=0.01\times1000=10\]
\[\therefore G(s)=\dfrac{10\left(\dfrac{s}{0.1}+1\right)}{s\left(\dfrac{s}{0.01}+1\right)\left(\dfrac{s}{2}+1\right)\left(\dfrac{s}{10}+1\right)}\]
(2). 开环截止频率 \(\omega_c=1\)。
\(\omega=1\)代入 (箭头指向下式)
(3). 相角裕量求法为：
\[\gamma=180-90°-\tan^{-1}\dfrac{\omega}{0.01}-\tan^{-1}\dfrac{\omega}{2}-\left\{\tan^{-1}\dfrac{\omega}{10}+\tan^{-1}\dfrac{\omega}{0.1}\right\}\geq52.五°\]
使系统稳定。
当 \(\omega=\omega_c\) 时，\(\gamma>0\)，且相角 \(\varphi(\omega)=-180°\) 时，幅值 \(h<0\)。则系统稳定。
\(\gamma<0\)，\(\varphi(\omega)=-180°\) 时，\(h>0\) 则系统不稳定。
（右侧空白处涂鸦符号：\(\dfrac{5}{2}\)，\(1-了\)，含义不明）
四、（20分）单位反馈系统的开环传递函数为：
\[G(s)=\dfrac{100}{s(0.5s+1)}\]
1) 在下面的对数坐标纸上绘制开环 Bode 图的渐近幅频特性；
2) 求系统的开环截止频率 \(\omega_c\)
（右侧空白处学生草稿：\(\dfrac{100}{s\left(\dfrac{s}{2}+1\right)}\)）
北方工业大学试卷 第3页 共6页
(接第3页) 四、解答草稿
解：开环传递函数为 \(G(S)\)（此处有一道横线贯穿删除，右侧叠写 \(\dfrac{100}{s(0.5s+1)}+\lg20\lg\)，归属存疑）
\[20\lg\dfrac{100}{\omega}=\omega\lg100=40\]
\[\varphi(\omega)=-90°-\arctan0.5\omega \qquad [-90°,-180°)\]
(2)：
\[\dfrac{0-20\lg200}{\lg\omega_c-\lg2}=-40 \quad \Rightarrow \omega_c=5\sqrt2\]
\((\omega_c)^2=2\omega^2\)（?） \(\lg\omega_c-\lg2\)
（图右上方斜向叠写、与图线交叠的算式，肉眼无法逐字确证，可辨认片段：）
\[\Rightarrow\omega_c=10\sqrt2\]
\[20\lg\left|\dfrac{k}{\omega_1}\right|=20\lg\left|\dfrac{100}{2}\right|=20\lg50\]
\[\dfrac{0-20\lg50}{\lg\omega_c-\lg2}=-40 \quad\Rightarrow\quad \omega_c=10\sqrt2\]
（其余散落片段：\(=-40\)，\(20\lg\dots=-40\lg\dots\)，\(20\lg50=-40\lg\omega\) 等，字迹斜向重叠、无法完全确证，按可辨认字符原样列出，不做推断补全）
五、（20分）已知某单位负反馈最小相位系统的开环 Nyquist 曲线如图所示，判断
1) 判断该系统的稳定性
2) 在图上标出该系统的相角裕量
解：\(P=0\)。
\[Z=P-R\]
\[=0-2(N_+-N_-)\]
\[=0.\]
\(\therefore\) 闭环稳定。
（图中标注：\(\omega_x\)，\(|G(j\omega_x)|\)，\(\dfrac{1}{h}\)，\(\omega_{cr}\)，\(G(j\omega)\)，\(\angle G(j\omega)\)，\(\underline{G(j\omega_x)}\)，坐标轴 \(j\)、\(\omega\)、\(O\)、\(-1\)）
北方工业大学试卷 第4页 共6页