\[
E(z) = \frac{A_i z}{z - z_i}
\]
然后逐项查 \(z\) 变换表,得到
\[
e_i(nT) = \mathscr{Z}^{-1}\left[\frac{A_i z}{z - z_i}\right], \qquad i = 1, 2, \cdots, n
\]
最后写出 \(E(z)\) 对应的采样函数
\[
e^*(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{i=1}^{n} e_i(nT)\delta(t - nT)
\]
2) 幂级数法
幂级数法又称综合除法。由 \(z\) 变换表可知,\(z\) 变换函数 \(E(z)\) 可以表示为
\[
E(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_m z^{-m}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \cdots + a_n z^{-n}}, \qquad m \leqslant n
\]
式中,\(a_i(i=1,2,\cdots,n)\) 和 \(b_j(j=0,1,\cdots,m)\) 均为常系数。对上式表达的 \(E(z)\) 作综合除法,得到按 \(z^{-1}\) 升幂排列的幂级数展开式
\[
E(z) = c_0 + c_1 z^{-1} + c_2 z^{-2} + \cdots + c_n z^{-n} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} c_n z^{-n}
\]
如果所得到的无穷幂级数是收敛的,则由 \(z\) 变换定义可知,幂级数展开式中的系数 \(c_n(n=0,1,\cdots,n)\) 就是采用脉冲序列 \(e^*(t)\) 的脉冲强度 \(e(nT)\)。因此可得 \(E(z)\) 对应的采样函数
\[
e^*(t) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \delta(t - nT)
\]
3) 反演积分法
反演积分法又称留数法。当 \(z\) 变换函数 \(E(z)\) 为超越函数时,无法应用部分分式法及幂级数法来求 \(z\) 反变换,而只能采用反演积分法。当然,反演积分法对 \(E(z)\) 为真有理分式的情况也是适用的。由于 \(E(z)\) 的幂级数展开式为
\[
E(z) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) z^{-n} = e(0) + e(T) z^{-1} + e(2T) z^{-2} + \cdots + e(nT) z^{-n} + \cdots
\]
所以函数 \(E(z)\) 可以看成是 \(z\) 平面上的劳伦级数。级数的各系数 \(e(nT), n=0,1,\cdots\) 可以由积分的方法求出。因为在求积分值时要应用柯西留数定理,故也称留数法。用 \(z^{n-1}\) 乘以幂级数展开式两端
\[
E(z) z^{n-1} = e(0) z^{n-1} + e(T) z^{n-2} + \cdots + e(nT) z^{-1} + \cdots
\]
设 \(\Gamma\) 为 \(z\) 平面上包围 \(E(z)z^{n-1}\) 全部极点的封闭曲线,且设沿 \(\Gamma\) 反时针方向对上式两端同时积分,可得
\[
\oint_{\Gamma} E(z) z^{n-1} \, \mathrm{d}z = \oint_{\Gamma} e(0) z^{n-1} \, \mathrm{d}z + \oint_{\Gamma} e(T) z^{n-2} \, \mathrm{d}z + \cdots + \oint_{\Gamma} e(nT) z^{-1} \, \mathrm{d}z + \cdots
\]
由复变函数论可知,对于围绕原点的积分闭路 \(\Gamma\),有如下关系式:
\[
\oint_{\Gamma} z^{k-n-1} \, \mathrm{d}z = \begin{cases} 0, & k \neq n \\ 2\pi \mathrm{j}, & k = n \end{cases}
\]
因此在积分式中,除
\[
\oint_{\Gamma} e(nT) z^{-1} \, \mathrm{d}z = e(nT) \cdot 2\pi \mathrm{j}
\]
· 15 ·