题海 · 题解 · p.535
对上式分别左乘一个 \(\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\),则 \(\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{x}\) 仍成立。因为 \(\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0},\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{x}\neq 0\),可得
\[\lambda=\frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{x}}\]
所以
\[\lambda^{\mathrm{H}}=\bar{\lambda}=\left(\frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{x}}\right)^{\mathrm{H}}=\frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{x}}=\frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{x}}=\lambda\]
因此可知,实对称矩阵的特征值是实数。
9-48 设 \(\boldsymbol{A}\) 为常值方阵且其特征值两两相异,试证明:\(\det(e^{\boldsymbol{A}t})=e^{(\operatorname{tr}\boldsymbol{A})t}\) 一定成立,其中 \(\operatorname{tr}\boldsymbol{A}\) 表示 \(\boldsymbol{A}\) 的迹。
证明 由于 \(\boldsymbol{A}\) 为方阵且其特征值两两相异,则 \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\Lambda\boldsymbol{P}^{-1}\),其中 \(\Lambda\) 为以 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值为对角元素的对角阵。因此
\[\det(e^{\boldsymbol{A}t})=\det(e^{\boldsymbol{P}\Lambda\boldsymbol{P}^{-1}t})=\det(\boldsymbol{P}e^{\Lambda t}\boldsymbol{P}^{-1})=\det(e^{\Lambda t})\]
\[\det(e^{\Lambda t})=\det\begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n t}\end{bmatrix}=\prod_{i=1}^{n}e^{\lambda_i t}=e^{(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)t}\]
由于 \(\operatorname{tr}\boldsymbol{A}=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n\),因此可得 \(\det(e^{\boldsymbol{A}t})=e^{(\operatorname{tr}\boldsymbol{A})t}\) 一定成立,其中 \(\operatorname{tr}\boldsymbol{A}\) 表示 \(\boldsymbol{A}\) 的迹。
9-49 设单输入-单输出系统 \((\boldsymbol{A},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},d)\) 的传递函数为 \(G(s)\),试证明:
(1)
\[G(s)=\frac{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})-\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})}{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})}+d;\]
(2)
当 \(d\neq 0\) 时,
\[G(s)=d\cdot\frac{\det\left(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}+\dfrac{1}{d}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}\right)}{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})}。\]
证明 (1) 对于单输入-单输出系统 \((\boldsymbol{A},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},d)\)
\[\frac{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})-\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})}{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})}+d\]
\[=\frac{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})-\det\left[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})(\boldsymbol{I}-(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})\right]}{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})}+d\]
\[=\frac{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})-\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\det\left[\boldsymbol{I}-(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}\right]}{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})}+d\]
\[=1-\det\left[\boldsymbol{I}-(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}\right]+d\]
\[=1-\left[1-\boldsymbol{c}(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b}\right]+d\]
\[=\boldsymbol{c}(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b}+d\]
因此系统的传递函数
\[G(s)=\frac{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})-\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})}{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})}+d\]
(2) 当 \(d\neq 0\) 时
\[d\cdot\frac{\det\left(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}+\dfrac{1}{d}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}\right)}{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})}=d\cdot\frac{\det\left[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\left((s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\cdot\dfrac{1}{d}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}+\boldsymbol{I}\right)\right]}{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})}\]
\[=d\cdot\frac{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\det\left[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\cdot\dfrac{1}{d}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}+\boldsymbol{I}\right]}{\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})}\]
\[=d\cdot\left[1+\frac{1}{d}\boldsymbol{c}(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b}\right]=\boldsymbol{c}(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b}+d\]
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