图 8-66 非线性系统结构图
图 8-67 非线性系统等效结构图
\[
u = \begin{cases} 2, & e>0.5 \\ 0, & |e|\leqslant 0.5 \\ -2, & e<-0.5 \end{cases}
\]
因此可得非线性环节的描述函数为
\[
N(A) = \frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-\left(\frac{h}{A}\right)^2}
\]
其负倒描述函数为
\[
-\frac{1}{N(A)} = -\frac{\pi A^2}{4M}\frac{1}{\sqrt{A^2-h^2}}
\]
式中，\(M=2,h=0.5\)。因对该负倒描述函数求导后，可知\(-1/N(A)\)在\(A=\sqrt{2}h\)取得极值，即
\[
-\frac{1}{N(A)}\bigg|_{A=\sqrt{2}h} = -\frac{\pi h}{2M} = -\frac{\pi}{8} = -0.393
\]
同时该系统线性环节的频率特性为
\[
G(\mathrm{j}\omega) = \frac{10}{\mathrm{j}\omega(1+\mathrm{j}\omega)^2}
\]
令\(\underline{/G(\mathrm{j}\omega)} = -\pi\)，有\(-\dfrac{\pi}{2}-2\arctan\omega=-\pi\)，则\(\omega=1\)，\(|G(\mathrm{j}\omega)|\big|_{\omega=1}=-5\)。
绘制\(G(\mathrm{j}\omega)\)与\(-1/N(A)\)的曲线于图8-68中。由图8-68可知，\(G(\mathrm{j}\omega)\)与\(-1/N(A)\)曲线相交，系统存在自激振荡。另由\(-1/N(A)=-5\)可知，自振频率\(\omega=1\)，自振振幅\(A=12.72\)。最后，利用下列MATLAB程序可得系统的相平面图和系统状态曲线分别如图8-69和图8-70所示。
MATLAB程序：exe825.m
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