经计算可得 \(d=-0.465\) 或 \(d=-2.868\)(舍去)。故根轨迹的分离点为 \(d=-0.465\)。
④ 根轨迹与虚轴的交点:由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程为
\[D(s)=s(s+1)(s+4)+K^{*}=s^{3}+5s^{2}+4s+K^{*}=0\]
令 \(s=\mathrm{j}\omega\),将其代入上式可得
\[(\mathrm{j}\omega)^{3}+5(\mathrm{j}\omega)^{2}+4(\mathrm{j}\omega)+K^{*}=0\]
即
\[\begin{cases}-5\omega^{2}+K^{*}=0\\-\omega^{3}+4\omega=0\end{cases}\]
由于 \(\omega\neq0\),故可解得
\[\omega=\pm2,\qquad K^{*}=20\]
则当 \(K^{*}<20\) 时,闭环系统稳定。
根据以上几点,可以画出概略根轨迹图,如图4-36所示。
图4-36 系统(1)概略根轨迹图
(2) 系统(2)的开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^{*}(s+1)}{s^{2}(s+4)(s+6)}\)
① 实轴上的根轨迹:\([-4,-1]\),\([-6,-\infty)\)。
② 根轨迹的渐近线:\(\sigma_a=\dfrac{-4-6+1}{3}=-3\),\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{3},\pi\)。
③ 根轨迹与虚轴的交点:由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程如下:
\[D(s)=s^{2}(s+4)(s+6)+K^{*}(s+1)=s^{4}+10s^{3}+24s^{2}+K^{*}s+K^{*}=0\]
令 \(s=\mathrm{j}\omega\),将其代入上式可得
\[(\mathrm{j}\omega)^{4}+10(\mathrm{j}\omega)^{3}+24(\mathrm{j}\omega)^{2}+K^{*}(\mathrm{j}\omega)+K^{*}=0\]
即
\[\begin{cases}\omega^{4}-24\omega^{2}+K^{*}=0\\-10\omega^{3}+K^{*}\omega=0\end{cases}\]
由于 \(\omega\neq0\),故可解得
\[\omega=\pm3.74,\qquad K^{*}=139.9\]
则当 \(K^{*}<139.9\) 时,闭环系统稳定。
根据以上几点,可以画出概略根轨迹图如图4-37所示。
图4-37 系统(2)概略根轨迹图
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