图 4-139 \(K=2\) 时的系统单位阶跃扰动响应(MATLAB)
图 4-140 \(K=20\) 时的系统单位阶跃扰动响应(MATLAB)
4-41 已知系统开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*(s+2)}{s(s^2+5s+7)}\) ，试用 MATLAB 方法求出 \(K^*=3\) 时系统的时域指标。
解 当 \(K^*=3\) 时，可得系统的闭环特征方程为
\[D(s)=s(s^2+5s+7)+K^*(s+2)=s^3+5s^2+10s+6=0\]
可解得系统的闭环极点为
\[p_1=-1,\quad p_2=-2+\mathrm{j}1.41,\quad p_3=-2-\mathrm{j}1.41\]
该系统为典型的比例-微分控制系统，故存在一个闭环零点
\[z_1=-2\]
通过 MATLAB 也可求出闭环零、极点的分布。
MATLAB 程序：exe441.m
num=[1 2]; den=[1 5 7 0];
figure, rlocus(num,den); hold on; rlocus(num,den,3); axis([-4,1,-6,6]);
z=[-2]; p=[-1 -2+1.41i -2-1.41i]; k=3; [numc,denc]=zp2tf(z,p,k);
sys=tf(numc,denc); figure, step(sys); grid on;
由图 4-141 可以看出系统的闭环极点：\(p_1=-1\)，\(p_2=-2+\mathrm{j}1.41\)，\(p_3=-2-\mathrm{j}1.41\)。
由图 4-142 可以看出系统单位阶跃响应的调节时间：\(t_s=3.9\mathrm{s}(\Delta=2\%)\)。
图 4-141 \(1+G(s)H(s)=0\) 闭环根轨迹图(MATLAB)
图 4-142 系统单位阶跃响应曲线(MATLAB)
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