题海 · 题解 · p.251
图5-16中曲线①所示。
系统的对数幅频和相频特性为
\[
\begin{cases}
L(\omega) = 20\lg\sqrt{1+T_1^2\omega^2} - 20\lg\sqrt{1+T_2^2\omega^2} \\
\varphi(\omega) = \arctan T_1\omega - \arctan T_2\omega
\end{cases}
\]
其对数频率特性曲线如图5-17中曲线①所示。
(2) 系统(2)的频率特性为
\[
G(\mathrm{j}\omega) = \frac{-1+\mathrm{j}T_1\omega}{1+\mathrm{j}T_2\omega} = \frac{T_1T_2\omega^2-1}{1+T_2^2\omega^2} + \mathrm{j}\frac{(T_1+T_2)\omega}{1+T_2^2\omega^2}
\]
开环幅相特性曲线的起点:\(G(\mathrm{j}0_+)=-1\);终点:\(G(\mathrm{j}\infty)=T_1/T_2\)。
与虚轴的交点:令 \(\mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega)]=0\),解得
\[
\omega_y = 1/\sqrt{T_1T_2}, \quad G(\mathrm{j}\omega_y) = \mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)] = \sqrt{T_1/T_2}
\]
其中,\(\omega_y\) 为 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与负虚轴交点处的频率。显然
\[
\left\{\mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega)] - \frac{T_1-T_2}{2T_2}\right\}^2 + \{\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]\}^2 = \left(\frac{T_1+T_2}{2T_2}\right)^2
\]
开环幅相特性曲线为圆心在 \(\left(\dfrac{T_1-T_2}{2T_2}, \mathrm{j}0\right)\),半径为 \(\dfrac{T_1+T_2}{2T_2}\) 的圆,且开环幅相特性曲线在第Ⅰ和第Ⅱ象限间变化,如图5-16中曲线②所示。
图5-16 题5-14传递函数的幅相特性曲线
系统的对数幅频和相频特性为
\[
\begin{cases}
L(\omega) = 20\lg\sqrt{1+T_1^2\omega^2} - 20\lg\sqrt{1+T_2^2\omega^2} \\
\varphi(\omega) = 180° - \arctan T_1\omega - \arctan T_2\omega
\end{cases}
\]
其对数频率特性曲线如图5-17中曲线②所示。
(3) 系统(3)的频率特性为
\[
G(\mathrm{j}\omega) = \frac{1-\mathrm{j}T_1\omega}{1+\mathrm{j}T_2\omega} = \frac{1-T_1T_2\omega^2}{1+T_2^2\omega^2} - \mathrm{j}\frac{(T_1+T_2)\omega}{1+T_2^2\omega^2}
\]
开环幅相特性曲线的起点:\(G(\mathrm{j}0_+)=1\);终点:\(G(\mathrm{j}\infty)=-T_1/T_2\)。
与虚轴的交点:令 \(\mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega)]=0\),解得
\[
\omega_y = 1/\sqrt{T_1T_2}, \quad G(\mathrm{j}\omega_y) = \mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)] = -\sqrt{T_1/T_2}
\]
其中,\(\omega_y\) 为 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 与负虚轴交点处的频率。显然
\[
\left\{\mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega)] - \frac{T_2-T_1}{2T_2}\right\}^2 + \{\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]\}^2 = \left(\frac{T_1+T_2}{2T_2}\right)^2
\]
开环幅相特性曲线为圆心在 \(\left(\dfrac{T_2-T_1}{2T_2}, \mathrm{j}0\right)\),半径为 \(\dfrac{T_1+T_2}{2T_2}\) 的圆,且开环幅相特性曲线在第Ⅲ和第Ⅳ象限间变化,如图5-16中曲线③所示。
系统的对数幅频和相频特性为
\[
\begin{cases}
L(\omega) = 20\lg\sqrt{1+T_1^2\omega^2} - 20\lg\sqrt{1+T_2^2\omega^2} \\
\varphi(\omega) = 360° - \arctan T_1\omega - \arctan T_2\omega
\end{cases}
\]
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