MATLAB 程序：exe331.m
k1=10; k2=1; beta=[0 1 2 10];
for i=1:length(beta), num=[k1*k2]; den=[1 k2*beta(i) k1*k2];
figure, step(num,den); end
beta=[2 10]; t=0:0.025:10; u=t;
for i=1:length(beta), num=[k1*k2]; den=[1 k2*beta(i) k1*k2];
figure, lsim(num,den,u,t); end
3-32 已知系统闭环传递函数 \(\Phi(s)=\dfrac{a_1 s+a_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0}\)，误差定义为 \(e(t)=r(t)-c(t)\)。试求单位加速度函数输入时系统的稳态误差 \(e_{ss}(\infty)\)。
解 根据误差定义，可得
\[
E(s)=R(s)-C(s)=[1-\Phi(s)]R(s)=\frac{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_2 s^2}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0}\cdot R(s)
\]
单位加速度函数输入时，\(R(s)=1/s^3\)。用终值定理来求解系统的稳态误差，有
\[
e_{ss}(\infty)=\lim_{s\to 0} sE(s)=\lim_{s\to 0} s\cdot\frac{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_2 s^2}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0}\cdot\frac{1}{s^3}=\frac{a_2}{a_0}
\]
故单位加速度函数输入时系统的稳态误差 \(e_{ss}(\infty)=a_2/a_0\)。
3-33 设控制系统如图3-26所示。(1) 选择参数 \(K_1\) 和 \(K_t\)，使系统满足动态性能指标 \(\sigma\%\leqslant 20\%,t_s\leqslant 2(\Delta=5\%)\) 的要求；(2) 求出系统的位置误差系数 \(K_p\)、速度误差系数 \(K_v\) 和加速度误差系数 \(K_a\)。
图3-26 控制系统结构图
解 (1) 选择参数 \(K_1\) 和 \(K_t\)。
根据图3-26可得系统的开环传递函数为
\[
G(s)=\frac{K_1}{s(s+K_1 K_t)}=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}
\]
有
\[
\omega_n=\sqrt{K_1},\qquad \zeta=0.5K_t\sqrt{K_1}
\]
由动态性能要求
\[
t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}\leqslant 2\ (\Delta=5\%),\qquad \sigma\%=100\mathrm{e}^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\%\leqslant 20\%
\]
解得 \(\omega_n\geqslant 3.8\)；取 \(\omega_n=4.23,\zeta=0.46\)，则 \(K_1=18.15,K_t=0.216\)。
(2) 确定静态误差系数。
根据静态误差系数的定义式可得
$$ K_p=\lim_{s\to 0} G(s)H(s)=\lim_{s\to 0}\frac{18.15}{s(s+3.92)}=\infty $$