题海 · solution · p.314
(3) \(G(s)=\dfrac{K(s-2)}{s(s-1)}\) \((K>0)\)。
解 (1) 系统(1)的频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\dfrac{250(\mathrm{j}\omega+1)}{-\omega^{2}(\mathrm{j}\omega+5)(\mathrm{j}\omega+15)}\]
\[=-\dfrac{250(75+19\omega^{2})}{\omega^{2}(25+\omega^{2})(225+\omega^{2})}-\mathrm{j}\dfrac{250(55-\omega^{2})}{\omega(25+\omega^{2})(225+\omega^{2})}\]
开环幅相特性曲线的起点为 \(G(\mathrm{j}0_{+})=-\infty-\mathrm{j}\infty\),终点为 \(G(\mathrm{j}\infty)=0\)。
幅相特性曲线与实轴的交点:令 \(\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]=0\),解得
\[\omega_{x}=7.42,\quad G(\mathrm{j}\omega_{x})=\mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega_{x})]=-0.23\]
其中,\(\omega_{x}\) 为 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与实轴交点处的频率。开环幅相特性曲线在第Ⅱ和第Ⅲ象限间变化,如图5-103(a)所示。
因为 \(\upsilon=2\),在幅相特性曲线上 \(\omega=0_{+}\) 的对应点起逆时针补作 \(180°\) 且半径为无穷大的虚圆弧。由于 \(G(s)\) 在 \(s\) 右半平面的极点数 \(P=0\),由奈奎斯特曲线知 \(N_{-}=0,N_{+}=0\),故
\[N=N_{+}-N_{-}=0\]
应用奈奎斯特判据,算得 \(s\) 右半平面的闭环极点数为
\[Z=P-2N=0\]
所以,系统(1)闭环稳定。
(2) 系统(2)的频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\dfrac{(\mathrm{j}\omega+1)^{2}}{-\omega^{2}(\mathrm{j}3\omega+1)(\mathrm{j}0.1\omega+1)^{2}}\]
\[=-\dfrac{1+4.79\omega^{2}+0.55\omega^{4}}{\omega^{2}(1+9\omega^{2})(1+0.01\omega^{2})^{2}}+\mathrm{j}\dfrac{0.03\omega^{4}-2.01\omega^{2}+1.2}{\omega(1+9\omega^{2})(1+0.01\omega^{2})^{2}}\]
开环幅相特性曲线的起点为 \(G(\mathrm{j}0_{+})=-\infty+\mathrm{j}\infty\),终点为 \(G(\mathrm{j}\infty)=0\)。
幅相特性曲线与实轴的交点:令 \(\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]=0\),解得
\[\omega_{x1}=0.776,\quad G(\mathrm{j}\omega_{x1})=\mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega_{x1})]=-1.04\]
或
\[\omega_{x2}=8.149,\quad G(\mathrm{j}\omega_{x2})=\mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega_{x2})]=-0.025\]
其中 \(\omega_{x1}\) 和 \(\omega_{x2}\) 为 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与实轴交点处的频率。开环幅相特性曲线在第Ⅱ和第Ⅲ象限间变化,如图5-103(b)所示。
因为 \(\upsilon=2\),在幅相特性曲线上 \(\omega=0_{+}\) 的对应点起逆时针补作 \(180°\) 且半径为无穷大的虚圆弧。由于 \(G(s)\) 在 \(s\) 右半平面的极点数 \(P=0\),由奈奎斯特曲线知 \(N_{-}=1,N_{+}=1\),故
\[N=N_{+}-N_{-}=0\]
应用奈奎斯特判据,算得 \(s\) 右半平面的闭环极点数为
\[Z=P-2N=0\]
所以,系统(2)闭环稳定。
(3) 系统(3)的频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\dfrac{K(\mathrm{j}\omega-2)}{\mathrm{j}\omega(\mathrm{j}\omega-1)}=\dfrac{K}{1+\omega^{2}}-\mathrm{j}\dfrac{K(2+\omega^{2})}{\omega(1+\omega^{2})}\]
开环幅相特性曲线的起点为 \(G(\mathrm{j}0_{+})=K-\mathrm{j}\infty\),终点为 \(G(\mathrm{j}\infty)=0\)。
· 308 ·