由劳斯判据可知，\(K^*=10\) 时，系统闭环临界稳定，根轨迹与虚轴的交点为 \(s=0\)。作反馈极性为正时的根轨迹如图4-48所示。

图4-47 反馈极性为负时系统的概略常规根轨迹

图4-48 反馈极性为正时系统的零度根轨迹

由图4-47知，反馈极性为负时，使系统闭环稳定的 \(K^*\) 范围为 \([0,16.25)\)；由图4-48知，反馈极性为正时，使系统闭环稳定的 \(K^*\) 范围 \([0,10)\)。因此反馈极性未知时，使系统闭环稳定的 \(K^*\) 范围 \([0,10)\)。

4-18 若题4-8中的 \(K^*\) 从 \(0\rightarrow-\infty\)，试概略绘制闭环根轨迹图。

解 (1) 系统(1)的开环传递函数可变换为

令 \(K^*=10K\)，即 \(K^*\) 为根轨迹增益。

① 实轴上的根轨迹分布区：\((-5,-2]\)，\([0,+\infty)\)。

② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{0-2-5}{3}=-\dfrac{7}{3}\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{2\pi}{3},0\)。

③ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足

解得 \(d_1=-0.88\)(舍去)，\(d_2=-3.79\)

求得分离点的坐标为 \(d=-3.79\)。

根据以上几点，可以画出概略零度根轨迹如图4-49所示。

(2) 系统(2)的开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{K^*(s+5)}{s(s+2)(s+3)}\)

① 实轴上的根轨迹分布区：\((-\infty,-5]\)，\([-2,-3]\)，\([0,+\infty)\)。

② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{-2-3+5}{2}=0\)，\(\varphi_a=\pm\pi\)。

③ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足

解得 \(d_1=-2.6\)，\(d_2=-6.52\)，\(d_3=-0.89\)(舍去)

求得分离点的坐标为 \(d=-2.6\) 和 \(d=-6.52\)。

· 171 ·