\[D(z) = \frac{\Phi(z)}{G(z)[1-\Phi(z)]} = \frac{z - \mathrm{e}^{-1}}{10(1-\mathrm{e}^{-1})z} = 0.1582(1 - 0.3678z^{-1})\]
7-30 已知具有可变开环增益 \(K\) 的采样系统如图7-37所示，其中采样周期 \(T=1\)。要求：(1) 确定使系统稳定的 \(K\) 值范围；(2) 说明 \(T\) 减小时，对使系统稳定的 \(K\) 值范围有何影响？
图7-37 闭环采样系统结构图
解 (1) 求使系统稳定的 \(K\) 值范围。开环脉冲传递函数为
\[G(z) = \mathscr{Z}\left[\frac{K}{s(s+4)}\right] = \frac{K}{4}\frac{(1-\mathrm{e}^{-4})z}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-4})} = \frac{0.9817Kz}{4(z^2 - 1.0183z + 0.0183)}\]
则闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z) = \frac{G(z)}{1+G(z)} = \frac{0.9817Kz}{4z^2 + (0.9817K - 4.0732)z + 0.0732}\]
特征方程为
\[D(z) = 4z^2 + (0.9817K - 4.0732)z + 0.0732 = 0\]
令 \(z = \dfrac{w+1}{w-1}\)，得
\[0.9817Kw^2 + 7.8536w + (8.1464 - 0.9817K) = 0\]
列出劳斯表
| \(w^2\) | \(0.9817K\) | \(8.1466 - 0.9817K\) |
| \(w^1\) | \(7.8534\) | \(0\) |
| \(w^0\) | \(8.1466 - 0.9817K\) |
为保证系统稳定，必须使 \(K>0\) 和 \(8.1464-0.9817K>0\)，即 \(0<K<8.2983\)。
取 \(K=1\) 和 \(K=10\) 时的单位阶跃响应曲线如图7-38所示。
图7-38 \(T=1\) 时系统单位阶跃响应(MATLAB)
(a) \(K=1\) (b) \(K=10\)
MATLAB文本：exe730a.m
figure(1)