20、对于定常线性系统 \(\dot{x} = Ax + Bu\)，说明输出反馈对系统能测性和能控性的影响。能否通过输出反馈任意配置极点，并说明理由

答：输出反馈不改变系统的能控性和能观测性；输出反馈不能任意配置极点，因为有可能输出的维数小于状态维数。

21、对于定常线性系统 \(\dot{x} = Ax + Bu\)，给出能设计观测器并任意配置极点的条件。如果不要求任意配置观测器的极点，需要满足什么条件。带观测器的状态反馈控制器是否影响原系统的输入输出关系. 说明理由。

答：(1) 观测器存在的充要条件是，系统能观测或者系统虽不能观测但其不能观测的子系统的特征值具有负实部。

（2）由分离定理可知，原输入输出关系不会改变。

22、能控标准型、能测标准型、约旦标准型各自特点及式用范围？

能控标准型：特点是状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。适用范围是系统完全能控。

能观标准型：特点是能控标准型的对偶形式。适用范围是系统完全能观。

对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。

23、若 \(x_i = 0\) 是非线性系统 \(\dot{x} = f(x)\) 的平衡状态，简述平衡状态在李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定与大范围稳定的判别准则。

李雅普诺夫意义下的稳定：从平衡状态出发的状态轨线总离不开 \(s(\varepsilon)\)，即系统响应的幅值是有界的。

渐进稳定：如果平衡状态 \(x\) 是有界的，而且当 \(t\) 无限增长时，轨线最终收敛于 \(x_e\)，则称这种平衡状态为渐进稳定。

大范围渐进稳定：当系统满足渐进稳定，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐进稳定性，则这种平衡状态是大范围渐进稳定。

24、简述用凯莱-哈密顿定理求齐次状态方程 \(\dot{x} = Ax\) 的转移矩阵 \(e^{At}\) 的步骤（这里假设 A 的特征根互异）。

由凯莱-哈密顿定理，方阵 \(A\) 满足其自身的特征方程，即