题型模块（练做题）

题型③：根轨迹类大题（绘制根轨迹 + 求 K 范围）

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写在最前面：先说三句实话

第一句：根轨迹是这门课公认较难的一类大题，别人一上来就吓唬你"这块难"。我不抹平它——它确实有几个坎（尤其"分离点"和"和虚轴的交点"）。但难，是因为步骤多，不是因为每一步烧脑。步骤多的东西，拆开一步步走，零基础也能走完。这个模块就是干这件事。

第二句：跟前面的讲解笔记不一样，这个模块先甩一道真题给你，然后手把手把它画出来、算出来。目标只有一句：这个模块走完，开场那道 30 分的真题，你自己拿笔能做出来。 不是看懂我的解答，是你自己能写。

第三句：篇幅很长，是因为我把"根轨迹到底是什么"这个最大的坎从零讲起，每个名词、每个公式、每一步"为什么"都嚼碎了。真正的解题动作只有"五步画图 + 一步求 K"，做熟了十几分钟一道。别被长度吓退——长是为了让你真的跟得上。

1. 先看目标：这就是你今天要拿下的那道真题

北方工业大学 851《自动控制原理》考研真题（1999、2001-2002、2004-2005 合集）第七题（30分）： 系统开环传递函数为 $$G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+4)}$$ 试绘制当 $K$ 由 0 至无穷大变化时系统的闭环根轨迹，并确定系统阶跃响应为周期性响应（衰减振荡）的 $K$ 值范围，同时给出系统稳定的 $K$ 值范围。

这是一道真真正正考过的真题（来源见文件顶部，不是我编的），而且分值高达 30 分。它的题干是纯文字：只给你一个式子，图是要你自己画的——所以它不受"真题图片丢失"影响，最适合拿来练手。

现在你大概率一个符号都不认识：$G(s)$ 是啥？$K$ 是啥？"根轨迹"是啥？"稳定"又凭什么和 $K$ 有关？——没关系，这正是第 2、3 节要从零补的。看完中间几节，回头再看这道题，你会发现它是可以一步步啃下来的。

2. 这类题到底在考什么（先说人话）

一句话：给你一个系统的开环传递函数，让你画出"随着放大倍数 $K$ 从 0 慢慢开大到无穷大，这个系统会怎么变"，并回答'$K$ 开到多大系统就不稳了 / 什么时候开始晃'。

打个比方你先有个感觉：把 $K$ 想成音响的音量旋钮。音量小的时候（$K$ 小），声音干净稳定；一直往大拧（$K$ 大），到某个临界点就开始啸叫、发散（系统不稳定）。根轨迹这张图，就是把"从最小音量拧到最大音量的整个过程中，系统的'脾气'怎么变"画在一张纸上。而"求稳定的 $K$ 范围"，就是回答"旋钮能拧到哪，再拧就啸叫了"。

【据考点分析，如实引用】 北方工业大学的考点分析里写：根轨迹"出的很简单……近几年根轨迹的第二问都会结合振荡、阻尼那块的知识点去求参，考的比较综合"，还特别提醒"现在不能使用计算器了"（来源：../01_结构化/考点分析/26北方工业大学专业课考点分析_p005.md）。这两句信息量很大： - 第一问基本固定：画根轨迹。是有套路的送分动作。 - 第二问结合"稳定/振荡/阻尼"求 $K$ 范围。就是开场真题那种问法。 - 不能用计算器，所以下面每一步我都会给你"不用计算器怎么算"的办法（比如分离点，允许估算、不用精确到很多位小数）。

3. 做这道题需要的最小基础（只补用得上的，别的先别管）

这一章 PPT 有九条规则、还有"0°根轨迹""参数根轨迹"一大堆（想看全貌去第07讲全章导览）。但开场这道题，用不到那么多。 我只补你这道题真正要用的，用到哪补哪。

3.0 最大的坎：根轨迹到底"是什么"（这一小节最重要，慢慢读）

这是全章第一个、也是最大的坎。抹平它你就废了，所以我从最底下讲起。

先补三个名词，一个都不许跳：

开环传递函数 $G(s)$：你可以先粗略理解成"这个系统信号加工的配方"。开场题里 $G(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+4)}$，其中 $K$ 是那个能调的放大倍数（音量旋钮），$s$ 是一个复数变量（先当成一个特殊的字母，它能取复数值）。为什么叫"开环"、传递函数怎么来的，见题型① 和第02讲，这里你只要会把它当式子用。
极点（pole）：让传递函数分母等于 0 的那些 $s$ 值。为什么盯着分母？因为分母一旦为 0，整个分式就"炸了"（变无穷大），这些让系统"炸"的点，是系统性格的关键。
开环极点：让开环传函 $G(s)$ 分母为 0 的 $s$。开场题分母是 $s(s+1)(s+4)$，令它 $=0$，得到 $s=0,\ s=-1,\ s=-4$——这就是三个开环极点。（怎么令分母为 0、求根，见 3.2。）
闭环极点：系统接成反馈回路（闭环）之后，让闭环传函分母为 0 的 $s$。它才是真正决定系统稳不稳的东西（下面 3.3 讲为什么）。闭环极点会随着 $K$ 变而移动——这是理解根轨迹的钥匙。
复平面（也叫 $s$ 平面）：一张画复数的坐标纸。任何一个复数 $s$ 都能写成 $s=\sigma+j\omega$（$\sigma$ 读"西格玛"是实部，$\omega$ 读"欧米伽"是虚部，$j$ 是虚数单位，满足 $j^2=-1$）。在这张纸上：横轴量实部 $\sigma$，纵轴量虚部 $j\omega$。一个复数就是纸上一个点。
复数不熟的，去预备知识·复数基础补五分钟就够，别去补一整本。你只要知道"复数 = 平面上一个点，实部管左右、虚部管上下"。

好，现在给根轨迹下定义（按 PPT 幻灯片 5 校正）：

\[\boxed{\text{根轨迹} = \text{当开环某个参数（这里是 }K\text{）从 }0\text{ 变到 }\infty\text{ 时，闭环极点在复平面上走过的轨迹（路径）}}\]

把这句话拆成大白话：系统有几个闭环极点，它们是复平面上的几个点。$K=0$ 时它们待在某个位置；你把 $K$ 一点点开大，这几个点就在纸上移动；$K$ 一直开到无穷大，它们一路划过的路径线，就叫根轨迹。它就是几条曲线，记录了"极点随着 $K$ 开大是怎么跑的"。

【你可能会以为】 根轨迹是把某个函数的图像画出来（像高中画 $y=x^2$ 那种）。 但其实不是。 根轨迹画的不是函数图像，而是一群点（闭环极点）随参数移动的行进路线。同一条根轨迹上，不同位置对应不同的 $K$。你可以想成：一支军队（几个极点）随着号令（$K$ 增大）在地图上行军，根轨迹就是他们走出来的行军路线图。路线上每一点都标着"这是 $K$ 等于多少时走到的"。

3.1 为什么要关心它？——因为"极点位置 = 系统的脾气"（第二个坎）

上面说闭环极点决定系统稳不稳，凭什么？这一小节把它讲透，讲透了你才知道根轨迹为什么有用。

先给一个你必须记住的对应关系（这是第三章第05讲的结论，这里直接用，并补清"为什么"）：系统响应里，每个闭环极点 $p$ 都会贡献一项形如 $e^{pt}$ 的东西（$e$ 是自然常数约 2.718，$t$ 是时间）。极点 $p=\sigma+j\omega$ 摆在复平面哪，就决定这一项是涨还是消、晃不晃：

极点位置（在复平面哪）	实部 $\sigma$	这一项 $e^{pt}$ 随时间怎样	对系统意味着
左半平面（横轴负的一侧，$\sigma<0$）	负	越来越小，趋于 0（衰减）	稳定：扰动会平息
虚轴上（纵轴，$\sigma=0$）	零	不涨不消，一直等幅晃	临界稳定：卡在稳与不稳边界
右半平面（横轴正的一侧，$\sigma>0$）	正	越来越大，冲向无穷（发散）	不稳定：一点扰动就崩

为什么？ 因为 $e^{\sigma t}$ 这个因子：$\sigma<0$ 时 $e^{\sigma t}$ 随 $t$ 增大而缩小（像 $e^{-t}$ 越来越接近 0）；$\sigma>0$ 时 $e^{\sigma t}$ 爆炸式增大；$\sigma=0$ 时 $e^{0}=1$ 不变。这就是"结果会平息还是会崩"的物理根子。想再啃细一点看第05讲 §为什么离虚轴近就衰减慢。

再看虚部 $\omega$：极点有没有虚部，决定系统晃不晃。

极点落在实轴上（$\omega=0$，纯实数极点）→ 响应不振荡，单调地爬向终值（叫"单调过程"）。
极点离开实轴、成一对共轭复数（$\omega\ne0$）→ 响应带振荡（一边衰减一边来回晃，就是"衰减振荡"）。虚部越大晃得越快。

把这两条合起来，你就懂了根轨迹为什么万能：

\[\boxed{\text{极点在左半 → 稳；越靠左 → 消得越快（快）；有没有虚部 → 晃不晃（有超调 vs 单调）}}\]

而根轨迹画的就是"极点随 $K$ 怎么跑"。所以看一眼根轨迹，你就能读出：$K$ 开到多大极点会跑到右半平面（系统变不稳）、$K$ 多大极点开始离开实轴（开始振荡）。开场真题问的"稳定 $K$ 范围""衰减振荡 $K$ 范围"，答案全写在这张图上。这就是画它的意义。

【难点·点破】 这里最容易懵的是"开环极点"和"闭环极点"打架。记死一句话：我们求根轨迹，用的是开环极点/零点（好找，令 $G(s)$ 分子分母为 0 就行）；但画出来的轨迹，是闭环极点的行踪（它才决定稳定性）。 用开环的信息，去画闭环的命运——这就是根轨迹法的巧妙之处。为什么能这么做，是"根轨迹方程"保证的，见第07讲 §三，本模块你直接用规则即可。

3.2 开环极点、开环零点怎么找（就是令分子/分母为 0）

画根轨迹的第一步永远是把开环零点、开环极点找出来。方法极简单：

开环极点：令 $G(s)$ 的分母 = 0，解出的 $s$ 就是。开场题分母 $s(s+1)(s+4)=0$，三个因子分别为 0：$s=0$、$s+1=0\Rightarrow s=-1$、$s+4=0\Rightarrow s=-4$。三个开环极点：$0,-1,-4$。
开环零点：令 $G(s)$ 的分子 = 0，解出的 $s$ 就是。开场题分子是常数 $K$（没有 $s$），所以没有有限零点，零点个数 $m=0$。

【补课】"零点""极点"两个词别记反：分子为 0 → 零点（英文 zero，"零"）；分母为 0 → 极点（分母为 0 时函数变无穷"极"大）。开场题分子是纯数字，所以零点一个都没有，这很常见，别慌。

约定两个字母，后面天天用：

$n$ = 开环极点个数。开场题 $n=3$。
$m$ = 开环零点个数。开场题 $m=0$。

3.3 这道题真正要用的绘制规则（只给用得上的，逐条讲透）

PPT 一共列了九条规则（法则1~9，见第07讲 §五）。开场这道题用到其中五条，其余四条（起始角/终止角、根之和、根之积等）这道题用不上，先不管它们（不是漏讲，是这道题确实不需要；等你做到"带复数极点"的题再补，那时你已经不怕了）。

先说一个前提，免得你以后踩坑：我们这里画的是"180° 根轨迹"，也叫常规根轨迹——就是"负反馈、$K$ 从 0 到正无穷"这种最标准的情形，绝大多数考题（包括开场真题）都是它。还有一种"0° 根轨迹"（正反馈或非最小相位系统），规则里有三条要改。怎么区分 0° 还是 180° 是另一个专门考点，见第07讲 §四、§六；本模块所有题都是标准 180°，你先按下面五条规则走就对。

规则一（法则1）· 起点和终点：轨迹从开环极点出发，奔向开环零点。 - 说什么：$K=0$ 时，闭环极点正好落在开环极点上（轨迹的起点）；$K\to\infty$ 时，闭环极点跑向开环零点（轨迹的终点）。 - 为什么：这是"根轨迹方程"直接推出来的（$K=0$ 对应分母因子起作用，$K\to\infty$ 对应分子因子起作用）。你现在把结论记住即可，推导见第07讲 §三。 - 怎么用：开场题有 3 个极点、0 个零点。3 条轨迹从 $0,-1,-4$ 出发。零点只有 0 个，那另外的轨迹去哪？——看下一条。当极点比零点多（$n>m$）时，有 $n-m$ 条轨迹跑向"无穷远处的零点"，它们沿着"渐近线"奔向无穷（规则四）。开场题 $n-m=3-0=3$，所以三条轨迹全都奔向无穷远。

规则二（法则2）· 分支数与对称性：有几条轨迹，且左右对称。 - 说什么：根轨迹的分支数（条数）= $n$ 和 $m$ 里的大者 = $\max(n,m)$；并且整张图关于横轴（实轴）上下对称。 - 为什么：闭环极点个数 = 特征方程的次数 = $\max(n,m)$，每个极点走一条轨迹，所以那么多条。对称，是因为极点要么是实数（在横轴上），要么成"共轭复数对"（上下对称的一对，比如 $-2+3j$ 和 $-2-3j$ 总是一起出现）——复数根必成共轭对，这是实系数多项式的铁律。 - 怎么用：开场题 $\max(3,0)=3$，共 3 条分支，画的时候上下必须对称（画错了一眼能看出来）。

规则三（法则3）· 实轴上哪几段有轨迹："右边零极点总数为奇数"。 - 说什么：横轴（实轴）上某一段，如果它右边的开环零点和极点加起来是奇数个，这一段就有根轨迹；偶数个就没有。 - 为什么：这条来自"相角方程"（复平面上每个零极点对某点张的角度要凑成 180° 的奇数倍）。实轴上的点，左边的零极点张 0°、右边的张 180°，只有右边是奇数个时总角才凑成 180° 的奇数倍。详细证明看第07讲，你记住"数右边、看奇偶"这个口诀就能用。 - 怎么用（开场题，极点在 $0,-1,-4$，无零点）： - 在 $-1$ 和 $0$ 之间随手点一个点（比如 $-0.5$），它右边只有一个极点（$0$），共 1 个 → 奇数 → 这段有轨迹。 - 在 $-4$ 和 $-1$ 之间点一个（比如 $-2$），右边有两个极点（$0$ 和 $-1$），共 2 个 → 偶数 → 这段没有轨迹。 - 在 $-4$ 左边点一个（比如 $-5$），右边有三个极点（$0,-1,-4$），共 3 个 → 奇数 → 这段有轨迹。 - 结论：实轴上有轨迹的是 $[-1,\ 0]$ 和 $(-\infty,\ -4]$ 两段。

规则四（法则4）· 渐近线：跑向无穷的那 $n-m$ 条，沿着哪些方向跑。 - 说什么：当 $n>m$，有 $n-m$ 条轨迹奔向无穷远，它们越到远处越贴近 $n-m$ 条直线（渐近线）。这些渐近线由两样东西定死：倾角 $\theta_k$ 和它们共同穿过实轴的那个点 $\sigma_a$。 - 两个公式（先给式子，紧跟着把每个符号、怎么用讲清，不许你背裸公式）：

\[\theta_k=\frac{(2k+1)\times180^\circ}{n-m},\qquad k=0,1,2,\dots,(n-m-1)\]

这个式子在说什么：渐近线和横轴正方向的夹角有哪几个。$n-m$ 是奔向无穷的轨迹条数（开场题 $=3$）。$k$ 依次取 $0,1,2,\dots$ 一直取到 $n-m-1$，每取一个 $k$ 算出一个角，就是一条渐近线的方向。
开场题 $n-m=3$，$k$ 取 $0,1,2$：
- $k=0$：$\theta=\dfrac{1\times180^\circ}{3}=60^\circ$
- $k=1$：$\theta=\dfrac{3\times180^\circ}{3}=180^\circ$
- $k=2$：$\theta=\dfrac{5\times180^\circ}{3}=300^\circ$（等于 $-60^\circ$，也就是朝右下）
直觉检查：三条渐近线夹角 $60^\circ、180^\circ、300^\circ$，正好把 $360^\circ$ 三等分（$360^\circ/3=120^\circ$ 间隔）。$n-m$ 条渐近线永远把整个圆等分——这可以当验算：算出来不等分就是错了。

\[\sigma_a=\frac{\big(\text{所有开环极点之和}\big)-\big(\text{所有开环零点之和}\big)}{n-m}\]

这个式子在说什么：$n-m$ 条渐近线都穿过实轴上同一个点，这个点的横坐标就是 $\sigma_a$（读"西格玛 a"，a 是渐近 asymptote 的缩写）。分子是"极点全加起来，减去零点全加起来"，分母还是那个 $n-m$。
开场题：极点之和 $=0+(-1)+(-4)=-5$；零点之和 $=0$（没有零点）；$n-m=3$。所以

\[\sigma_a=\frac{-5-0}{3}=-\frac{5}{3}\approx-1.67\]

意思是：三条渐近线都从实轴上 $-1.67$ 这个点出发，分别朝 $60^\circ、180^\circ、300^\circ$ 三个方向散开。
为什么要渐近线：轨迹奔向无穷远时你没法一直画，渐近线告诉你"它最终往哪个方向、贴着哪条斜线跑掉"，图的大轮廓就定了。

规则五（法则5）· 分离点：两条轨迹在实轴上"分家"、拐弯离开实轴的那个点。（这是 PPT 明标的难点之一） - 说什么：实轴上如果两个极点之间有一段轨迹，那么随着 $K$ 开大，从这两个极点出发、在实轴上相向而行的两条轨迹，会在某个点撞上、然后一起拐弯离开实轴（一个往上、一个往下，变成共轭复数）。这个"分家点"叫分离点，记它坐标为 $d$。 - 为什么会有它：开场题实轴段 $[-1,0]$ 夹在极点 $0$ 和 $-1$ 之间。$K=0$ 时两条轨迹分别待在 $0$ 和 $-1$；$K$ 开大，它俩沿实轴相向靠拢，撞到一起后再增大 $K$ 就没法都待在实轴上了（实轴装不下），只能一个向上一个向下拐走。这个转折点就是分离点。物理上它对应"系统开始振荡"的临界 $K$（极点从实数变成带虚部的复数，就是从"单调"变"振荡"的分界）。 - 怎么求（给公式，随后讲清怎么用、以及"不用计算器怎么办"）：分离点 $d$ 满足

\[\frac{dK}{ds}=0\]

这个式子在说什么：先从特征方程把 $K$ 解成 $s$ 的函数（$K$ 表示成关于 $s$ 的式子），再对 $s$ 求导、令导数为 0，解出的 $s$ 就是分离点候选。为什么是"$K$ 对 $s$ 求导为 0"？因为分离点是两条轨迹"撞上"处，对应 $K$ 取到极值（局部最大），极值处导数为 0。求导不熟看预备知识·导数。
开场题具体做：闭环特征方程是 $1+G(s)=0$，即 $1+\dfrac{K}{s(s+1)(s+4)}=0$，整理得

\[K=-s(s+1)(s+4)=-(s^3+5s^2+4s)\]

求导并令为 0：$\dfrac{dK}{ds}=-(3s^2+10s+4)=0$，即 $3s^2+10s+4=0$。用求根公式（$s=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，这里 $a=3,b=10,c=4$）：

\[s=\frac{-10\pm\sqrt{100-48}}{6}=\frac{-10\pm\sqrt{52}}{6}\]

$\sqrt{52}\approx7.2$（因为 $7.2^2=51.84$，够近了，考试不让用计算器时估到这就行）。于是 $s\approx\dfrac{-10+7.2}{6}=-0.47$ 或 $s\approx\dfrac{-10-7.2}{6}=-2.87$。 - 验证（PPT 特别叮嘱：算出来必须验证在不在轨迹上，不在就扔掉）：分离点必须落在"实轴上有轨迹的段"里。$-0.47$ 落在 $[-1,0]$ 段内 ✓，保留；$-2.87$ 落在 $[-4,-1]$ 段，而那段没有轨迹 ✗，扔掉。所以分离点 $d\approx-0.47$。 - 不用计算器的现实处理：分离点带根号、除不尽很常见，考研（尤其现在禁计算器）接受合理的近似值，写成 $d\approx-0.47$（或 $-0.5$ 附近）即可，判卷看的是方法对、位置对，不苛求小数点后很多位。

这五条就是开场题画图要用的全部规则。 还有一条求"稳定 $K$ 范围"要用的工具（和虚轴的交点 / 劳斯判据），放到下一节和求 $K$ 一起讲，因为它俩是连着的。

3.4 收尾工具：轨迹和虚轴的交点 → 临界 $K$（求"稳定范围"的关键）

回忆 3.1：极点跑到右半平面系统就不稳，而虚轴是稳与不稳的分界线。所以轨迹穿过虚轴的那一刻，对应的 $K$ 就是"稳定的临界值"——再大一点系统就垮了。求这个交点和临界 $K$，有两个办法，我们用最好上手的劳斯判据法（对应 PPT 法则7 的方法一）。

【补课】劳斯判据是什么（一句话够用版）：它是一张只靠"系统特征方程的系数"就能判断系统稳不稳的表格，不用真去解方程的根。规矩是：把特征方程系数按规则排成一张"劳斯表"，只要表格第一列全是正数，系统就稳定；第一列有变号，就不稳。完整用法和例子在第05讲 §劳斯判据，这里我边用边讲，你跟着走一遍就会。

思路是这样：系统稳定 $\Leftrightarrow$ 劳斯表第一列全正。让第一列"刚好某项等于 0"，解出的 $K$ 就是临界 $K$（再大就变号 → 不稳）。低于它稳、高于它不稳，"稳定范围"就出来了。具体怎么排表、怎么解，第 5 节例题里一步步带你做。

这一节记住一句话就行：稳定范围的上界 = 轨迹穿过虚轴时的那个 $K$（临界 $K$），用劳斯表求。

4. 套路：五步画图 + 一步求 K（记死这个流程）

把上面拆碎的东西串成一条固定流水线。以后每道常规根轨迹题都这么走：

第一步 · 找开环零点、极点，数出 $n$ 和 $m$。（令分母=0 得极点，分子=0 得零点。）
第二步 · 定分支数、实轴段。（分支数 $=\max(n,m)$；实轴段用"右边零极点总数为奇数"逐段判。）
第三步 · 算渐近线。（$n-m$ 条，角度 $\theta_k=\dfrac{(2k+1)180^\circ}{n-m}$，交点 $\sigma_a=\dfrac{\sum p-\sum z}{n-m}$。）
第四步 · 求分离点。（$K=-[\text{分母}]$，令 $\dfrac{dK}{ds}=0$ 解出，验证在轨迹段上才保留。）
第五步 · 求和虚轴的交点、把图连起来。（劳斯表求临界 $K$ 和交点频率；再把起点、实轴段、分离点、渐近线、虚轴交点用光滑对称的曲线连成完整根轨迹。）
第六步（求 K 范围） · 读图 + 用临界 $K$ 回答问题。（稳定范围：$0<K<$ 临界 $K$；衰减振荡范围：分离点对应的 $K$ < $K$ < 临界 $K$。）

每一步"为什么这么做"我在下面例题里边做边说。 先别背，跟着做一遍最快。

5. 例题手把手：就用开场那道 30 分真题

已知开环传函 $G(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+4)}$，$K$ 从 0 到 $\infty$。画根轨迹，求"衰减振荡"的 $K$ 范围和"稳定"的 $K$ 范围。

跟着六步走，一步不跳。

第一步：找零极点，数 $n$、$m$

令分母 $s(s+1)(s+4)=0$ → 开环极点 $0,\ -1,\ -4$，共 $n=3$ 个。
分子是常数 $K$，没有 $s$ → 无开环零点，$m=0$。

为什么先做这步：零极点是根轨迹的"起点和终点"（规则一），是整张图的骨架锚点。锚点没定，后面全乱。

第二步：分支数、实轴段

分支数 $=\max(n,m)=\max(3,0)=3$ → 3 条分支，上下对称。
实轴段（数右边零极点、看奇偶，见 3.3 规则三）：
$[-1,\ 0]$ 段：右边 1 个极点 → 奇 → 有轨迹。
$[-4,\ -1]$ 段：右边 2 个极点 → 偶 → 无。
$(-\infty,\ -4]$ 段：右边 3 个极点 → 奇 → 有轨迹。

为什么这么做：实轴上哪有线、哪没线，直接决定图的样子；也告诉你分离点该去哪段找（有线的两极点之间）。

第三步：渐近线

条数 $=n-m=3$，角度 $\theta_k=\dfrac{(2k+1)180^\circ}{3}$，$k=0,1,2$：
$k=0\Rightarrow 60^\circ$；$k=1\Rightarrow 180^\circ$；$k=2\Rightarrow 300^\circ$。
交点 $\sigma_a=\dfrac{(0-1-4)-0}{3}=\dfrac{-5}{3}\approx-1.67$。
所以：三条渐近线从实轴 $-1.67$ 出发，分别朝 $60^\circ$（右上）、$180^\circ$（正左，就沿着实轴向左）、$300^\circ$（右下）散开。

为什么这么做：轨迹（除了向左那条沿实轴跑掉的）会拐上虚轴附近、再奔无穷。渐近线告诉你它们最终朝哪个斜方向跑，图的外围轮廓就定了。

第四步：分离点

实轴有轨迹的两极点之间是 $[-1,0]$（在极点 $0$ 和 $-1$ 之间），分离点在这段里找。

从特征方程 $1+\dfrac{K}{s(s+1)(s+4)}=0$ 得 $K=-(s^3+5s^2+4s)$。
$\dfrac{dK}{ds}=-(3s^2+10s+4)=0\Rightarrow 3s^2+10s+4=0$。
求根：$s=\dfrac{-10\pm\sqrt{52}}{6}\approx-0.47$ 或 $-2.87$。
验证：$-0.47\in[-1,0]$（有轨迹）✓ 保留；$-2.87\in[-4,-1]$（无轨迹）✗ 舍去。
分离点 $d\approx-0.47$。

为什么这么做：$0$ 和 $-1$ 出发的两条轨迹相向而行，在 $-0.47$ 撞上后一起拐离实轴、变成一对共轭复数往上下走。这个点是"系统从单调过程转为振荡过程"的门槛（下面求振荡范围要用它对应的 $K$）。

顺手算一下分离点对应的 $K$（把 $d\approx-0.47$ 代回 $K=-(s^3+5s^2+4s)$）： $K\approx-\big[(-0.47)^3+5(-0.47)^2+4(-0.47)\big]=-\big[-0.10+1.10-1.88\big]=-(-0.88)=0.88$。 即 $K\approx0.88$ 时轨迹在分离点分家、系统开始振荡。（不用计算器时估到 $K\approx0.9$ 也可接受。）

第五步：和虚轴的交点 + 临界 $K$（劳斯表）

先写闭环特征方程：$1+G(s)=0\Rightarrow s(s+1)(s+4)+K=0$。展开：

\[s^3+5s^2+4s+K=0\]

【怎么展开的】 $s(s+1)=s^2+s$；再乘 $(s+4)$：$(s^2+s)(s+4)=s^3+4s^2+s^2+4s=s^3+5s^2+4s$。加上 $K$ 就是上式。不放心就自己乘一遍，纯粹小学乘法。

按劳斯判据排表（系数从高次到低次：$1,\ 5,\ 4,\ K$）。排法是：第一行取"隔一个"的系数 $1,4$，第二行取剩下的 $5,K$，往下每行用上两行交叉相乘再相减、除以上一行头元素算出来：

\[ \begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 4\\ s^2 & 5 & K\\ s^1 & \dfrac{5\times4-1\times K}{5}=\dfrac{20-K}{5} & 0\\ s^0 & K & \end{array} \]

【这张表怎么来的，别当黑盒】 $s^1$ 行那个元素 $\dfrac{20-K}{5}$ 是这么算的：用它正上方两行的第一列和第二列交叉相乘——$(s^2\text{行头})\times(s^3\text{行第二个})-(s^3\text{行头})\times(s^2\text{行第二个})$，即 $5\times4-1\times K=20-K$，再除以正上一行的头元素 $5$。$s^0$ 行就是把 $K$ 抄下来。完整机械化步骤看第05讲 §劳斯判据。

判稳定：要第一列 $1,\ 5,\ \dfrac{20-K}{5},\ K$ 全为正：

$1>0$ ✓（常数，永远成立）
$5>0$ ✓
$\dfrac{20-K}{5}>0\Rightarrow 20-K>0\Rightarrow K<20$
$K>0$

合起来：$0<K<20$ 时系统稳定。

临界 $K$ 和虚轴交点：让 $s^1$ 行那项恰好等于 0，即 $\dfrac{20-K}{5}=0\Rightarrow K=20$。此时用它上一行（$s^2$ 行）系数写"辅助方程"求纯虚根：$5s^2+K=0\Rightarrow 5s^2+20=0\Rightarrow s^2=-4\Rightarrow s=\pm j2$。

即：$K=20$ 时，两条轨迹正好穿过虚轴于 $\pm j2$（此时系统临界稳定、等幅振荡）。

为什么这么做：轨迹穿虚轴那一刻 = 极点从左半跑到右半的门槛 = 稳定的上界。劳斯表让你不用真解三次方程就把这个 $K=20$ 逼出来。

把图连起来（文字 + ASCII，不依赖任何现成图片）

现在把前面所有信息拼成整张图。按下面顺序连线，你在草稿纸上就能画出来：

在实轴标出三个开环极点 $\times$：$0,\ -1,\ -4$。
加粗实轴上有轨迹的两段：$[-1,0]$ 和 $-4$ 往左。
标分离点 $d\approx-0.47$（在 $-1$ 和 $0$ 之间靠近 $0$ 一点）。
从 $0$ 和 $-1$ 出发的两条轨迹，在 $-0.47$ 相遇后一上一下拐离实轴，向上下张开，分别穿过虚轴的 $+j2$、$-j2$（对应 $K=20$），之后贴着 $60^\circ$、$300^\circ$ 两条渐近线奔向无穷。
从 $-4$ 出发的第三条轨迹，沿负实轴一直向左跑向无穷（这就是那条 $180^\circ$ 渐近线方向）。

示意图（横轴 $\sigma$ 实部，纵轴 $j\omega$ 虚部；$\times$ 是开环极点）：

                      jω (虚轴)
                       │
              +j2 ●────┤  ← 与虚轴交点，K=20（临界稳定）
                    ╲  │ ╲
                     ╲ │  ╲  (贴 60° 渐近线奔无穷)
                      ╲│   ╲
   ←──×────────×───────┼──╳──×──────────────  σ (实轴)
     -4       -1     -5/3 ↑  0
      │              渐近线 d≈-0.47
      │              交点(分离点)
      │(第三条分支          │
      │ 沿实轴向左          │╱
      │ 奔无穷)          ╱ │╱  (贴 300° 渐近线奔无穷)
                     ╱   │
              -j2 ●───────┤  ← 与虚轴交点，K=20
                       │

（这是示意图，用来记住走势——三个极点起步、$[-1,0]$ 段相遇于分离点后上下拐走、穿虚轴于 $\pm j2$、第三条沿实轴向左。考试要求"概略画出"，画成这个样子、标清关键点即可，不需要精确到毫米。）

第六步：回答题目问的两个 $K$ 范围

题目问两件事，现在图上信息全有了：

(a) 系统稳定的 $K$ 范围：稳定 = 极点全在左半平面 = 还没穿过虚轴。轨迹在 $K=20$ 时才碰虚轴，所以

\[\boxed{0<K<20\ \text{时系统稳定}}\]

（$K=20$ 临界、等幅振荡；$K>20$ 有极点进右半平面 → 不稳。）

(b) 阶跃响应为"衰减振荡"的 $K$ 范围：回忆 3.1——响应振荡 $\Leftrightarrow$ 有一对共轭复数极点（极点离开了实轴）。极点从分离点（$K\approx0.88$）才开始离开实轴变复数；而"衰减"要求系统仍稳定（$K<20$）。所以

\[\boxed{0.88<K<20\ \text{时为衰减振荡}}\]

（顺带把整段脾气变化说全，帮你把图读透： $0<K<0.88$：三个极点都在实轴上（实根）→ 单调过程，不振荡； $K=20$：极点到虚轴 → 等幅振荡（临界）； $K>20$：极点进右半平面 → 发散振荡，系统崩。）

这道 30 分真题就做完了。 回头看第 1 节那道题——是不是从"一个符号都不认识"，变成"我知道它在问什么、也知道怎么一步步答"了？

【诚实提醒·这道题真正的难点在哪】 六步里，前三步（找零极点、实轴段、渐近线）是纯套公式的送分动作；真正卡人的是第四步分离点（求导解方程、还要验证取舍）和第五步劳斯表（排表容易手滑）。这两步第一遍做错很正常，多练两道就稳了。别因为一次卡壳就否定自己——卡的是这两个具体动作，不是"你学不会根轨迹"。

6. 你来做：一道几乎一样的变式题（带详细答案）

轮到你了。下面这题六步跟例题一模一样，只是把极点 $-4$ 换成了 $-2$，数字更干净。先自己拿笔从第一步走到第六步，再看答案。

练习题（自编，仿真题难度——特此说明：这是我按真题同等难度自己编的，不是某年真题原题，别当真题记。其开环传函 $\dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ 是根轨迹最经典的入门例子，PPT 也用它举过例）：单位负反馈系统开环传函为 $$G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}$$ $K$ 从 0 到 $\infty$。(1) 概略绘制根轨迹；(2) 求系统稳定的 $K$ 值范围。

自己先做。卡在哪，就回看对应步骤：

不知道从哪下手 / 找不到零极点？ → 回看 第 5 节第一步 和 3.2。
实轴段判不来？ → 回看 3.3 规则三（数右边、看奇偶）。
渐近线公式忘了？ → 回看 3.3 规则四 和 第 5 节第三步。
分离点不会求？ → 回看 3.3 规则五 和 第 5 节第四步。
劳斯表 / 临界 $K$ 卡住？ → 回看 3.4 和 第 5 节第五步。

详细答案：

第一步（零极点）： 分母 $s(s+1)(s+2)=0$ → 极点 $0,-1,-2$，$n=3$；分子常数 → 无零点，$m=0$。

第二步（分支数、实轴段）： 分支数 $=\max(3,0)=3$。实轴段：$[-1,0]$（右边 1 个极点，奇 → 有）、$[-2,-1]$（右边 2 个，偶 → 无）、$(-\infty,-2]$（右边 3 个，奇 → 有）。

第三步（渐近线）： $n-m=3$ 条。角度 $\theta_k=\dfrac{(2k+1)180^\circ}{3}$：$60^\circ,180^\circ,300^\circ$。交点 $\sigma_a=\dfrac{(0-1-2)-0}{3}=\dfrac{-3}{3}=-1$（正好是 $-1$，很干净）。

第四步（分离点）： $K=-s(s+1)(s+2)=-(s^3+3s^2+2s)$。$\dfrac{dK}{ds}=-(3s^2+6s+2)=0\Rightarrow 3s^2+6s+2=0$。求根 $s=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-24}}{6}=\dfrac{-6\pm\sqrt{12}}{6}$，$\sqrt{12}\approx3.46$，得 $s\approx-0.42$ 或 $-1.58$。验证：$-0.42\in[-1,0]$（有轨迹）✓ 保留；$-1.58\in[-2,-1]$（无轨迹）✗ 舍。分离点 $d\approx-0.42$。（对应 $K\approx-[(-0.42)^3+3(-0.42)^2+2(-0.42)]\approx0.38$，即 $K\approx0.38$ 起系统开始振荡。）

第五步（虚轴交点 + 临界 $K$）： 特征方程 $s(s+1)(s+2)+K=0\Rightarrow s^3+3s^2+2s+K=0$。劳斯表： $$ \begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2\ s^2 & 3 & K\ s^1 & \dfrac{3\times2-K}{3}=\dfrac{6-K}{3} & 0\ s^0 & K & \end{array} $$ 第一列全正：$\dfrac{6-K}{3}>0\Rightarrow K<6$，且 $K>0$。临界 $K=6$；辅助方程 $3s^2+K=0\Rightarrow 3s^2+6=0\Rightarrow s^2=-2\Rightarrow s=\pm j\sqrt{2}\approx\pm j1.41$。即 $K=6$ 时轨迹穿虚轴于 $\pm j\sqrt2$。

图的走势： 极点 $0,-1,-2$ 起步；$[-1,0]$ 段两条轨迹在 $-0.42$ 相遇后上下拐离实轴，穿虚轴于 $\pm j\sqrt2$（$K=6$），再贴 $60^\circ/300^\circ$ 渐近线奔无穷；第三条从 $-2$ 沿实轴向左奔无穷。三条渐近线交于 $\sigma_a=-1$。

第六步（稳定 $K$ 范围）： 轨迹在 $K=6$ 碰虚轴，所以

\[\boxed{0<K<6\ \text{时系统稳定}}\]

（延伸，图读透用：$0<K<0.38$ 单调；$0.38<K<6$ 衰减振荡；$K=6$ 等幅；$K>6$ 发散。）

做对了吗？ 只要你独立写出了"极点 $0,-1,-2$、渐近线交于 $-1$、临界 $K=6$、稳定范围 $0<K<6$、穿虚轴于 $\pm j\sqrt2$"，恭喜——你已经把这类 30 分大题的核心动作全做出来了。

这题零基础到底能不能做出来？我诚实说：画图 + 求稳定 $K$ 范围（第(2)问，也就是临界 $K$）——能，你照六步走就出来了，数字还比例题更干净（渐近线交点正好 $-1$、临界 $K$ 正好 $6$、穿虚轴正好 $\pm j\sqrt2$）。唯一会卡的还是那两处老大难：分离点求导解方程（$3s^2+6s+2=0$ 带根号、要估算、还要验证取舍）和劳斯表别排错。这两处第一遍做错太正常了，对着例题第四、五步比着做一遍就通。做错 80% 的错都出在这三个地方：(a) 分离点算完忘了验证，把不在轨迹上的根也留下了；(b) 劳斯表交叉相乘减错、或忘了除以上一行头元素；(c) 实轴段"数右边"时把左边的也数进去了。卡住就回看对应步骤，不丢人。

7. 收尾：你刚做出了 851 最硬的一类大题之一

认真说一句：根轨迹是这门课里"看起来最唬人"的题型之一，30 分一道。你刚才不是"感觉懂了"，是真的把一道 30 分真题从头画到尾、把两个 $K$ 范围都算出来了，还独立做了一道同难度的。这在这门课里是很硬的一块拼图。

如果你走到这儿能独立做出第 6 节那道变式，那么关于"这条路走不走得动"，你又多了一个正面答案：这块最唬人的骨头，你啃下来了。

这类题在真题里怎么考、常见变形和坑

本模块这种（最主线）：给开环传函（零极点/因式形式）→ 画常规根轨迹 + 求稳定/振荡的 $K$ 范围。六步走完。开场真题就是原样。据考点分析，"第二问结合振荡、阻尼、稳定去求参"是近几年固定套路。
换个问法——求"衰减振荡/单调/发散"分界：本质就是我们第六步做的——单调（全实根，$K<$ 分离点 $K$）、衰减振荡（有共轭复根且稳定）、发散振荡（进右半平面）。同一道题的三段答案。（2002 年真题三就是这么问的，来源：../01_结构化/真题/……_p006.md。）
带零点的题：分子不再是常数，比如 $\dfrac{K(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+10)}$（PPT 幻灯片21 就是这种）。多了"终止角/入射角"等规则，但前五步框架不变。等你把本模块吃透再进阶，见第08讲。
0° 根轨迹（正反馈 / 非最小相位）：要改三条与相角有关的规则（实轴段变"右边偶数"、渐近线角度变 $\dfrac{2k\times180^\circ}{n-m}$ 等）。判断该画 0° 还是 180° 本身是个考点，见第07讲 §四、§六和第09讲。本模块的题都是标准 180°。
参数根轨迹（变的不是 $K$ 是别的参数）：先做"等效变换"把那个参数凑成等效开环增益，再套本模块的规则。也见第09讲。

最容易丢分的四个坑（记住能捡不少分）： 1. 实轴段"数右边"数错——只数目标点右边的零极点，别把左边的也算进去。 2. 分离点算完不验证——求导解出的根，必须落在"实轴有轨迹的段"上才算数，不在就扔。PPT 白纸黑字叮嘱过这条。 3. 劳斯表排错——交叉相乘再相减、除以上一行头元素，一步都别漏；临界 $K$ 是让 $s^1$ 行为 0、再用 $s^2$ 行写辅助方程求交点。 4. 把 0° 当 180° 画——先看清是不是负反馈、$K$ 是不是正的从 0 到 $\infty$，是才用本模块规则；正反馈/非最小相位要换规则。

想把每条规则背后的"为什么"（相角方程、根轨迹方程、九条规则的推导）彻底弄透，回第07讲概念精讲慢慢啃。但画图和求 $K$ 的手感，你今天已经有了——这正是这个模块要给你的。

知识地图（这块拼图在整幅图的哪里）

向前串（这题靠前面什么）：靠第 2 章传递函数/开环闭环（题型①、第02讲）——没有开环传函就无从画起；靠第 3 章稳定性/劳斯判据/主导极点（第05讲）——"极点在左半才稳""劳斯表求临界 $K$"全是那儿来的；靠预备的复数、求导、解二次方程（预备知识）。
横向串（本章内部）：常规 180° 根轨迹（本模块）↔ 0° 根轨迹 ↔ 参数根轨迹，是同一套规则改几条相角相关项的三个变体（第09讲）。
向后串（后面拿它干嘛）：根轨迹是系统校正/设计（第 6 章）的主力工具之一——想让系统更快更稳，就是想办法把极点往左半平面挪、加零点把根轨迹"拉过去"。你现在会读这张图，后面才谈得上改这张图。

一句话骨架：根轨迹 = 闭环极点随 $K$ 从 0 到 ∞ 在复平面走的路线图；极点在哪决定稳不稳（左半稳）、快不快（越左越快）、晃不晃（离实轴才振荡）；画它靠五步规则（零极点→实轴段→渐近线→分离点→虚轴交点），求 $K$ 范围靠劳斯表逼出的临界 $K$。

本页涉及的知识点（点进去看它还在哪儿讲过 / 考过）

根轨迹（概念与方程）渐近线与分离点零点与极点稳定性判据·劳斯判据传递函数主导极点与高阶系统降阶参数根轨迹与等效开环与虚轴交点/出射角入射角稳态误差与误差系数零度根轨迹（正反馈）