解 轮1的转矩方程为
\[
J_1 \frac{\mathrm{d}^2\theta_1}{\mathrm{d}t^2} + f_1 \frac{\mathrm{d}\theta_1}{\mathrm{d}t} + M_1 = M
\]
轮2的转矩方程为
\[
J_2 \frac{\mathrm{d}^2\theta_2}{\mathrm{d}t^2} + f_2 \frac{\mathrm{d}\theta_2}{\mathrm{d}t} = M_2
\]
对上述两式取拉普拉斯变换,并设初始条件为零,则有
\[
s(J_1 s + f_1)\Theta_1(s) + M_1(s) = M(s)
\]
\[
s(J_2 s + f_2)\Theta_2(s) = M_2(s)
\]
由于轮1和轮2做功相等,所以有
\[
M_1\theta_1 = M_2\theta_2
\]
则
\[
M_2 = M_1 \frac{\theta_1}{\theta_2} = M_1 \frac{r_2}{r_1}
\]
将\(M_1\)与\(M_2\)的关系代入上述拉普拉斯变换方程,消去中间变量\(M_1(s)\)和\(M_2(s)\),可得
\[
s(J_1 s + f_1)\frac{r_2}{r_1}\Theta_2(s) + s(J_2 s + f_2)\frac{r_1}{r_2}\Theta_2(s) = M(s)
\]
整理后可得
\[
\frac{\Theta_2(s)}{M(s)} = \frac{r_1/r_2}{s(J_1 s + f_1) + s(J_2 s + f_2)(r_1/r_2)^2} = \frac{K}{s(Js+f)}
\]
其中,\(K = r_1/r_2\);\(J = J_1 + K^2 J_2\);\(f = f_1 + K^2 f_2\)。
2-21 图2-17为齿条传动系统,电动机通过齿轮2、齿条3驱动工作台平移。设齿轮2的转动惯量为\(J_r\),节圆半径为\(r\),黏性摩擦系数为\(f\),工作台重量为\(W\),系统输入为轴1的转矩\(M\),输出为其角速度\(\omega\),试求该系统的传递函数\(\Omega(s)/M(s)\)。
解 齿条传动系统的转矩方程为
\[
J_r \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} + f\omega + M_1 = M
\]
其中\(M_1 = \dfrac{W}{g} \cdot 2\pi r \cdot \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\Big/(2\pi) = \dfrac{rW}{g}\dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\),是平移工作台的转矩。
对上式取拉普拉斯变换,并设初始条件为零,则有
\[
sJ_r\Omega(s) + f\Omega(s) + s\frac{rW}{g}\Omega(s) = M(s)
\]
故系统的传递函数为
\[
\frac{\Omega(s)}{M(s)} = \frac{1}{\left(J_r + \dfrac{W}{g}r\right)s + f} = \frac{K}{Ts+1}
\]
式中,\(K = \dfrac{1}{f}\);\(T = \dfrac{1}{f}\left(J_r + \dfrac{W}{g}r\right)\)。
2-22 设控制系统的结构图如图2-18所示。若要求系统的前向通道传递函数为