由图5-74可知,在\(L(\omega)>0\)的频段内,其对数相频曲线穿越\((2k+1)\times180°(k=-1)\)线一次,且为负穿越,则
\[N=N_{+}-N_{-}=-1\]
因\(P=0\),于是闭环极点位于\(s\)右半平面的个数为
\[Z=P-2N=0-2\times(-1)=2\]
所以,系统(3)闭环不稳定。
(4) 系统(4)的频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{100}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}0.8\omega+1)(\mathrm{j}0.25\omega+1)}\]
则系统(4)的开环对数幅频和相频特性为
\[L(\omega)=20\lg100-20\lg\omega-10\lg[1+(0.8\omega)^2]-10\lg[1+(0.25\omega)^2]\]
\[\varphi(\omega)=-90°-\arctan0.8\omega-\arctan0.25\omega\]
系统(4)的开环幅相特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{-105\omega-\mathrm{j}100(1-0.2\omega^2)}{\omega[1+(0.8\omega)^2][1+(0.25\omega)^2]}\]
系统(4)的开环对数频率特性图如图5-76所示;开环幅相特性图如图5-77所示。
图5-76 系统(4)开环对数频率特性图(MATLAB)
图5-77 系统(4)开环幅相特性图(MATLAB)
在图5-76中,因为\(v=1\),需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作\(1\times90°\)的垂线。在\(L(\omega)>0\)的频段内,其对数相频曲线穿越\((2k+1)\times180°(k=-1)\)线一次,且为负穿越,则
\[N=N_{+}-N_{-}=-1\]
而\(P=0\),于是闭环极点位于\(s\)右半平面的个数为
\[Z=P-2N=0-2\times(-1)=2\]
所以,系统(4)闭环不稳定。
(5) 系统(5)的频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{100(1+\mathrm{j}\omega)}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}0.1\omega+1)(\mathrm{j}0.5\omega+1)(\mathrm{j}0.8\omega+1)}\]