由\(|G(j\omega_c)|=1\)，即
\[\frac{48\sqrt{1+\omega_c^2}}{\omega_c\sqrt{1+(0.05\omega_c)^2}\sqrt{1+64\omega_c^2}}=1，\quad 解得\ \omega_c=5.84\]
再由 \(\gamma=180°+\varphi(\omega_c)=90°+\arctan\omega_c-\arctan0.05\omega_c-\arctan8\omega_c\big|_{\omega_c=5.84}=65.2°\)
而 \(M_r=\dfrac{1}{\sin\gamma}=1.10\)。
由高阶系统频域指标和时域指标的转换公式
\[\sigma\%=0.16+0.4(M_r-1)，\quad t_s=\frac{K_0\pi}{\omega_c}\]
其中
\[K_0=2+1.5(M_r-1)+2.5(M_r-1)^2=2.175\]
代入 \(M_r=1.10\) 和 \(\omega_c=5.84\)，解得
\[\sigma\%=20\%，\quad t_s=1.17\text{s}(\Delta=5\%)\]
系统单位阶跃响应曲线如图 5-98 所示，测得
\[\sigma\%=11\%，\quad t_p=0.49\text{s}，t_s=1.29\text{s}(\Delta=5\%)，t_s=1.94\text{s}(\Delta=2\%)\]
图 5-97 \(G_1(s)=1\) 时，闭环系统单位阶跃响应曲线（MATLAB）
图 5-98 \(G_1(s)=\dfrac{10(s+1)}{8s+1}\) 时，闭环系统单位阶跃响应曲线（MATLAB）
MATLAB 文本：exe550.m
G=tf(4.8,conv([1,0],[0.05,1]));
loop1=feedback(G,1);
figure(1);step(loop1);grid;
G1=tf(10*[1,1],[8,1]);
G2=G1*G;
loop2=feedback(G2,1);
figure(2);step(loop2);grid;
5-51 若高阶系统的时域指标为 \(18\%\leqslant\sigma\%\leqslant25\%，0.1\leqslant t_s(\Delta=5\%)\leqslant0.2\)，试根据经验公式确定系统的截止频率和相角裕度的范围。
解 已知高阶系统频域指标和时域指标的转换公式