四. 某单位正反馈系统,已知开环传递函数为 \(G(s)=\dfrac{k(s+1)}{s^2+4s+5}\)

(1) 求出系统的开环零点和极点;

(2) 绘制 \(k \geq 0\) 时的根轨迹图(标出分离点的坐标,和与虚轴交点);

(3) 根轨迹图上标注当阻尼比 \(\xi=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 时,对应闭环极点的位置(列计算)。

解:

(1). \(G(s)=\dfrac{k(s+1)}{s^2+4s+5}=\dfrac{k(s+1)}{(s+2-j)(s+2+j)}\)

\(\therefore\) 开环零点 \(z_1=-1\) , 开环极点 \(p_1=-2+j\) , \(p_2=-2-j\)

(2) 单位正反馈,是零度根轨迹。

① 零点 \(z_1=-1\) , 极点 \(p_1=-2+j\) , \(p_2=-2-j\)

② 在实轴上的根轨迹 为 \((-1,+\infty)\)

③ 分离点坐标 \(\displaystyle\sum \frac{1}{d-z_i}=\sum \frac{1}{d-p_i}\)

解得 \(d=\sqrt{2}-1\)

④ 与虚轴交点: \(s^2+4s+5+k(s+1)\)

令 \(4+k=0\) 出现全0行,所以 \(k=-4\) ,代入求得 \(s^2+1\)

令 \(s^2+1=0\) ,解得 \(s=\pm j1\)

图中标注:

• \(\xi=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 时的一个闭环极点 \(\left(-\dfrac{1+\sqrt{2}}{2},\ j\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right)\)
• \(\theta=45°\)
• \(\xi=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 时的另一个闭环极点 \(\left(-\dfrac{1+\sqrt{3}}{2},\ -j\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right)\)