第15讲 从"题目不给你传递函数"下手:奈氏曲线反推超前校正 + 有源网络实现PI

这一讲只讲两道题,但它们是第六章最"不讲武德"的两类:题目故意不直接给你校正装置的传递函数——一道给你一张曲线,一道只给你两句性能要求——让你自己把校正装置推出来;推出来之后还要用电路把它搭出来。

先把这一讲要用的每个词从地面搭起,再进题。第零节不许跳,后面卡住九成是卡在这里。

考试地位(据考点分析材料):《26北方工业大学专业课考点分析》p001 的"七类计算题"里第5项"校正系统设计"旁有星标;同页简答题考点列有"③校正装置的类型"(④是"离散稳态误差的因素",别记串);《26北方工业大学专业课考点分析》p008 的历年大题表 T7 一栏为"根据BODE图求传函和设计校正装置""绘制BODE图并求截止频率、稳态误差、相角裕度和求校正装置"。p003 的第六章考试要求原文:"掌握系统校正的基本概念;掌握PID控制规律及其对系统性能的影响;掌握串联校正的频率法、根轨迹法、期望特性法等……"。也就是说,本讲这两道题的技能点是直接对着大题去的。

零、把名词全部落地(【补前置】集中区)

【补前置】频率特性 / 频率响应。 给一个稳定的线性系统输入一个正弦波 \(\sin\omega t\),稳定之后输出还是同频率的正弦波,只有两件事变了:幅度被放大或缩小、相位被推前或拖后。 - "放大了多少倍"叫幅值(模值),记作 \(A(\omega)=|G(j\omega)|\); - "推前/拖后了多少度"叫相角(相位),记作 \(\varphi(\omega)=\angle G(j\omega)\)。 两者都随输入频率 \(\omega\) 变化,合称频率特性。求法:把传递函数 \(G(s)\) 里的 \(s\) 换成 \(j\omega\),得到 \(G(j\omega)\)。

【补前置】\(j\) 是什么。 虚数单位,\(j^2=-1\)(电类学科怕和电流 \(i\) 混才写 \(j\))。复数 \(a+jb\) 可以看成平面上从原点出发的一个箭头:它的长度 \(\sqrt{a^2+b^2}\) 就是幅值,它与横轴的夹角就是相角。所以"求 \(G(j\omega)\) 的幅值和相角"= 求那个箭头的长和角,没有更玄的东西。 两个常用小工具,本讲反复要用:\(|1+jx|=\sqrt{1+x^2}\),\(\angle(1+jx)=\arctan x\);相乘的复数,幅值相乘、相角相加;相除则幅值相除、相角相减。

【补前置】奈奎斯特曲线(奈氏曲线;ASR 念成"南布斯特/莱布斯特"都是它)。 让 \(\omega\) 从 \(0\) 变到 \(\infty\),每个 \(\omega\) 都给出一个复数 \(G(j\omega)\),也就是平面上一个点;把这些点连成线就是奈氏曲线。曲线上的箭头表示 \(\omega\) 增大的方向。 所以从一条奈氏曲线上你能直接读出:低频端的幅值和相角、高频端的幅值和相角、中间往哪个方向拱。

【补前置】开环与闭环——先把这四个符号分清,否则后面全是糊的。 本讲(以及整个第5、6章)所有指标都长在这两个词上,零基础必须一次分清。想象一个方框图:

 R(输入) →〇→ [ G(s) ] → C(输出)
          −↑                 |
           |___[ H(s) ]______|

• \(G(s)\):前向通道传递函数,从误差点出发一路到输出(本讲里 \(G=G_cG_0\),即校正装置串被控对象)。
• \(H(s)\):反馈通道传递函数,把输出量测回来送到比较点(本讲两题都是 \(H=1\),叫单位反馈)。
• 〇 是比较点,画着减号,表示 误差 \(E=R-H\cdot C\)。
• 开环传递函数 \(=G(s)H(s)\):意思是"把反馈线在比较点前剪断,信号从剪口进去、绕整整一圈回到剪口"这一路的总传递。它是一圈的总账,不是"没有反馈的系统"。
• 闭环传递函数 \(\Phi(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}\):反馈线接好不剪时,输入到输出的总传递。

分工(这条记死):\(\omega_c\)、相角裕度 \(\gamma\)、系统型别、\(K_a\)、伯德图、奈氏曲线——统统算在开环 \(G H\) 上;而"系统稳不稳、响应什么样"——看闭环(闭环极点)。 为什么这么分工:因为闭环的分母是 \(1+GH\),系统稳不稳取决于 \(1+GH=0\) 的根;而 \(GH\) 是各环节相乘得来的,拆成伯德图后变成相加、手就能画。所以工程上都是"在容易画的开环上读指标,再由开环推断闭环稳定性"。这就是奈氏判据、相角裕度这一整套方法存在的理由。 【你可能会以为】 开环就是"把反馈拆掉不要了的系统"。但其实开环是"沿反馈回路走一圈"的传递函数,反馈通道 \(H\) 也在里面(只是本讲 \(H=1\) 看不出来)。因为它描述的是回路本身的性质,回路才是决定稳定性的东西。

【补前置】对数三分钟速成(\(\lg\) 是什么)。 后面每一步都要用,先补。 - \(\lg x\) 指以10为底的对数,含义就一句话:"10 的几次方等于 \(x\)"。所以 \(\lg1=0\)(\(10^0=1\))、\(\lg10=1\)、\(\lg100=2\)、\(\lg0.1=-1\)。 - 三条运算律(全部来自"指数相加"):\(\lg(xy)=\lg x+\lg y\);\(\lg\dfrac xy=\lg x-\lg y\);\(\lg x^n=n\lg x\)。乘除变加减,这就是伯德图能"曲线相加"的根源。 - 为什么横轴要取 \(\lg\omega\):惯性环节高频段的幅值约为 \(\dfrac1{T\omega}\),取分贝后 \(20\lg\dfrac1{T\omega}=-20\lg\omega-20\lg T\)。把横坐标记作 \(u=\lg\omega\),它就成了 \(-20u+\text{常数}\),是一条标准直线(斜率 \(-20\))。横轴若用 \(\omega\) 本身,它是条曲线,手画不出来。渐近线能拼成折线,全靠这一步换元。 - 不给计算器怎么估:如 \(\lg(4/2.55)=\lg1.569\)。已知 \(\lg1=0\)、\(\lg2=0.301\)、\(\lg1.6\approx0.204\),1.569 略小于1.6,故约 \(0.196\)。有计算器就直接按 \(1.569\) 再按 \(\log\) 键(工程计算器上 \(\log\) 默认就是 \(\lg\),\(\ln\) 才是自然对数,别按错)。考场上记住 \(\lg2=0.301\)、\(\lg3=0.477\) 两个数,配合运算律基本够用。

【补前置】伯德图(Bode图;ASR 念"波德图")。 把幅值和相角分开画两张图,横轴用对数刻度 \(\lg\omega\),幅值纵轴用分贝:\(L(\omega)=20\lg A(\omega)\)。好处是串联环节相乘变成曲线相加,而且每段都近似成直线(渐近线),手就能画。

【补前置】分贝(dB)。 只是个换算:幅值 \(A\) 记作 \(20\lg A\) 分贝。\(A=1\) 对应 \(0\) dB,\(A=10\) 对应 \(20\) dB。所以"穿越零分贝线"= "幅值恰好等于1"。

【补前置】转折频率(转角频率)与 dB/dec。 一阶环节 \(\dfrac{1}{1+Ts}\) 在伯德图上以 \(\omega=\dfrac1T\) 为界:之前近似水平,之后斜率下降 \(20\) dB/dec。这个 \(\dfrac1T\) 就是转折频率。"dec"是十倍频程,"\(-20\) dB/dec"意思是频率每涨十倍、幅值掉 20 分贝。

【补前置】惯性环节。 就是 \(\dfrac{1}{1+Ts}\)。物理含义是"系统反应不过来":输入突变,输出只能慢慢爬上去,\(T\) 越大越迟钝。它在伯德图上让斜率再降 20,相角最终趋于 \(-90^\circ\)。

【补前置】积分器 \(\dfrac1s\) 与"型别"。 \(\dfrac1s\) 在时域就是"对输入做累加(积分)":只要还有一点误差,它就把误差不断累积,逼着系统把误差消掉——所以它是稳态精度的功臣。开环里含几个 \(\dfrac1s\),就叫几型系统(0型/I型/II型)。代价:每个积分器固定贡献 \(-90^\circ\) 相角滞后,是稳定性的敌人。

【补前置】截止频率 \(\omega_c\)。 开环幅值 \(A(\omega_c)=1\)(即 \(0\) dB)的那个频率,也就是伯德图幅频曲线穿过 \(0\) dB 横线的横坐标。物理意义:大致标志系统"能跟得上多快的信号",\(\omega_c\) 越大响应越快。本讲两道题的性能指标都落在它身上。

【补前置】相角裕度 \(\gamma\)。 \(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\),其中 \(\varphi(\omega_c)\) 是开环相角在截止频率处的值(通常为负)。含义:相角再多滞后 \(\gamma\) 度,系统就临界不稳。所以它衡量"离不稳还有多远",越大越稳、超调越小,工程上常要 \(30^\circ\sim60^\circ\)。

【补前置】超调(超调量 \(\sigma\%\))。 给系统一个阶跃输入(比如空调设定温度从20跳到26),输出往往不是稳稳地爬到26就停,而是冲过头到27再回落。"冲过头的那部分占最终值的百分比"就是超调量:\(\sigma\%=\dfrac{c_{\max}-c(\infty)}{c(\infty)}\times100\%\)。超调大 = 晃得厉害 = 离不稳定近,所以它和相角裕度反着走:\(\gamma\) 越大,\(\sigma\%\) 越小。

【补前置】带宽(带宽频率 \(\omega_b\))。 闭环幅频特性从低频的水平段往下掉,掉到比低频值低 \(3\) dB(即幅值降到约 \(0.707\) 倍)时的那个频率叫带宽频率。含义:比这个频率慢的信号系统跟得上,快过它的信号系统就跟丢了。带宽和 \(\omega_c\) 是同向的——\(\omega_c\) 推高,带宽跟着大,系统更快,但同时把更多高频噪声也放进来了。这就是后面知识地图里"超前校正的带宽大于滞后校正"那句话的意思。

【补前置】稳态误差 \(e_{ss}\)。 系统响应完、稳下来之后输出还差目标多少。它只跟输入形状(阶跃/斜坡/抛物线)、系统型别、开环增益有关。

【补前置】校正装置 \(G_c(s)\) 与串联校正。 原系统(被控对象)\(G_0(s)\) 性能不达标,就在它前面串一个自己设计的环节 \(G_c(s)\) 去改它的脾气。串联意味着总开环传递函数是二者相乘:\(G(s)=G_c(s)G_0(s)\)。

【补前置】超前校正。 一种能在某个频段额外补一段正相角的装置。补正相角 = 抬高相角裕度 = 允许你把 \(\omega_c\) 往右推(让系统变快)而不失稳。标准形式(据PPT幻灯片22,该处用符号 \(\alpha\),本讲统一写作 \(a\)): $\(G_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts},\qquad a>1\)$ - 这式子在说什么:分子 \(1+aTs\) 的转折频率 \(\dfrac{1}{aT}\) 比分母 \(1+Ts\) 的转折频率 \(\dfrac{1}{T}\) 更靠左(因为 \(aT>T\)),于是"先抬后压",中间那一段就产生了正相角。 - 符号是什么:\(a\) 叫分度系数,是个大于1的纯数(无量纲),决定"最多能补多少度、最多把幅值抬多高";\(T\) 是时间常数,单位秒,决定"这段超前作用发生在哪个频段"。 - 怎么用:所谓设计超前校正,就是定出 \(a\) 和 \(T\) 这两个数,别无他物。

一、例题一:只给你一条奈氏曲线,反推超前校正

1.1 题目

某系统由校正装置 \(G_c\) 与被控对象串联构成,其中 $\(G_0(s)=\frac{6.5}{s(s+1)(0.05s+1)}\)$ 校正装置不是以传递函数给出的,而是给了一条含待定参数的奈氏曲线。要求确定该串联校正网络中的参数,使校正后系统的截止频率 \(\omega_c=4\)。

老师给的三步走(要点转述):① 由奈氏曲线确定校正装置的形式;② 由性能指标反推其中的参变量;③ 对结果做校验。

【难点】这道题难在入口,不在计算。你习惯了"给函数→代公式",现在给的是一张图,得先把图翻译回函数。很多人在这里直接卡死,是因为不知道"看图该看什么"。答案是:只看两个端点 + 相角的正负。

1.2 第一步:认出这是超前校正

曲线给出的信息: - \(\omega\to0\):幅值 \(=1\),相角 \(=0^\circ\); - \(\omega\to\infty\):幅值 \(\to a\)(且 \(a>1\)),相角 \(\to0^\circ\); - 中间:幅值从 \(1\) 连续涨到 \(a\),相角在 \(0^\circ\) 与 \(90^\circ\) 之间连续变化(全程为正)。

相角全程为正、幅值从1涨到 \(a>1\) —— 这就是超前网络: $\(G_c(s)=\frac{aTs+1}{Ts+1},\quad a>1\)$

反过来验一遍(这步是"认出来"的真正依据,别跳):\(G_c(j\omega)=\dfrac{1+jaT\omega}{1+jT\omega}\)。 - \(\omega\to0\):分子分母都 \(\to1\),幅值 \(\to1\)、相角 \(\to0^\circ\)。对上。 - \(\omega\to\infty\):分子 \(\approx jaT\omega\)、分母 \(\approx jT\omega\),幅值比 \(\to a\);两个 \(j\) 各贡献 \(+90^\circ\) 与 \(-90^\circ\),相减抵消,相角 \(\to0^\circ\)。对上(转录里"90度减90度趋近于零"说的正是这件事)。 - 中间:\(\varphi(\omega)=\arctan(aT\omega)-\arctan(T\omega)\)。因为 \(a>1\),前一项恒大于后一项,所以 \(\varphi>0\) 恒成立——全程超前,名字由此而来。

【你可能会以为】既然叫超前校正,它应该在所有频率上都把相角往前推,而且推得越来越多。 但其实相角在中间某个频率达到最大值之后又降回 \(0^\circ\),幅值也只涨到 \(a\) 就不再涨。 因为它是两个转折频率不同的一阶环节相除:在两个转折频率之间基本只有分子起作用(抬升+超前),过了第二个转折频率两者都起作用、互相抵消。所以超前作用是一小段频带内的局部效果。这正是为什么整个设计的核心动作是:把这段超前作用"挪"到新的 \(\omega_c\) 那里去。

1.3 画校正前的伯德图,先求原来的 \(\omega_{c0}\)

\(G_0(s)=\dfrac{6.5}{s(s+1)(0.05s+1)}\) 由四块组成:增益 \(6.5\)、积分器 \(\dfrac1s\)、惯性环节 \(\dfrac{1}{s+1}\)(转折频率 \(\omega=1\))、惯性环节 \(\dfrac{1}{0.05s+1}\)(转折频率 \(\omega=\dfrac{1}{0.05}=20\))。

渐近线怎么画(手把手): 1. 有一个积分器 → 低频段斜率 \(-20\) dB/dec; 2. 这条低频线在 \(\omega=1\) 处的高度 \(=20\lg6.5\approx16.3\) dB(把 \(\omega=1\) 代入:积分器的模 \(|1/j|=1\),两个惯性环节此时还近似为1,只剩增益 \(6.5\)); 3. 过 \(\omega=1\) 后第一个惯性环节起作用,斜率再降20,变成 \(-40\) dB/dec; 4. 一直保持到 \(\omega=20\),第二个惯性环节起作用,变成 \(-60\) dB/dec。

求原截止频率 \(\omega_{c0}\):它落在 \(-40\) dB/dec 那段上。用两点斜率关系(就是初中的斜率公式,只是横坐标换成了 \(\lg\omega\)): $\(\frac{16.3-0}{\lg1-\lg\omega_{c0}}=-40\ \Rightarrow\ \lg\omega_{c0}\approx0.4075\ \Rightarrow\ \omega_{c0}\approx2.55\)$ 也可以解析地算,更好记:在 \(1<\omega<20\) 这一段,\(|G_0(j\omega)|\approx\dfrac{6.5}{\omega\cdot\omega}\),令其为1得 \(\omega_{c0}=\sqrt{6.5}\approx2.55\),与图解法一致。 (为什么能这么近似?因为 \(\omega\) 已远大于1,故 \(|1+j\omega|\approx\omega\);\(\omega\) 又远小于20,故 \(|1+0.05j\omega|\approx1\)。近似的本质是"只保留当前频段起主导作用的项"。)

现在:原来 \(\omega_{c0}=2.55\),要求做到 \(\omega_c=4\) —— 要把截止频率右移,让系统变快。

【难点】为什么"想变快"就必须用超前校正?这是第六章的灵魂,不是套路。 把 \(\omega_c\) 右移意味着在更高的频率处穿越 0 dB。而频率越高,原系统的相角滞后越严重(积分器固定 \(-90^\circ\),两个惯性环节各自趋向 \(-90^\circ\)),相角裕度会被吃光甚至变负——系统会不稳。所以必须在新的 \(\omega_c\) 处"还回来"一段正相角。这正是超前网络的活儿。

1.4 第二步:定 \(a\) 与 \(T\)——两条必须记死的结论

据PPT幻灯片24、25(符号统一为 \(a\)):

结论一:最大超前角出现在两个转折频率的比例中项(几何中心)处 $\(\omega_m=\frac{1}{T\sqrt a}\qquad\left(=\sqrt{\frac{1}{aT}\cdot\frac{1}{T}}\right)\)$ - 在说什么:超前作用最强的频率,正好落在 \(\dfrac{1}{aT}\) 与 \(\dfrac{1}{T}\) 的"对数中点"(几何平均)上。 - 怎么用:设计时强行令 \(\omega_m=\omega_c\),把超前作用的最强点对准新的截止频率。PPT幻灯片39原文写明"关键选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率"。

结论二:在 \(\omega_m\) 处,超前网络自身的对数幅值为 $\(L_c(\omega_m)=10\lg a\ \text{(dB)}\)$ - 在说什么:超前网络在最强点会把幅值抬高 \(10\lg a\) 分贝。注意是 \(10\) 不是 \(20\)——因为这一点恰好处在"只抬了一半"的位置。 - 怎么用:正因为它把曲线抬高,原来在 \(\omega_c\) 处低于 0 dB 的曲线才可能被抬到 0 dB。

结论三(本题用不上,但必须会):最大超前角 $\(\varphi_m=\arcsin\frac{a-1}{a+1}\qquad\left(\text{等价写法 }\varphi_m=\arctan\frac{a-1}{2\sqrt a}\right)\)$ 据PPT幻灯片24。 - 在说什么:超前网络在 \(\omega_m\) 那一点最多能补出多少度正相角。 - 符号是什么:\(a\) 还是那个分度系数;\(\arcsin\) 是反正弦,"正弦值等于这个数的角是几度"。关键信息:\(\varphi_m\) 只由 \(a\) 决定,和 \(T\) 一点关系没有——\(a\) 管"补多少度",\(T\) 管"补在哪个频率"。 - 定量感觉(记住几个点,考场能秒判):\(a=4\to\varphi_m=\arcsin0.6\approx36.9^\circ\);\(a=6\to\arcsin\frac57\approx45.6^\circ\)(本题 \(a\approx6.06\),即这个网络本身能补约 \(46^\circ\));\(a=10\to\arcsin\frac9{11}\approx54.9^\circ\);\(a=20\to\arcsin\frac{19}{21}\approx64.8^\circ\)。可见\(a\) 从10涨到20,角度只多10度左右,收益急剧递减——这就是工程上 \(a\) 不超过20的量化理由,也是"要补的相角超过 \(55^\circ\sim60^\circ\) 就别单用一级超前"的来由。 - 怎么用:另一类题给的是相角裕度而不是 \(\omega_c\)。那种题的路线是:算出还差多少度 \(\to\) 由 \(\varphi_m\) 反解 \(a=\dfrac{1+\sin\varphi_m}{1-\sin\varphi_m}\) \(\to\) 再由 \(\omega_m=\omega_c\) 定 \(T\)。这条完整八步流程在第13讲(超前校正设计步骤第4步)讲过,对应 PPT 幻灯片39~40;第14讲练的是滞后校正,不要找错地方。

校正后的伯德图到底长什么样(渐近线拼装表)。 转录里老师是边画图边把斜率一段段拼出来的,只看"抵消条件"那一个等式会丢掉这个画面,而这个画面恰恰是理解抵消条件的关键。按老师所述整理如下(校正后开环 \(G_cG_0\),转折频率依次为 \(\dfrac1{aT}\approx1.62\)、\(1\)、\(\dfrac1T\approx9.8\)、\(20\);为看清主干先按老师口述的顺序列):

看这张表就明白"抵消条件"在图上是什么:\(\dfrac1{aT}\) 到 \(\dfrac1T\) 之间那段被抬起来的高度,必须恰好补上原曲线在 \(\omega=4\) 处低于 0 dB 的那段距离,曲线才会正好在4穿越。所以下面那个等式不是天上掉的,是这张图上两段竖直距离"大小相等、方向相反"的代数写法。 (注:老师口述时把 \(\dfrac1{aT}\) 与 \(\dfrac1T\) 的先后念得较快,本表按 \(a>1\Rightarrow\dfrac1{aT}<\dfrac1T\) 的数学事实排序;\(\dfrac1{aT}\approx1.62\) 与转折频率 \(1\) 挨得很近,手画时两段短、可合并看,不影响结论。)

列方程。 关键条件只有一句话:

要让校正后的幅频曲线在 \(\omega_c=4\) 处穿过 0 dB,就必须让校正装置在该点抬高的量,正好等于原系统在该点低于 0 dB 的量——大小相等、方向相反,互相抵消。

原系统在 \(\omega=4\) 处比 0 dB 低多少?它仍在那条 \(-40\) dB/dec 直线上,从 \(\omega_{c0}\) 这个 0 dB 点往右量: $\(L_0(\omega_c)=-40\lg\frac{\omega_c}{\omega_{c0}}\)$ 于是抵消条件: $\(10\lg a=40\lg\frac{\omega_c}{\omega_{c0}}=40\lg\frac{4}{2.55}\)$ 算:\(\lg(4/2.55)=\lg1.569\approx0.1959\),右边 \(\approx7.84\),故 \(\lg a\approx0.784\), $\(\boxed{a\approx6.06}\)$ 再由结论一定 \(T\):\(\omega_m=\omega_c=4=\dfrac{1}{T\sqrt a}\),\(\sqrt{6.06}\approx2.46\), $\(T=\frac{1}{4\times2.46}\approx0.102,\qquad aT\approx6.06\times0.102\approx0.618\)$ 所以 $\(G_c(s)=\frac{0.618s+1}{0.102s+1}\)$

【你可能会以为】\(a\) 越大越好,超前角补得越多越稳。 但其实不能随便加大。因为\(a\) 越大,高频段被抬得越高(\(10\lg a\) 越大),系统对高频噪声越敏感;同时对放大倍数的要求也越高。PPT幻灯片24明确写了工程上一般取 \(a\) 在 \(5\sim20\) 之间,"\(a\) 越大微分效应越强"。本题 \(a\approx6\) 正落在合理区间——这也是一个自查算没算错的信号。

1.5 第三步:校验(考试要写,别省)

校正后的开环传递函数(串联即相乘): $\(G(s)=G_c(s)G_0(s)=\frac{6.5(0.618s+1)}{s(s+1)(0.05s+1)(0.102s+1)}\)$ 校验就是回头验:它在 \(\omega=4\) 附近幅值是不是真等于1。做量级近似: - 分子:\(0.618\times4=2.47\gg1\),故 \(|6.5(1+0.618j\omega)|\approx6.5\times0.618\,\omega\); - 分母:\(|j\omega|=\omega\);\(|1+j\omega|\approx\omega\)(4 远大于1);\(0.05\times4=0.2\)、\(0.102\times4=0.41\) 都远小于1(平方后更小),故那两项 \(\approx1\)。

于是 $\(|G(j\omega_c)|\approx\frac{6.5\times0.618\,\omega_c}{\omega_c\cdot\omega_c}=\frac{6.5\times0.618}{\omega_c}=1\ \Rightarrow\ \omega_c\approx4.02\)$ 满足 \(\omega_c=4\) 的要求,设计合理。

【难点】"扔掉小项"这一步让很多人不敢下笔:凭什么这个1能扔、那个 \(0.05j\omega\) 能扔? 判据只有一条:比较同一个括号内两项的大小。因为 \(|1+jx|=\sqrt{1+x^2}\),当 \(x\gg1\) 就近似取 \(x\)、当 \(x\ll1\) 就近似取 \(1\)。把每个括号里的 \(x=(\text{该项时间常数})\times\omega_c\) 挨个算出来,该留谁一目了然。绝不能凭感觉扔。(1.3节第一次用这套"远大于/远小于"判据时只说了结论,判据本身就是这里这一条,回头对照着看。)

【难点·这道题最容易留下的错觉】本题只校验了幅值,没有校验相角裕度——但这不代表超前校正只算幅值。 必须诚实讲清楚:超前校正的本意是补相角(1.3节说过"\(\omega_c\) 右移不补相角就会不稳"),所以完整的串联超前设计题,最后一步一定要回验 \(\gamma\) 是否达标,不达标就加大 \(a\) 重来。本题之所以只验幅值,唯一原因是题目给的性能指标只有 \(\omega_c=4\) 这一条,没有给 \(\gamma\) 的要求,没有可对照的标准。 本题的 \(\gamma\) 想估也能估,顺手走一遍(考试若加问就是这么答):校正后开环 $\(\varphi(\omega_c)=\underbrace{-90^\circ}_{1/s}\underbrace{-\arctan\omega_c}_{1/(s+1)}\underbrace{-\arctan0.05\omega_c}_{1/(0.05s+1)}+\underbrace{\arctan(0.618\omega_c)}_{\text{分子}}-\underbrace{\arctan(0.102\omega_c)}_{\text{分母}}\)$ 代 \(\omega_c=4\):\(-90^\circ-75.96^\circ-11.31^\circ+68.0^\circ-22.2^\circ=-131.5^\circ\),故 \(\gamma=180^\circ-131.5^\circ\approx48.5^\circ\),落在工程好用的 \(30^\circ\sim60^\circ\) 区间,设计是合格的。 注意最后两项之差 \(68.0^\circ-22.2^\circ=45.8^\circ\),与结论三算出的 \(\varphi_m\approx45.6^\circ\) 几乎相等——因为我们正是令 \(\omega_m=\omega_c\),把最大超前角对准了这里。这不是巧合,是设计的目的达成的证据。

1.6 这道题要带走的两条

1. 看图认装置:见到常见校正装置的奈氏曲线要能秒认。判据是相角的正负——全程为正 = 超前;全程为负 = 滞后(滞后网络 \(G_c=\dfrac{1+bTs}{1+Ts}\) 中 \(b<1\),幅值从1降到 \(b\),相角全程为负)。老师课上把"滞后网络的奈氏曲线长什么样"留给学生自己反推,这里替他点明答案,你自己再画一遍。
2. 超前校正的两条铁结论:\(\omega_m=\dfrac{1}{T\sqrt a}\) 且设计时令 \(\omega_m=\omega_c\);\(\omega_m\) 处网络幅值 \(=10\lg a\)。记住这两条,超前校正题的计算量能砍掉一大半(这是老师原话强调的"能极大简化计算"的那两个东西)。

二、例题二:由性能指标推出 PI,再用有源网络实现

2.1 题目

某单位负反馈系统,被控对象为一个积分环节 \(G_0(s)=\dfrac1s\)。要求设计一个有源串联校正装置,使校正后系统: - 跟踪输入 \(r(t)=t^2\) 时存在稳态误差(即"对抛物线信号有差跟随"),且 \(e_{ss}=0.2\); - 相角裕度 \(\gamma\ge30^\circ\)(本题按 \(=30^\circ\) 设计)。

【补前置】单位负反馈。 反馈通道传递函数 \(H(s)=1\),即把输出原样减回去与输入比较,误差 = 输入 − 输出。只有这类系统才能直接套下面的稳态误差公式。

【补前置】"有源"与"无源"。 无源网络 = 只用电阻、电容、电感搭成,不接电源、不能放大;有源网络 = 里面含运算放大器(运放)这种需供电、能放大的器件。据PPT幻灯片32:实际系统广泛采用无源网络串联校正,但把无源网络接在放大器级间会有负载效应问题,有时难以实现希望的控制,因此需要有源校正装置;常用的有源校正装置包括"测速发电机+无源网络""PID控制器""无源网络+运算放大器"。

【补前置】负载效应。 把两个网络直接串起来时,后一级会从前一级"抽走电流",使前一级实际输出电压不再等于它单独工作时的输出——于是两级串联的总传递函数不等于两级传递函数之积,你在纸上算的东西和电路里发生的事对不上。 【补前置】阻抗、输入阻抗、输出阻抗。 "阻抗"先按最朴素的理解:电压与电流之比,即广义的"电阻",单位欧姆(交流情况下它是复数,叫复阻抗,2.6节再补)。 - 输入阻抗:从一个器件的输入端往里看到的阻抗。它大,意味着同样的电压下往里流的电流小,即"几乎不从上一级抽电流"。 - 输出阻抗:从输出端往里看到的阻抗。它小,意味着即使后级抽走不少电流,输出端电压也几乎不下降,即"带得动后级"。 把这两条合起来就是理想的"隔离器":对前级几乎不构成负担,对后级又能硬撑住电压。

运放输入阻抗极高(几乎不抽电流)、输出阻抗极低(带得动后级),能把两级隔开,消除这个互相拖累的效应。这就是"为什么要有源"的物理答案。

2.2 第一步:由稳态误差要求定型别与开环增益

【补前置】三种典型输入与静态误差系数(单位负反馈下)。 - 阶跃 \(r=1\):\(e_{ss}=\dfrac{1}{1+K_p}\),\(K_p=\lim_{s\to0}G(s)\)(静态位置误差系数); - 斜坡 \(r=t\):\(e_{ss}=\dfrac{1}{K_v}\),\(K_v=\lim_{s\to0}sG(s)\)(静态速度误差系数); - 抛物线 \(r=\dfrac12t^2\):\(e_{ss}=\dfrac{1}{K_a}\),\(K_a=\lim_{s\to0}s^2G(s)\)(静态加速度误差系数)。

\(K_a\) 只有在 II型(含两个积分器)系统里才是有限非零值:0型、I型系统 \(K_a=0\)、误差为无穷(根本跟不上抛物线);III型及以上 \(K_a=\infty\)、误差为0(无差跟踪)。 所以题面那句"跟踪抛物线信号存在稳态误差(有差跟随)",唯一的含义就是:校正后必须是II型系统。这句话要能一眼翻译过来,这是本题的第一个考点。

【难点·本题最大的坑】标准抛物线是 \(\dfrac12t^2\),题目给的是 \(t^2\),差一个系数 2。 【补前置】叠加性(线性系统的定义性质)。 一个系统若满足两条,就叫线性:①可加:输入 \(r_1\) 单独作用得输出 \(c_1\)、\(r_2\) 单独作用得 \(c_2\),那么输入 \(r_1+r_2\) 时输出就是 \(c_1+c_2\);②齐次:输入放大 \(k\) 倍,输出(以及误差,因为误差 \(=r-c\) 也是这两者的线性组合)也放大 \(k\) 倍。两条合称叠加原理。这就是"线性系统"这个词的全部含义,也是全书所有方法(拉氏变换、传递函数、频域法)成立的基础——非线性系统不满足它,所以第八章要另起炉灶。 本题的 \(t^2=2\cdot\dfrac12t^2\),是标准抛物线的 2 倍,按齐次性,稳态误差也是标准情形的 2 倍。所以 $\(e_{ss}=\frac{2}{K_a}=0.2\ \Rightarrow\ K_a=10\)$ 若按标准公式写 \(e_{ss}=\dfrac{1}{K_a}=0.2\) 得 \(K_a=5\),就错了。转录里老师专门点名"这个地方考生往往容易出错"。

【补前置】开环增益 \(K\) 与 \(K_a\) 的关系。 当开环写成 \(G(s)=\dfrac{K(\tau s+1)}{s^2}\) 这种"各括号常数项为1"的标准形式时,\(K_a=\lim_{s\to0}s^2G(s)=K\)。所以本题开环增益 \(K=10\)。

2.3 为什么还必须加一个一阶微分环节

【补前置】零点/极点(这一节全靠它们,先定义再用)。 把传递函数写成分式,分子为零的那些 \(s\) 值叫零点,分母为零的那些 \(s\) 值叫极点。\(s\) 是复数,所以零极点一般是复数,可以画在复平面上。极点决定系统的固有运动模式(稳不稳、快不快、振不振),零点影响各模式的配比与相角。

【补前置】为什么极点就能定稳定性——极点实部符号 ↔ 时域三种模式。 这一步是从"代数上的根"跨到"时间上的行为",零基础最容易在这里断链,拆开讲: 传递函数分母为零的那些 \(s=p\),对应时域里一个 \(e^{pt}\) 形状的运动分量(这是解微分方程得到的,拉氏反变换时每个极点都变出一项 \(e^{pt}\))。写 \(p=\sigma+j\omega_d\),则 $\(e^{pt}=e^{\sigma t}\cdot e^{j\omega_d t}=\underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{包络:胀还是缩}}\cdot\underbrace{(\cos\omega_d t+j\sin\omega_d t)}_{\text{振荡:摆多快}}\)$ 于是只看实部 \(\sigma\) 的正负,就有三种命运: - \(\sigma<0\)(极点在左半平面):\(e^{\sigma t}\) 越来越小,振荡幅度衰减到零 → 收敛、稳定。 - \(\sigma>0\)(极点在右半平面):\(e^{\sigma t}\) 越来越大,幅度越振越大 → 发散、不稳定。 - \(\sigma=0\)(极点在虚轴上,即纯虚数 \(\pm j\omega_d\)):包络恒为1,振荡不增不减 → 等幅振荡,既不发散也不停下来,工程上判为不稳定(临界状态,任何扰动或参数漂移都可能把它推向发散)。

有了这三条,下面的结论才不是背来的。

如果只把系统做成纯 II 型 \(G(s)=\dfrac{10}{s^2}\),先求它的闭环传递函数。

闭环公式怎么来的(三行代数,别背)。 单位负反馈(\(H=1\))时,按第零节那张方框图: 1. 比较点:\(E(s)=R(s)-C(s)\) —— 误差 = 输入减去反馈回来的输出; 2. 前向通道:\(C(s)=G(s)E(s)\) —— 误差经过 \(G\) 变成输出; 3. 把第1式代进第2式消掉 \(E\):\(C=G(R-C)\Rightarrow C+GC=GR\Rightarrow C(1+G)=GR\),故 $\(\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}\)$ 符号:\(\Phi\)(读"phi")是闭环传递函数,\(G\) 是前向通道(此题即校正后的开环,因为 \(H=1\)),\(R\) 输入、\(C\) 输出、\(E\) 误差。用法:凡是要谈"稳不稳、响应什么样",就先用它把闭环写出来,再看分母的根。 把 \(G=\dfrac{10}{s^2}\) 代进去(分子分母同乘 \(s^2\) 约掉分式): $\(\Phi(s)=\frac{10/s^2}{1+10/s^2}=\frac{10}{s^2+10}\)$

【补前置】闭环特征方程就是把闭环分母令为零:\(s^2+10=0\)。它的根就是闭环极点。这个方程缺一次项。 【补前置】劳斯判据的必要条件:特征方程各项系数必须全部同号且不缺项;只要缺项或变号,系统一定不稳定。这里缺 \(s\) 一次项,解得 \(s=\pm j\sqrt{10}\approx\pm3.16j\)——两个极点是纯虚数,落在虚轴上。按上面刚讲的三种模式,\(\sigma=0\) 对应等幅振荡:系统会以 \(\omega_d=\sqrt{10}\) 的角频率永远晃下去,输出既不收敛到目标也不发散。所以不稳定,不可用。

所以分子上必须补一个一阶微分环节 \((\tau s+1)\)。 【补前置】一阶微分环节 \((\tau s+1)\)。 \(s\) 在时域对应"求导",即对变化率作出反应,相当于"提前看到趋势、提前动作"。它在特征方程里补出缺失的一次项,同时提供正相角(增稳)。这是为了稳定而加的零点(令 \(\tau s+1=0\) 得 \(s=-\dfrac1\tau\),是个位于左半平面的实零点),不是为了凑形式。

于是取校正后开环 $\(G(s)=\frac{10(\tau s+1)}{s^2}\)$ 此时闭环特征方程 \(s^2+10\tau s+10=0\),不缺项、系数同号,可以稳定。

【你可能会以为】II型系统稳态精度高,那积分器越多越好。 但其实积分器是"稳态的朋友、稳定的敌人"。因为每个 \(\dfrac1s\) 固定贡献 \(-90^\circ\) 相角滞后,两个就是 \(-180^\circ\),相角裕度直接归零。所以只要你把系统做成 II 型,就必须同时加零点(微分)把相角捞回来。"II型必配零点"是这一类题的固定搭配,记住它比记住任何公式都值。

2.4 第二步:由相角裕度定 \(\tau\) 与 \(\omega_c\)

相角:\(\varphi(\omega)=\underbrace{-180^\circ}_{s^2\ \text{提供}}+\underbrace{\arctan(\tau\omega)}_{(\tau s+1)\ \text{提供}}\),于是 $\(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)=\arctan(\tau\omega_c)=30^\circ\ \Rightarrow\ \tau\omega_c=\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}\approx0.577\)$

幅值:截止频率处幅值为1, $\(|G(j\omega_c)|=\frac{10\sqrt{(\tau\omega_c)^2+1}}{\omega_c^2}=1\)$ (分子 \(|10(1+j\tau\omega)|=10\sqrt{1+(\tau\omega)^2}\);分母 \(|(j\omega)^2|=\omega^2\)。) 把 \(\tau\omega_c=0.577\) 整体代入: $\(\omega_c^2=10\sqrt{0.333+1}=10\times1.1547=11.55\ \Rightarrow\ \omega_c\approx3.4\)$ 回代得 \(\tau=\dfrac{0.577}{3.4}\approx0.17\)。

【难点】两个未知数 \(\tau\)、\(\omega_c\),两个方程,很多人卡在"先解哪一个"。 诀窍:把 \(\tau\omega_c\) 当作一个整体未知量。 相角方程直接给出这个整体的数值;代进幅值方程后,里面就只剩 \(\omega_c\) 一个未知数了。这个"整体代入"的手法在频域设计题里反复出现,务必吃透。

于是校正后开环 $\(G(s)=\frac{10(0.17s+1)}{s^2}\)$

2.5 校正装置原来是个 PI 调节器

串联校正意味着 \(G(s)=G_c(s)G_0(s)\),所以 $\(G_c(s)=\frac{G(s)}{G_0(s)}=\frac{10(0.17s+1)/s^2}{1/s}=\frac{10(0.17s+1)}{s}\)$ 这是什么? 拆开看:\(G_c(s)=1.7+\dfrac{10}{s}\) —— 一个比例项加一个积分项,这就是 PI(比例-积分)调节器。 【补前置】PID 各项在干什么。 P(比例):误差大就使劲纠,响应快但会留静差——【补前置】静差就是稳态误差的俗称,指系统稳下来之后仍然剩下的那点误差。为什么纯比例一定留静差?因为比例控制的输出 \(u=K_p e\),只要还想要一个非零的控制量把系统顶在目标位置上,就必须留一点误差 \(e\) 来产生它;\(e\) 一旦真的等于零,控制量也归零,系统就掉回去。所以纯 P 天然有差,加大 \(K_p\) 只能把静差变小,不能消掉。I(积分):把误差累积起来直到消掉,专治静差,但拖慢响应、伤稳定;D(微分):看变化趋势提前刹车,增稳但放大高频噪声。PI 就是 P+I。据PPT幻灯片32,PID 控制器是工业控制系统中常用的有源校正网络;幻灯片18指出 PI 相当于给开环增加一个位于原点的极点(提高型别、改善稳态)和一个位于左半平面的零点(缓解稳定性代价)——和本题推出来的结构完全对应。

2.6 第三步:用有源网络(运放)把 PI 搭出来

电路结构(要点转述):第一级是反相运放,输入支路是电阻 \(R_1\),反馈支路是"电阻 \(R_2\) 与电容 \(C\) 串联";第二级再接一个反相器(输入、输出端电阻相等的反相放大器)。

【补前置】反相运放的传递函数怎么来。 理想运放有"虚短、虚断":同相端接地时反相输入端电位近似为0(叫虚地),且运放输入端几乎不吸电流。于是输入支路的电流 \(\dfrac{u_r}{Z_1}\) 全部流进反馈支路,得到 $\(\frac{U_c(s)}{U_r(s)}=-\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}\)$ 其中 \(Z_1\)、\(Z_2\) 是输入端、反馈端的复阻抗。 【补前置】复阻抗。 把电阻、电容、电感统一成"广义电阻"(即上面说的"电压比电流",只是现在写成 \(s\) 的函数):电阻 \(Z_R=R\),电容 \(Z_C=\dfrac{1}{Cs}\),电感 \(Z_L=Ls\)。 \(Z_C=\dfrac1{Cs}\) 为什么长这样(别背):电容的物理定律是 \(i=C\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dt}\)——流过电容的电流正比于它两端电压的变化率(电压不变则不导电,变得越快电流越大)。拉氏变换有一条规则:时域求一次导 = 复域乘一个 \(s\)(零初值时),所以 \(I(s)=CsU(s)\)。于是 $\(Z_C=\frac{U(s)}{I(s)}=\frac{1}{Cs}\)$ 同理电感 \(u=L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}\Rightarrow Z_L=Ls\)。记住"\(s\) 就是求导、\(\dfrac1s\) 就是积分"这一条,三个复阻抗都不用背。 顺带也解释了为什么电容是"积分元件"、为什么 PI 里的积分项要靠电容来实现——本题第一级正是把电容放在反馈支路上才凑出 \(\dfrac1s\)。

有了它,含电容电感的电路就能像纯电阻电路那样用串并联规则直接算,不必再列微分方程。串联相加、并联倒数相加,规则和电阻完全一样。

本题:\(Z_2=R_2+\dfrac{1}{Cs}\)(串联相加),\(Z_1=R_1\),第一级传递函数 $\(-\frac{R_2+\frac{1}{Cs}}{R_1}=-\frac{R_2Cs+1}{R_1Cs}\)$ 第二级反相器再乘 \(-1\),负号被消掉: $\(G_c(s)=\frac{R_2Cs+1}{R_1Cs}\)$

【补前置】为什么非要加反相器? 因为信号是从运放的反相输入端进去的,输出天生带负号。控制系统里凭空多一个负号,等于把负反馈变成正反馈(或让开环相角平移 \(180^\circ\)),稳定性结论整个反转。所以必须再串一级反相器把符号扳回来。这是纯工程细节,但考"如何用有源网络实现"时必须写上。

对参数:把 \(G_c(s)=\dfrac{R_2Cs+1}{R_1Cs}\) 与要求的 \(\dfrac{10(0.17s+1)}{s}=\dfrac{0.17s+1}{0.1s}\) 逐项比对,得 $\(\frac{1}{R_1C}=10,\qquad R_2C=0.17\)$ 按这两个关系依次选取 \(R_1\)、\(R_2\)、\(C\) 即可。注意这是三个未知量、两个方程:先按工程习惯选一个合适量级的 \(C\),再算 \(R_1\)、\(R_2\)。元件取值不唯一,是正常的,不是你算漏了。

2.7 这道题真正要你带走的

一提到"设计校正",多数人条件反射只有两条路:在频域画伯德图做,或在复平面用根轨迹做(据转录,老师指出根轨迹校正现在越来越少见,大多数是频域伯德图)。 但有一类题根本不用走那套流程——像本题这样,直接由已知条件层层推出校正装置:有差跟踪抛物线 → 必须是II型;II型纯积分闭环缺项 → 必须加零点;\(\gamma=30^\circ\) 与幅值条件 → 定出参数;最后认出它就是PI → 用运放实现。这要求你:①对校正的基本概念理解正确(每个指标各自约束的是什么);②记住常见校正装置用有源/无源网络怎么实现。

三、这一讲的骨架(真正要带走的)

1. 先分清开环与闭环:\(\omega_c\)、\(\gamma\)、型别、\(K_a\)、伯德图、奈氏曲线全算在开环 \(GH\) 上;稳不稳、响应怎样看闭环 \(\Phi=\dfrac{G}{1+G}\) 的极点。这条分工是本讲(乃至第5、6章)所有操作的底座。
2. 给曲线不给函数,就看两个端点 + 相角正负:\(\omega\to0\) 与 \(\omega\to\infty\) 的幅值和相角;相角全程为正 = 超前,全程为负 = 滞后。
3. 超前校正两条铁结论:\(\omega_m=\dfrac{1}{T\sqrt a}\),设计时令 \(\omega_m=\omega_c\);\(\omega_m\) 处网络幅值 \(=10\lg a\)。求 \(a\) 的方程就是抵消条件 \(10\lg a=-L_0(\omega_c)\)。但完整设计题最后必须回验 \(\gamma\),本题只验幅值仅仅是因为指标只给了 \(\omega_c\)(见1.5节末)。
4. 抛物线输入不标准要乘系数:\(r=t^2\) 时 \(e_{ss}=\dfrac{2}{K_a}\),不是 \(\dfrac{1}{K_a}\)。
5. II型必配零点:纯 \(\dfrac{K}{s^2}\) 的闭环特征方程缺一次项 → 必不稳;加 \((\tau s+1)\) 既补项又提供正相角。
6. 有源实现:反相运放 \(-\dfrac{Z_2}{Z_1}\) + 反相器消负号;工具只有复阻抗 \(R\)、\(\dfrac{1}{Cs}\)、\(Ls\) 三个。用有源的理由是负载效应。
7. 掌握难度提示:这一讲第一遍看不懂很正常。经验上卡点集中在两处——1.4节"抵消条件"为什么能写成一个等式,以及 2.4节"把 \(\tau\omega_c\) 当整体代入"。卡在这两处就回头重读那一小节,不要硬往下冲,后面全建立在它们之上。

四、自测(戳穿假懂版)

Q1. 给你一条奈氏曲线:\(\omega\to0\) 时幅值1、相角 \(0^\circ\);\(\omega\to\infty\) 时幅值 \(\to0.1\)、相角 \(\to0^\circ\);中间相角落在 \(0^\circ\) 到 \(-90^\circ\) 之间。这是什么校正装置?写出传递函数形式与参数范围。追问:若把它串到例题一那个 \(G_0\) 前面,校正后的 \(\omega_c\) 会比 2.55 大还是小?为什么?

要点:滞后校正,\(G_c(s)=\dfrac{1+bTs}{1+Ts}\),\(b=0.1<1\)。判据是相角为负、幅值从1降到 \(b\)。追问:\(\omega_c\) 变小——滞后网络在高频把幅值压低了 \(20\lg b=-20\) dB,原曲线被往下拽,提前穿越 0 dB,穿越点左移。系统因此变慢,但相角裕度靠"把工作点搬到相角还没恶化的低频区"反而变好。 答错说明:①判错类型,说明你在靠"背图形"而不是靠"端点幅值 + 相角正负"判断,换一张图就废;②追问答不上,说明你只记住了"滞后=降幅值",没建立"幅值被压→穿越点移动→\(\omega_c\) 变化"这条因果链,而这正是滞后校正提高裕度的全部机理。

Q2. 例题一若把指标改成 \(\omega_c=6\),\(a\) 变大还是变小?估算一下,并评价这个结果。

要点:\(10\lg a=40\lg(6/2.55)\),\(\lg a=4\lg2.353\approx1.487\),\(a\approx30.7\),变大。评价:已超出PPT给的工程常用区间 \(5\sim20\),高频抬升过多、噪声敏感,单级超前难实现,通常要改用两级超前或超前-滞后校正。 答错说明:只会代公式不会评价结果合不合理的话,考场上算出离谱的 \(a\) 你也不会察觉自己错了。

Q3. 有人说:"例题二既然要稳态误差小,我把开环增益从10改成100,误差不就更小了?"错在哪?

要点:\(K\) 是被 \(e_{ss}=2/K_a=0.2\) 唯一确定的,不是自由参数;改成100,稳态误差变成0.02,不满足题目的等式要求。而且抬高 \(K\) 会推高 \(\omega_c\),相角裕度条件必须重算。 答错说明:你把"指标"当成了"越好越好",没意识到设计题里的指标是约束方程。

Q4. 例题二里如果把 \(\tau\) 从 \(0.17\) 改成 \(0.34\)(其余不变,开环仍为 \(\dfrac{10(\tau s+1)}{s^2}\)),\(\omega_c\) 和 \(\gamma\) 各往哪边走?先只凭定性推理说方向和理由,再算出具体数值验证自己。

要点(必须重走一遍两个方程,不能回读原文数字): 定性——\(\tau\) 变大,零点 \(-\dfrac1\tau\) 左移,分子 \(|1+j\tau\omega|\) 在同一频率下更大,幅频曲线整体被抬高,\(0\) dB 穿越点右移,故 \(\omega_c\) 变大;同时 \(\tau\) 和 \(\omega_c\) 都变大,乘积 \(\tau\omega_c\) 变大,\(\gamma=\arctan(\tau\omega_c)\) 也变大。两个指标同时改善(代价是带宽变大、更怕高频噪声)。 定量——现在 \(\tau\) 已知、\(\omega_c\) 未知,不能再用"整体代入",要直接解幅值方程 \(\dfrac{10\sqrt{1+(0.34\omega_c)^2}}{\omega_c^2}=1\)。令 \(x=\omega_c^2\):\(100(1+0.1156x)=x^2\Rightarrow x^2-11.56x-100=0\Rightarrow x=\dfrac{11.56+\sqrt{133.6+400}}{2}=\dfrac{11.56+23.10}{2}=17.33\),故 \(\omega_c\approx4.16\)(原来 3.4,确实变大)。再 \(\tau\omega_c=0.34\times4.16=1.415\),\(\gamma=\arctan1.415\approx54.8^\circ\)(原来 \(30^\circ\),确实变大)。 答错说明:①方向说反,说明你没把"分子零点抬高幅频曲线"和"穿越点右移"这条链打通;②方向对但算不出数,说明你只会照抄"整体代入"那一招——\(\tau\) 一旦变成已知量,方程结构就变了(变成关于 \(\omega_c^2\) 的二次方程),必须自己重新组织,而不是套路。

Q5. 第一级反相运放算出来是 \(-\dfrac{R_2Cs+1}{R_1Cs}\),能不能干脆把这个负号并进被控对象、省掉反相器?

要点:不能。负号会把负反馈变成正反馈(等效于开环相角平移 \(180^\circ\)),稳定性结论完全反转,前面所有相角裕度计算全部作废。工程上必须用反相器扳回来。 答错说明:把符号当成"无所谓的常数",说明还没建立"符号 = 相位 = 稳定性"这条链。

Q6. 例题一里,如果有人不令 \(\omega_m=\omega_c\),而是随便挑了个 \(T\),设计还成立吗?会出什么问题?

要点:\(a\) 仍可由抵消条件解出(幅值条件只管"抬多高"),但超前作用的最强点就没对准新截止频率,新 \(\omega_c\) 处能拿到的正相角远小于 \(\varphi_m\),相角裕度可能不够,系统超调大甚至不稳。"令 \(\omega_m=\omega_c\)"不是凑巧,是把有限的超前角用在刀刃上。 答错说明:你把这一步当成了"公式规定",没理解它的目的。

知识地图

向前串(这一讲吃的是前面哪几章的老本) - 第2章:传递函数;串联环节相乘 → \(G=G_cG_0\)、\(G_c=G/G_0\);复阻抗与运放电路建模 → 2.6节的有源实现。 - 第3章:系统型别、静态误差系数 \(K_p/K_v/K_a\)、稳态误差 → 例题二第一步;劳斯判据"缺项即不稳" → 为什么必须加零点。 - 第5章:频率特性、伯德图渐近线画法、截止频率 \(\omega_c\)、相角裕度 \(\gamma\)、奈氏曲线 → 两道题全部的语言。

本章横向串 - 超前校正(本讲例题一)↔ 滞后校正(第14讲)↔ 超前-滞后校正:超前靠相角超前换裕度、把 \(\omega_c\) 推高(提速);滞后靠高频衰减把 \(\omega_c\) 拉回、腾出裕度,同时保住低频增益(提精度)。据PPT幻灯片48原文三条:超前校正利用网络的相角超前特性、滞后校正利用网络的高频衰减特性;采用无源网络时超前校正要求一定的附加增益、滞后校正一般不需要;同一系统采用超前校正的系统带宽大于滞后校正,若输入端噪声水平较高一般不宜采用超前校正。(另,"要补的相角很大时不宜单用一级超前"这条是由本讲1.4结论三里 \(\varphi_m\) 随 \(a\) 收益递减推出的,不是PPT原文。) - 无源网络实现 ↔ 有源网络实现:后者用运放解决负载效应并能提供增益(PPT幻灯片32)。 - 频域法(伯德图)↔ 根轨迹法 ↔ 由指标直接反推(本讲例题二):同一件事的三条路径,考试三种都可能出现。

向后串 - 第7章 线性离散系统(下一讲开始):同样要判稳、算稳态误差、做校正,只是把 \(s\) 域换成 \(z\) 域,本讲的思路可直接迁移。转录末尾老师明确:前六章都是针对线性连续系统,第七、八章转向离散与非线性系统。 - 第8章 非线性系统:线性校正的结论不能照搬,但"相角裕度 = 离不稳还有多远"这个直觉,是后面理解自激振荡的基础。