则 \(\varphi=\arctan\left(\dfrac{8}{15}\right)=28.1°=0.49\mathrm{rad}\)
此时系统稳态输出为
\[c_s(t)=c_m\sin(t-\varphi)=32°\sin(t-28.1°)\]
故系统稳态输出 \(c_s(t)\) 对输入 \(r(t)\) 的滞后时间 \(\tau=\varphi/\omega=0.49\mathrm{s}\)。
仿真结果如图 3-60 所示。
图 3-60 系统处于临界阻尼状态时的时间响应曲线(MATLAB)
MATLAB程序:exe356.m
numg=[3200]; deng=[200 1600 0];
numh=[1]; denh=[1];
[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh);
t=0:0.01:10; u=34*sin(t);
figure, lsim(num,den,u,t);
grid on;
3-57 某控制系统如图 3-61 所示,如果 \(G_1(s)=\dfrac{\sqrt{10}(s+10)}{s+\sqrt{10}}\),\(G_2(s)=\dfrac{10}{s^2+1}\),\(H(s)=s\)。试求 \(n(t)=1(t)\) 时,系统的稳态误差 \(e_{ss}(\infty)\)。
图 3-61 控制系统结构图
解 当仅有扰动 \(n(t)=1(t)\),即 \(N(s)=\dfrac{1}{s}\) 作用时,系统的误差函数为
\[E(s)=R(s)-H(s)C(s)=-H(s)C(s)=-\frac{G_2(s)H(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}N(s)\]
\[=-\frac{10s(s+\sqrt{10})}{(s^2+1)(s+\sqrt{10})+10\sqrt{10}s(s+10)}N(s)\]
利用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{s\to0}sE(s)=-\lim_{s\to0}s\cdot\frac{10s(s+\sqrt{10})}{(s^2+1)(s+\sqrt{10})+10\sqrt{10}s(s+10)}\cdot\frac{1}{s}=0\]
故当 \(n(t)=1(t)\) 时,系统的稳态误差 \(e_{ss}(\infty)=0\)。
3-58 设控制系统如图 3-62 所示,系统输入端除有用信号 \(r(t)\) 以外,还夹杂有扰动 \(n(t)\)。已知 \(r(t)=10t\),\(n(t)=0.1\sin10t\)。试计算系统稳态误差的最大值,并概略画出初始状态为零时的输出响应 \(c(t)\) 曲线。
解 由图 3-62 可得系统的开环传递函数为
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