当 \(\omega=\sqrt{2}+1\) 时,

幅相特性曲线位与虚轴交于点\((0,-\mathrm{j}0.125)\)。

当 \(\omega>\sqrt{2}+1\) 时,

幅相特性曲线位于第Ⅲ象限。

其内回路开环幅相特性曲线如图5-49所示,由该曲线可知,\(N=0\)。

再根据奈奎斯特判据

此处 \(Z\) 即系统的全部开环极点,均具有负实部,故系统的 \(P=0\)。

图5-49 内回路的开环幅相特性曲线

系统的开环传递函数为

对于系统的开环幅相特性曲线图5-49,因为 \(\upsilon=1\),从幅相特性曲线 \(\omega=0^+\) 处按逆时针方向补作 \(90°\),半径为无穷大的虚圆弧。\(G(s)\) 在 \(s\) 右半平面极点个数 \(P=0\)。由奈奎斯特曲线知 \(N_-=2,N_+=1\),故 \(N=N_+-N_-=-1\)。

再根据奈奎斯特判据

即闭环系统不稳定,有两个闭环极点具有正实部。

MATLAB验证:系统闭环特征方程

应用求根程序exe529.m,可得闭环极点为:\(s_1=-5.2048,s_2=1.6179+\mathrm{j}4.0255,s_3=1.6179-\mathrm{j}4.0255,s_4=-1.1183,s_5=-0.9128\),其中正实部极点数为2。

MATLAB文本:exe529.m

p=[1,4,7,104,201,100];

roots(p);

5-30 试证明闭环系统稳定的必要条件是开环幅相特性曲线包围\((-1,\mathrm{j}0)\)点的圈数 \(N\geqslant0\)。

证明 由奈奎斯特判据可知,\(Z=P-2N\)。其中,\(Z\) 为闭环极点位于 \(s\) 右半平面的个数,\(P\) 为开环极点位于 \(s\) 右半平面的个数,\(N\) 为开环幅相特性曲线包围\((-1,\mathrm{j}0)\)点的圈数。

若使闭环系统稳定,即 \(Z=0\),则

由上式可知:若开环极点全部位于 \(s\) 左半平面,即 \(P=0\),则 \(N=0\);若开环极点全部位于 \(s\) 右半平面的个数为 \(P\),则 \(N=\dfrac{P}{2}>0\)。

综上,若使闭环系统稳定,则开环幅相特性曲线包围\((-1,\mathrm{j}0)\)点的圈数 \(N\geqslant0\)。

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