在Ⅰ区(\(|c|<1\)),奇点为\((0,0)\),其特征方程的特征根为两纯虚根,因此奇点\((0,0)\)为中心点。在Ⅱ区(\(c>1\)),奇点为\((-1,0)\),其特征方程的特征根为两纯虚根,因此奇点\((-1,0)\)为中心点。在Ⅲ区(\(c<-1\)),奇点为\((1,0)\),其特征方程的特征根为两纯虚根,因此奇点\((1,0)\)为中心点。下面利用积分法来求解系统相轨迹。

在Ⅰ区(\(|c|<1\)) \(\quad \ddot{c}+2c=0, \quad \dot{c}\mathrm{d}\dot{c}=-2c\mathrm{d}c\)

积分可得 \(\dot{c}^2+2c^2=\dot{c}^2(0)+2c^2(0)=4\),为一椭圆。

在Ⅱ区(\(c>1\)) \(\quad \ddot{c}+c+1=0, \quad \dot{c}\mathrm{d}\dot{c}=-(1+c)\mathrm{d}c\)

积分可得 \(\dot{c}^2+(c+1)^2=\dot{c}^2(0)+[c(0)+1]^2=6\),为中心在\((-1,0)\)的圆。

在Ⅲ区(\(c<-1\)) \(\quad \ddot{c}+c-1=0, \quad \dot{c}\mathrm{d}\dot{c}=(1-c)\mathrm{d}c\)

积分可得 \(\dot{c}^2+(c-1)^2=\dot{c}^2(0)+[c(0)-1]^2=6\),为中心在\((1,0)\)的圆。

利用下列MATLAB程序,可得该非线性系统的\(\dot{c}\)-\(c\)相轨迹和输出曲线分别如图8-25和图8-26所示。由图8-25可知,相轨迹从Ⅰ区的\(A\)点\((0,2)\)处出发,在\(B\)点\((1,\sqrt{2})\)切换至Ⅱ区,运动到\(D\)点\((0,\sqrt{6}-1)\)又切换至Ⅰ区,运动到\(F\)点\((-1,-\sqrt{2})\)处后进入Ⅲ区,然后运动到\(H\)点\((-1,\sqrt{2})\)处后最终又切换回Ⅰ区,并回到\(A\)点,形成一个循环。由图8-26可见,系统的输出是一个周期运动。

图8-25 非线性系统的\(\dot{c}\)-\(c\)相轨迹(MATLAB)

图8-26 非线性系统的输出曲线(MATLAB)

MATLAB程序:exe809.m

clc;clear
t=0:0.01:10;c0=[0 2]';[t,c]=ode23('sys809',t,c0);
figure(1);plot(c(:,1),c(:,2));grid
figure(2);plot(t,c(:,1));grid

调用函数:sys809.m

function dc=sys809(t,c)
dc1=c(2);
if ((abs(c(1)))<1)
        dc2=-2*c(1);

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