图 4-26　系统(2)的\(1+\dfrac{K^{*}(s+20)}{s(s^{2}+20s+20)}=0\)

根轨迹图(MATLAB)

图 4-27　系统(3)的\(1+\dfrac{K^{*}(s^{2}+6s+25)}{s(s^{2}+8s+25)}=0\)

根轨迹图(MATLAB)

MATLAB 程序：exe409.m

num1=[1 2];　　　den1=[1 2 4];　　　figure，　　rlocus(num1,den1)

num2=[1 20]；　　den2=[1 20 20 0]；　　figure，　　rlocus(num2,den2)

num3=[1 6 25]；　den3=[1 8 25 0]；　　figure，　　rlocus(num3,den3)

4-10　已知系统的传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图（注意复数分离点的确定）。

(1) \(G(s)=\dfrac{K^{*}(s+4)(s+8)}{s(s+12)^{2}}\)，　\(H(s)=\dfrac{1}{s}\)；

(2) \(G(s)=\dfrac{K^{*}s(s+6)}{(s^{2}+4s+8)(s^{2}+8s+20)}\)，　\(H(s)=1\)；

(3) \(G(s)=\dfrac{K^{*}}{(s^{2}+2s+2)(s^{2}+2s+4)^{2}}\)，　\(H(s)=1\)。

解　(1) 系统的开环传递函数

① 实轴上的根轨迹：\([-8,-4]\)。

② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{0-12-12+4+8}{2}=-6\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。

③ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足

求得分离点的坐标为

根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图 4-28 所示。

(2) 系统的开环传递函数

① 实轴上的根轨迹：\([-6,0]\)。