其中,\(\omega\) 为人造卫星绕地球转动的角速度;
\[
x=\begin{bmatrix} r \\ \dot{r} \\ \theta \\ \dot{\theta} \end{bmatrix};\quad u=\begin{bmatrix} u_r \\ u_\theta \end{bmatrix};\quad y=\begin{bmatrix} r \\ \theta \end{bmatrix}
\]
式中,\(r\) 为人造卫星与地球间的距离;\(\theta\) 为人造卫星在赤道平面内绕地球的旋转角度;\(u_r\) 和 \(u_\theta\) 分别为卫星的径向和切线推力。试研究卫星的可控性。
解 系统的可控矩阵为
\[
S=\begin{bmatrix} B & AB & A^2B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2\omega \\
1 & 0 & 0 & 2\omega & -\omega^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -2\omega & 0 \\
0 & 1 & -2\omega & 0 & 0 & -4\omega^2
\end{bmatrix}
\]
由于
\[
\det\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 2\omega \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -2\omega & 0
\end{bmatrix}=-1\neq 0
\]
所以 rank\(S=4\),系统可控。
现假定切线方向变成不可操纵的,即 \(u_\theta=0\)。在这种情况下,仅仅利用径向推力 \(u_r\) 能否保证卫星绕地球正常运行?为此,写出 \(u_\theta=0\) 时的系统状态方程
\[
\dot{x}=Ax+b_r u_r=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -2\omega & 0 & 0
\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}u_r
\]
可控性矩阵为
\[
S_r=\begin{bmatrix} b_r & Ab_r & A^2b_r & A^3b_r \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & -\omega^2 \\
1 & 0 & -\omega^2 & 0 \\
0 & 0 & -2\omega & 0 \\
0 & -2\omega & 0 & 2\omega^3
\end{bmatrix}
\]
\[
\det S_r=0
\]
所以只用径向推力 \(u_r\) 时卫星不可控。
假定径向推力 \(u_r=0\),则有
\[
\dot{x}=Ax+b_\theta u_\theta=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -2\omega & 0 & 0
\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}u_\theta
\]
可控性矩阵为
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