考研851 自动控制原理
题海 · solution · p.464

当 \(A\to1\) 时，\(-1/N(A)\to-\infty\)；当 \(A\to\infty\)，\(-1/N(A)\to-\infty\)。

令

\[\frac{\mathrm{d}\left[-\dfrac{1}{N(A)}\right]}{\mathrm{d}A}=0\]

求得 \(A=\sqrt{2}\) 时，\(-1/N(A)\) 存在极值

\[-\frac{1}{N(A)}\bigg|_{A=\sqrt{2}a}=-\frac{\pi a}{2M}=-\frac{\pi}{6}=-0.524\]

而系统线性部分的频率特性为

\[G(\mathrm{j}\omega)=-\frac{1.1K}{0.01\omega^4+1.01\omega^2+1}-\mathrm{j}\frac{K(1-0.1\omega^2)}{0.01\omega^5+1.01\omega^3+\omega}\]

令 \(\operatorname{Im}G(\mathrm{j}\omega)=0\)，代入 \(K=11\)，可解得 \(\omega=\sqrt{10}=3.162\)，\(\operatorname{Re}G(\mathrm{j}\omega)\big|_{\omega=\sqrt{10}}=-1\)。由图 8-72 可知，由于 \(\operatorname{Re}G(\mathrm{j}\sqrt{10})=-1<-0.524\)，因此 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 曲线与 \(-1/N(A)\) 曲线相交，且有两个交点。令

\[\operatorname{Re}G(\mathrm{j}\sqrt{10})=-\frac{1}{N(A)}\]

即

\[-1=-\frac{\pi A^2}{12\sqrt{A^2-1}}\]

可得 \(A_1=1.04\)，\(A_2=3.68\)。其中 \(A_2=3.68\) 对应的交点为稳定自振点。

图:自控原理题海_p464_fig1

图 8-72　系统稳定性分析(MATLAB)

消除自激振荡，应使

\[-\frac{1}{N(A)}\bigg|_{A=\sqrt{2}a}=-\frac{\pi a}{2M}<-1\]

则继电器参数 \(a/M>0.637\) 时无自激振荡现象出现。

(2) 无自振时的继电器参数。为了消除自激振荡，应使

(3) 无自振时的 \(K\) 值调整。由于当 \(\omega=\sqrt{10}=3.162\) 时，\(G(\mathrm{j}\omega)\) 曲线与负实轴的交点坐标为

\[G(\mathrm{j}\sqrt{10})=-\frac{1.1K}{0.01\omega^4+1.01\omega^2+1}\bigg|_{\omega=\sqrt{10}}=-0.091K\]

所以，为了消除自激振荡，应使

\[-0.091K>-\frac{\pi}{6}=-0.524\]

则 \(K<5.76\) 时无自激振荡。

(4) MATLAB 验证。最后，利用下列 MATLAB 程序可得自振情形下的系统相轨迹和输出曲线分别如图 8-73 和图 8-74 所示。而当取 \(K=2\) 时，系统的相轨迹和输出曲线分别如图 8-75 和图 8-76 所示。此时系统无自激振荡，但稳态值非零。

MATLAB 程序：exe826.m

clc;clear
G=zpk([],[0 -10 -1,110]);

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