8-13 试确定图 8-34 所示非线性系统的描述函数。
图 8-34 非线性系统结构图
解 设当输入为 \(x=A\sin\omega t\) 时,有
\[x_1(t)=\begin{cases}M+Kx, & 0<\omega t<\pi \\ -M+Kx, & \pi<\omega t<2\pi\end{cases};\qquad y=x_1^3=\begin{cases}(M+Kx)^3, & 0<\omega t<\pi \\ (-M+Kx)^3, & \pi<\omega t<2\pi\end{cases}\]
因为 \(y(x)\) 是 \(x\) 的奇函数,所以 \(A_0=0\);同时 \(y(x)\) 是 \(t\) 的奇函数,故 \(A_1=0\)。因此 \(y(t)\) 具有半周期对称特性,所以
\[B_1=\frac{4}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(M+KA\sin\omega t)^3\sin\omega t\,\mathrm{d}\omega t\]
\[=\frac{4}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(K^3A^3\sin^4\omega t+3K^2MA^2\sin^3\omega t+3KM^2A\sin^2\omega t+M^3\sin\omega t)\,\mathrm{d}\omega t\]
由定积分公式
\[I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n\omega t\,\mathrm{d}t=\begin{cases}\dfrac{(n-1)(n-3)\times\cdots\times4\times2}{n(n-2)(n-4)\times\cdots\times5\times3}, & n\ \text{为奇整数}\\[2ex] \dfrac{(n-1)(n-3)\times\cdots\times5\times3\times1}{n(n-2)\times\cdots\times4\times2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n\ \text{为偶整数}\end{cases}\]
可得
\[B_1=\frac{4}{\pi}\left(\frac{3}{16}\pi K^3A^3+2K^2MA^2+\frac{3}{4}\pi KM^2A+M^3\right)\]
\[=\frac{3}{4}K^3A^3+\frac{8}{\pi}K^2MA^2+3KM^2A+\frac{4}{\pi}M^3\]
则该非线性系统的描述函数为
\[N(A)=\frac{B_1}{A}=\frac{3}{4}K^3A^2+\frac{8}{\pi}K^2MA+3KM^2+\frac{4}{\pi A}M^3\]
8-14 各系统的 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与 \(-1/N(A)\) 曲线如图 8-35 所示,试判断各系统的稳定性(\(P=0\))。
解 (a) 由于 \(\Gamma_G\) 曲线与 \(-1/N(A)\) 曲线有交点,因此系统存在振荡。在 \(\Gamma_G\) 曲线和 \(-1/N(A)\) 曲线的交点处,\(-1/N(A)\) 曲线沿着振幅 \(A\) 增加的方向由稳定区域进入不稳定区域,因此对应的周期运动是不稳定的。
(b) 由于 \(\Gamma_G\) 曲线与 \(-1/N(A)\) 曲线没有交点,故系统不存在周期振荡。另外,由于 \(-1/N(A)\) 在稳定区域,故系统是稳定的。
(c) 由于 \(\Gamma_G\) 曲线与 \(-1/N(A)\) 曲线有交点,在该点处产生稳定自激振荡。
(d) 由于 \(\Gamma_G\) 曲线与 \(-1/N(A)\) 曲线存在两个交点,由于在 \(a\) 点处,\(-1/N(A)\) 曲线沿
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