\[
\frac{U_o(\mathrm{j}\omega)}{U_i(\mathrm{j}\omega)}=\frac{1+\mathrm{j}R_2C\omega}{1+\mathrm{j}(R_1+R_2)C\omega}
\]
5-2 已知飞机纵向运动方程为
\[
\begin{cases}
(p+n_{22})\Delta\alpha - p\Delta\theta = 0 \\
(n_0 p + n_{32})\Delta\alpha + (p^2+n_{33}p)\Delta\theta = -n_B\Delta\delta_B
\end{cases}
\]
试求飞机纵向回路的频率特性 \(G_{\delta_B}^{\theta}(\mathrm{j}\omega)=\dfrac{\Delta\Theta(\mathrm{j}\omega)}{\Delta\delta_B(\mathrm{j}\omega)}\) 和 \(G_{\delta_B}^{\alpha}(\mathrm{j}\omega)=\dfrac{\Delta\alpha(\mathrm{j}\omega)}{\Delta\delta_B(\mathrm{j}\omega)}\)。
解 在零初始状态下，对飞机纵向运动方程两边同时进行拉普拉斯变换，有
\[
\begin{cases}
(s+n_{22})\Delta\alpha(s) - \Delta\Theta(s)\cdot s = 0 \\
(n_0 s + n_{32})\Delta\alpha(s) + (s^2+n_{33}s)\Delta\Theta(s) = -n_B\Delta\delta_B(s)
\end{cases}
\]
可得
\[
\frac{\Delta\Theta(s)}{\Delta\delta_B(s)} = -\frac{n_B(s+n_{22})}{s\left[s^2+(n_{22}+n_{33}+n_0)s+(n_{33}n_{22}+n_{32})\right]}
\]
\[
\frac{\Delta\alpha(s)}{\Delta\delta_B(s)} = -\frac{n_B}{s^2+(n_{22}+n_{33}+n_0)s+(n_{33}n_{22}+n_{32})}
\]
故可得飞机纵向回路的频率特性
\[
G_{\delta_B}^{\theta}(\mathrm{j}\omega)=\frac{\Delta\Theta(\mathrm{j}\omega)}{\Delta\delta_B(\mathrm{j}\omega)}=-\frac{n_B(\mathrm{j}\omega+n_{22})}{(\mathrm{j}\omega)^3+(n_{22}+n_{33}+n_0)(\mathrm{j}\omega)^2+\mathrm{j}\omega(n_{33}n_{22}+n_{32})}
\]
\[
G_{\delta_B}^{\alpha}(\mathrm{j}\omega)=\frac{\Delta\alpha(\mathrm{j}\omega)}{\Delta\delta_B(\mathrm{j}\omega)}=-\frac{n_B}{(\mathrm{j}\omega)^2+\mathrm{j}\omega(n_{22}+n_{33}+n_0)+(n_{33}n_{22}+n_{32})}
\]
5-3 设系统结构图如图 5-2 所示。试根据频率特性的物理意义，求在下列输入信号作用下，系统的稳态输出 \(c_{ss}(t)\) 和稳态误差 \(e_{ss}(t)\)。
(1) \(r(t)=\sin 2t\)；
(2) \(r(t)=\sin(t+30^\circ)-2\cos(2t-45^\circ)\)。
图 5-2 反馈控制系统结构图
解 由系统结构图可得，系统的闭环传递函数和误差传递函数
\[
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{s+2}, \quad \frac{E(s)}{R(s)}=\frac{s+1}{s+2}
\]
则相应的频率特性为
\[
\frac{C(\mathrm{j}\omega)}{R(\mathrm{j}\omega)}=\frac{1}{2+\mathrm{j}\omega}=\frac{1}{\sqrt{4+\omega^2}}\angle\left(-\arctan\frac{\omega}{2}\right)
\]
\[
\frac{E(\mathrm{j}\omega)}{R(\mathrm{j}\omega)}=\frac{1+\mathrm{j}\omega}{2+\mathrm{j}\omega}=\frac{\sqrt{1+\omega^2}}{\sqrt{4+\omega^2}}\angle\left(\arctan\omega-\arctan\frac{\omega}{2}\right)
\]
由频率特性的定义可知：
(1) 当 \(r(t)=\sin 2t\) 时
\[
c_{ss}(t)=\sqrt{\frac{1}{4+\omega^2}}\Bigg|_{\omega=2}\sin\left(2t-\arctan\frac{\omega}{2}\Bigg|_{\omega=2}\right)=0.354\sin(2t-45^\circ)
\]
\[
e_{ss}(t)=\sqrt{\frac{1+\omega^2}{4+\omega^2}}\Bigg|_{\omega=2}\sin\left[2t+\left(\arctan\omega-\arctan\frac{\omega}{2}\right)\Bigg|_{\omega=2}\right]=0.791\sin(2t+18.43^\circ)
\]
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