图 5-54 \(G(s)H(s)=\dfrac{68.4}{(s+1)^2(0.1s+1)(0.03s+1)}\)开环对数频率特性图(MATLAB)
\[\Phi(\mathrm{j}\omega)=\frac{0.9}{1-\omega^2+\mathrm{j}2\zeta\omega}=\frac{0.9}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+(2\zeta\omega)^2}}\Big/-\arctan\frac{2\zeta\omega}{1-\omega^2}\ ,\quad 0<\omega\leqslant 1\]
或
\[\Phi(\mathrm{j}\omega)=\frac{0.9}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+(2\zeta\omega)^2}}\Big/-180^\circ+\arctan\frac{2\zeta\omega}{\omega^2-1}\ ,\quad \omega>1\]
当 \(r(t)=5\sin t\) 时,令
\[|c(\infty)|=\left.\frac{0.9\times5}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+(2\zeta\omega)^2}}\right|_{\omega=1}=10,\quad \text{解得}\ \zeta=0.225\]
当 \(r(t)=A\sin\omega t\) 时,要求系统输出稳态分量幅值大于 \(A\),即
\[|c(\infty)|=\frac{0.9A}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+(2\times0.225\omega)^2}}>A\]
则有
\[(1-\omega^2)^2+(0.45\omega)^2<0.81\]
故得
\[0.3358<\omega<1.2980\]
5-35
已知单位反馈系统的开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{1}{s(T_1s+1)(T_2s+1)}\),其中,\(T_1,T_2>0\)。试确定使系统闭环稳定的参数 \(T_1,T_2\) 的范围。
解 系统的开环频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{\mathrm{j}\omega(1+\mathrm{j}T_1\omega)(1+\mathrm{j}T_2\omega)}=-\frac{T_1+T_2}{(1+T_1^2\omega^2)(1+T_2^2\omega^2)}-\mathrm{j}\frac{1-T_1T_2\omega^2}{\omega(1+T_1^2\omega^2)(1+T_2^2\omega^2)}\]
开环幅相特性曲线的起点:\(G(\mathrm{j}0_+)=-(T_1+T_2)-\mathrm{j}\infty\);终点:\(G(\mathrm{j}\infty)=0\)。
开环幅相特性曲线与实轴的交点:令 \(\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]=0\),解得