第12讲 第5章频域分析法 例题解析

这一讲不讲新概念,是把第5章的东西"拿去做题"。但因为你是零基础,我不敢假设你前两讲的概念都还在脑子里,所以每个要用的概念我都在这里重新用大白话讲一遍再用。读这一讲的正确姿势:先看第0节把词认全,再一道题一道题跟。

0. 先把这一章的"词"全部认一遍(不认全后面全是天书)

这一节全是【补前置】。一个词都别跳。

0.0 比"频率特性"还早的四个词:开环、闭环、单位负反馈、前向通道

这四个词是整章的地基,后面每一句话都踩在它们上面,所以先讲它们。

反馈:把系统的输出量测回来,和给定值比一比,用"差值"去驱动系统。空调就是这么干的:设定 26 度(输入 \(R\)),温度计量到实际 24 度(输出 \(C\)),两者一减得到误差 \(E=R-C=+2\) 度,压缩机按这个 \(+2\) 去出力。

负反馈:相减(不是相加)。为什么要减?因为要的是"消灭差值"。如果相加,输出越大驱动越猛,系统当场跑飞。

单位负反馈:测回来的那一路上没有任何装置(反馈系数等于 1),即直接拿输出 \(C\) 本身去和输入 \(R\) 相减,\(E=R-C\)。如果反馈路上有个传感器 \(H(s)\)(比如输出是转速、测回来是电压),那就不是单位反馈,\(E=R-H\cdot C\)。本讲四道题全是单位负反馈,所以 \(H(s)=1\)。

前向通道:从"误差 \(E\)"往前走到"输出 \(C\)"这一路上串着的所有环节(放大器、电机、减速箱……),它们的传递函数乘起来记作 \(G(s)\)。"前向"就是信号往前走的那条主干道;"反馈通道"是测回来的那条支路,记作 \(H(s)\)。

开环传递函数 \(G(s)H(s)\):把反馈这个环在相减点处剪断,信号从剪断口进去,绕前向通道一圈、再绕反馈通道回到剪断口,这一整圈的传递函数就是 \(G(s)H(s)\)。它是一圈的乘积,不是"没有反馈的系统"。单位反馈时 \(H=1\),开环传递函数就等于 \(G(s)\) 本身——本讲题目里说的"开环传递函数 \(G(s)\)"就是这个意思。

闭环传递函数:环不剪断、真实工作状态下,输出对输入的传递函数 \(C(s)/R(s)\)。

【你可能会以为】"开环"是指把反馈线拆掉的另一个系统,所以和闭环稳不稳没关系。其实开环传递函数只是一个为了分析而定义的中间量,系统本身始终是闭着环工作的。因为闭环特征方程写出来正好是 \(1+G(s)H(s)=0\)(推导见 3.3 节前的【补前置·闭环传递函数为什么是 \(G/(1+G)\)】),里面出现的正是这一圈的乘积,所以"分析闭环"最省事的抓手就是"画开环这一圈"。

线性【补前置】:系统满足两条——①齐次性:输入放大 2 倍,输出也正好放大 2 倍;②叠加性:两个输入分别作用的输出,加起来等于两个输入一起作用的输出。本章"正弦进、同频正弦出"这个整章赖以成立的性质,就是线性给的(非线性系统正弦进去会出来一堆倍频谐波,第7、8章才处理)。

0.1 频率特性 \(G(j\omega)\) 是什么

大白话:给系统输入一个正弦波(比如让电机的给定电压按 \(\sin\) 上下摆动),等足够长时间、开头那阵乱七八糟的过渡过程死光以后,输出也是一个同频率的正弦波,只不过两件事变了:

1. 个头变了(幅值被放大或缩小了若干倍);
2. 时间上错开了(相位超前或滞后了一个角度)。

把"放大多少倍"和"错开多少角度"这两个数,写成一个随频率 \(\omega\) 变化的东西,就叫频率特性。

怎么从传递函数拿到它:把传递函数 \(G(s)\) 里所有的 \(s\) 换成 \(j\omega\),就得到 \(G(j\omega)\)。就这么粗暴。

【补前置·\(j\) 是什么】\(j\) 是虚数单位,\(j^2=-1\)(工科写 \(j\) 不写 \(i\),因为 \(i\) 被电流占了)。一个复数 \(z=a+jb\) 可以看成平面上的一个点:横坐标 \(a\) 叫实部(实频特性),纵坐标 \(b\) 叫虚部(虚频特性)。这个点到原点的距离 \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) 叫模,就是"放大多少倍",记作幅频特性 \(A(\omega)\);这个点与正实轴的夹角 \(\angle z=\arctan(b/a)\) 叫辐角,就是"错开多少角度",记作相频特性 \(\varphi(\omega)\)。

所以:一个复数 \(G(j\omega)\) 同时装着"放大倍数"和"相位差"两条信息,这是整章的地基。

【补前置·\((j\omega)^2\) 怎么算】\((j\omega)^2=j^2\omega^2=-\omega^2\)。第一道例题一上来就要用。

【你可能会以为】频率特性是个"新的、和传递函数没关系的东西"。其实它就是传递函数在虚轴上(\(s=j\omega\))的取值,是同一个模型的另一副面孔。因为复指数信号 \(e^{j\omega t}\) 是线性定常系统的"特征信号":送进去出来还是同频率的它,只是乘了个复数因子,这个因子正好是 \(G(j\omega)\)。

【补前置·\(e^{j\omega t}\) 是什么、为什么它等价于正弦】欧拉公式: $\(e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta\)$ ①这式子在说什么:复平面单位圆上转到角度 \(\theta\) 的那个点,可以写成一个指数。②符号:\(\theta\) 是转过的角度。取 \(\theta=\omega t\),就是"以角速度 \(\omega\) 在单位圆上匀速转圈"的那个点,它的实部就是 \(\cos\omega t\)、虚部就是 \(\sin\omega t\)。所以"转圈"和"正弦波"是同一件事的两种看法(把匀速转的点投影到横轴,得到的就是正弦曲线)。③怎么用:正弦输入不好算(要用三角恒等式),转成 \(e^{j\omega t}\) 就只剩指数运算,算完取实部即可。

【补前置·"特征信号"是什么意思】某类信号送进系统,出来还是它自己、只是数值上被缩放了一个倍数,这类信号就叫这个系统的特征信号(和线性代数里"特征向量:\(A x=\lambda x\),方向不变只被拉伸"是同一个思想)。对线性定常系统,\(e^{j\omega t}\) 就扮演 \(x\) 的角色,那个"缩放倍数 \(\lambda\)"就是复数 \(G(j\omega)\)——它既缩放幅值(模)、又旋转相位(辐角)。整章之所以能用一个复数概括一个动态系统,根子在这里。

【补前置·定常】"定常"=系统的参数不随时间变(电阻不会自己变阻值)。只有定常系统才谈得上"频率特性不随时间改变"。

0.2 奈奎斯特曲线(奈氏曲线 / Nyquist 曲线)

大白话:让 \(\omega\) 从 \(0\) 一路涨到 \(+\infty\),每一个 \(\omega\) 都算出一个复数 \(G(j\omega)\),也就是复平面上的一个点;把这些点连起来的那条曲线,就是奈氏曲线。它是开环频率特性的图像(画的是 \(G(s)H(s)\),不是闭环)。

【难点·第一个大坑】画的是开环,判的是闭环稳不稳。学生最常混。为什么能这样?因为闭环特征方程是 \(1+G(s)H(s)=0\),也就是 \(G(s)H(s)=-1\)。闭环的稳定性问题被翻译成了"开环频率特性这条曲线和 \((-1,j0)\) 这个点的关系问题"。所以整章都在盯着 \((-1,j0)\) 这一个点看,它叫临界点。难在哪:它要求你时刻分清"手里画的是开环的图"和"嘴里说的是闭环的结论"。

字幕里被语音识别糊成"南汇斯特/莱布斯特/纳乌斯特"的,全是奈奎斯特。

0.3 系统的"型别" \(\nu\)

大白话:开环传递函数里,分母上有几个 \(s\) 单独站着(即 \(s=0\) 处有几个极点),这个个数 \(\nu\) 就叫型别。\(\nu=0\) 叫0型,\(\nu=1\) 叫Ⅰ型,\(\nu=2\) 叫Ⅱ型。

【补前置·极点/零点】把传递函数写成分式,分母等于零的根叫极点,分子等于零的根叫零点。极点大致代表系统"自己固有的运动模式",零点代表输入被加工的方式。

【补前置·积分环节】分母的一个 \(s\) 就是一个积分器。积分器的作用是"把输入累加起来"——水龙头开着,水位是流量的积分。它的频率特性是 \(1/(j\omega)\),模 \(=1/\omega\),相角恒为 \(-90^\circ\)。所以:

每多一个积分器,低频段的相位就多滞后 \(90^\circ\),而且 \(\omega\to0\) 时模趋于无穷大。

这就是为什么:\(\nu\) 决定了奈氏曲线低频段(从哪儿出发)。\(\nu=1\) 从无穷远处沿 \(-90^\circ\) 方向(负虚轴方向)出发,\(\nu=2\) 沿 \(-180^\circ\) 方向(负实轴方向)出发。

0.4 高频段终点由 \(n-m\) 决定

\(n\) = 开环极点个数(分母次数),\(m\) = 开环零点个数(分子次数)。\(\omega\to\infty\) 时曲线以 \(-(n-m)\times 90^\circ\) 的方向趋近于原点。

为什么:频率很高时,分子分母都只剩最高次项,\(G(j\omega)\approx K/(j\omega)^{n-m}\),模趋于 0(所以终于原点),相角是 \(-(n-m)\cdot 90^\circ\)(所以是那个方向进原点)。

【补前置·为什么一定 \(n\ge m\)】这是因果性:输出不能比输入变化得更超前。如果分子次数比分母高,意味着输出里含有输入的高阶导数——系统能"预知"输入将要怎么变,现实里不存在。这也叫系统惯性:任何真实系统对高频输入的响应都会衰减,不可能越快越猛。

0.5 最小相位系统 / 非最小相位系统

大白话:开环传递函数的零点和极点全都在复平面左半边(实部为负),并且没有延迟环节,就叫最小相位系统。只要有一个零点或极点跑到右半平面,就叫非最小相位系统。

【补前置·左半平面为什么重要】\(s\) 的实部为负 ⟺ 对应的时间响应是 \(e^{-at}\) 这种衰减的;实部为正 ⟺ \(e^{+at}\) 发散。所以"右半平面有极点"= 开环本身就不稳定。

为什么叫"最小相位":在同样的幅频特性下,这类系统的相位滞后是所有可能系统里最小的。实用后果:最小相位系统,幅频特性和相频特性一一对应——看幅频就能反推相频,也就能反推传递函数(这是本讲第5个考点的根子)。非最小相位系统没这个好事。

0.6 相角裕度 \(\gamma\) 与幅值裕度 \(k_g\)(考试必考)

据PPT第5.4节:

• 截止频率(开环剪切频率)\(\omega_c\):满足 \(|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1\) 的频率。也就是奈氏曲线穿过单位圆的那个频率;在波德图上就是幅频曲线穿过 0 dB 线的那个频率。
• 相角裕度: $\(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\)$ ①这式子在说什么:在"放大倍数正好等于1"的那个频率上,系统的相位离 \(-180^\circ\) 还差多少度。②符号:\(\varphi(\omega_c)\) 是开环相频特性在 \(\omega_c\) 处的值(通常是负数,表示滞后)。③怎么用:\(\gamma>0\) 系统稳定,\(\gamma<0\) 不稳定;\(\gamma\) 越大越稳当。PPT给的工程经验值是 \(\gamma=30^\circ\sim60^\circ\)。
• 相位穿越频率 \(\omega_g\):满足 \(\varphi(\omega_g)=-180^\circ\) 的频率,即奈氏曲线穿过负实轴的频率。
• 幅值裕度: $\(k_g=\frac{1}{|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|},\qquad k_g(\text{dB})=-20\lg|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|\)$ ①在说什么:在"相位正好滞后到 \(-180^\circ\)"的那个频率上,开环增益还能放大多少倍系统才会临界失稳。②怎么用:\(k_g>1\)(即 dB 值 \(>0\))稳定,\(k_g<1\)(dB 值 \(<0\))不稳定。PPT工程经验值 \(k_g\ge 6\) dB。

【难点·为什么这两个数叫"裕度"】把 \(\gamma\) 和 \(k_g\) 想成"离悬崖还有多远"。悬崖就是 \((-1,j0)\) 点:曲线一旦压到这个点,\(G=-1\),闭环特征方程 \(1+G=0\) 成立在虚轴上,系统临界振荡。\(\gamma\) 是"沿着单位圆量的角度余量",\(k_g\) 是"沿着负实轴量的倍数余量"。难在:很多人背下公式却不知道二者量的是同一个"离悬崖距离"的两个不同方向。PPT明确写了第3条:两者一般要同时使用,单独一个有时说明不了问题。

【你可能会以为】\(\gamma>0\) 就万事大吉。其实PPT第45张明确写了两条边界:(1) 稳定裕量概念只适合开环稳定的系统;(2) 裕量判稳定是建立在奈氏判据之上的。因为开环不稳定时(\(P\ne0\)),曲线必须去包围 \((-1,j0)\) 才对,"离得远"反而可能是错的。所以遇到开环不稳定的题(本讲第4题),老老实实用奈氏判据数圈数,不要用裕度下结论。

0.7 奈奎斯特稳定判据(本讲的心脏)

设 \(P\) = 开环传递函数位于右半平面的极点个数(开环不稳定的极点数),\(Z\) = 闭环位于右半平面的极点个数(闭环不稳定的根数)。

完整曲线版(\(\omega\) 从 \(-\infty\) 到 \(+\infty\),含 \(s=0\) 处补的无穷大圆弧): $\(Z=P-N\)$ 其中 \(N\) = 完整奈氏曲线逆时针包围 \((-1,j0)\) 点的圈数(顺时针记为负)。\(Z=0\) 才是闭环稳定。

半曲线版(只画 \(\omega:0\to+\infty\),考试更常用):PPT第14张原话是"当开环频率特性逆时针包含 \((-1,j0)\) 点 \(p/2\) 圈时,系统稳定;最小相位系统,不包含 \((-1,j0)\) 点,系统稳定"。

穿越法版(PPT第27、28张):曲线从上到下穿过 \((-\infty,-1)\) 这段负实轴叫正穿越(伴随相角增大),从下到上穿过叫负穿越;起始或终止于 \(-1\) 点以左的负实轴上算半次穿越。\(\omega\) 从 0 到 \(\infty\) 时,正负穿越次数之差 \(=P/2\) 则稳定;最小相位系统(\(P=0\))则要求正负穿越之差 \(=0\)。

【难点·三个版本别混着用】难在教材/老师会在不同题里换版本,数出来的 \(N\) 定义不同。自保办法:考试时明确写出你用的是哪一版并写出定义式,再数。数完做一次交叉检验——如果特征方程次数低,直接用第3章的劳斯判据验一遍(本讲第2题老师就明说了:概念忘了就用劳斯判据判稳定性)。

【补前置·为什么只关心"\(-1\)点以左"】因为穿越只在负实轴上 \(|G|>1\) 的那段才可能造成对 \((-1,j0)\) 的包围。\(|G|<1\) 的那段(即 \(-1\) 到 \(0\) 之间)穿过去不改变包围情况。

0.8 这一章在考研里考什么(据字幕开头老师列的六条,我按PPT术语规整了写法,属要点转述,非老师逐字原话)

1. 用频率特性求系统对正弦输入的稳态响应;
2. 会画开环奈氏曲线和波德图;
3. 用奈氏判据判闭环稳定性,并算相角裕度、幅值裕度;
4. (字幕此处老师说"第四个考察点"后直接跳到第五个,没有说出第四条的内容,原文如此,不是我省略的)【存疑·待核】;
5. 由最小相位系统的对数幅频特性曲线反推传递函数(常和第6章频域校正合考);
6. 由频域指标估算时域动态性能(相角裕度↔超调量、阻尼比;截止频率、带宽频率↔上升时间、峰值时间、调节时间)。

【补前置·第6条里那一串时域名词】它们全是第3章的东西,这里一次性还原成大白话(设系统受到一个阶跃输入,即"给定值突然从0跳到1",看输出怎么爬上去):

• 上升时间 \(t_r\):输出第一次从10%爬到90%(或第一次到达100%)所用的时间。量"起步快不快"。
• 峰值时间 \(t_p\):输出冲过头、到达第一个最高点的时刻。
• 超调量 \(\sigma\%\):最高点比最终稳定值高出多少,用百分比表示,\(\sigma\%=\dfrac{c_{\max}-c(\infty)}{c(\infty)}\times100\%\)。量"冲过头有多凶"。
• 调节时间 \(t_s\):输出进入并从此不再离开"最终值 \(\pm5\%\)(或 \(\pm2\%\))"这个小带子的时刻。量"多久彻底安定下来"。
• 带宽频率 \(\omega_b\)【补前置】:闭环幅频特性 \(M(\omega)\) 从零频值下降到 \(0.707M(0)\) 时对应的频率(据PPT幻灯片60)。大白话:系统"跟得动"的最高输入频率,再快的输入信号送进去就被系统自己滤掉了。\(\omega_b\) 越大反应越快,但同时高频噪声也越容易灌进来,要折中(PPT幻灯片61原话大意)。

这一条的用途:频域指标(\(\gamma,\omega_c,\omega_b\))是能在实验中直接测到的,时域指标(\(\sigma\%,t_s\))是客户真正关心的,所以要在两者之间建桥。本讲例题三的 3.4 节就是这座桥的活例子。

0.9 【补前置】考场上没有计算器,\(\arctan\) 怎么办

本讲后面会大量出现 \(\arctan 8\)、\(\arctan 3.16\) 这类数。零基础在这里一定会卡:"这值我怎么算得出来?"如实说:

第一,考场默认允许保留形式。 绝大多数题目的标准答案写成 \(\gamma=\arctan(4a)-\arctan 8\) 就可以得分,不必化成度数。只有当题目要求"判断是否大于 \(45^\circ\)"这类比较时,才需要动手,而那时通常用取正切的办法把 \(\arctan\) 消掉(见 1.2 节的做法),照样不需要查表。

第二,记住几个常用值就够估算了(这些是必须背下来的,和背 \(\sqrt2\approx1.414\) 是一个性质):

第三,两条把大数变小数的公式(表里"怎么记"那一列全靠它们): $\(\arctan x+\arctan\frac1x=90^\circ\quad(x>0),\qquad \arctan x\approx 57.3x\ \text{度}\quad(x\ \text{很小时})\)$ 第一条让你把 \(\arctan 8\) 换成 \(90^\circ-\arctan0.125\);第二条让你把 \(\arctan0.125\) 估成 \(57.3\times0.125\approx7.2^\circ\)(真值 \(7.1^\circ\))。两条连用,任何 \(\arctan\) 都能口算到 1 度以内。

【难点·\(57.3\) 是哪来的】\(\arctan x\approx x\)(弧度制,\(x\) 小时),再把弧度换成度要乘 \(180/\pi\approx57.3\)。难在很多人背了"\(\arctan x\approx x\)"却忘了它是弧度,直接当度数用,结果差 57 倍。

1. 例题一:画奈氏曲线 + 判稳定 + 算裕度(Ⅱ型系统)

题目(据字幕复原):单位负反馈系统,前向通道为两个环节串联,开环传递函数 $\(G(s)=\frac{10(as+1)}{s^2(2s+1)}\)$ (1) \(a=0\) 时画奈氏曲线并用奈氏判据判闭环稳定性;(2) \(a>0\) 且 \(\omega_c=4\) 时,能否满足 \(\gamma>45^\circ\);(3) 定性讨论 \(a\) 变化对稳定性的影响。

(1) \(a=0\):\(G(s)=\dfrac{10}{s^2(2s+1)}\)

第一步:换成频率特性。 把 \(s\) 换成 \(j\omega\): $\(G(j\omega)=\frac{10}{(j\omega)^2(1+j2\omega)}=\frac{10}{-\omega^2(1+j2\omega)}\)$

第二步:化成"实部+虚部"。 这一步叫分母有理化。

【补前置·分母有理化怎么做】分母是复数 \((1+j2\omega)\) 时没法直接看实部虚部。办法:上下同乘分母的共轭(把虚部符号翻过来,即 \(1-j2\omega\))。因为 \((1+jb)(1-jb)=1+b^2\) 是个实数,分母就干净了。

这式子在说什么:对每一个频率 \(\omega\),曲线上那个点的横坐标是第一项,纵坐标是第二项。

第三步:三个频段读图。

• 实部恒为负(分子 \(-10\),分母恒正)⟹ 曲线永远在左半平面 ⟹ 绝不会与虚轴相交。
• 虚部恒为正(\(\omega>0\))⟹ 曲线永远在上半平面 ⟹ 绝不会与实轴相交。两条合起来:整条曲线只待在第二象限。
• 低频段 \(\omega\to0^+\):这是Ⅱ型系统(\(s^2\)),按0.3节结论,从无穷远处沿 \(-180^\circ\) 方向(负实轴方向)出发。又因为虚部为正,所以是从第二象限方向、贴着负实轴上方出来的。

【难点·"沿负实轴方向出发"和"绝不与实轴相交"不矛盾】读到这里你多半会觉得自己看错了:上一条刚说虚部恒正、永不碰实轴,这一条又说沿负实轴方向出来。两句都对,关键词是"渐近":\(\omega\to0^+\) 时虚部 \(\dfrac{20}{\omega(1+4\omega^2)}\to+\infty\)、实部 \(\dfrac{-10}{\omega^2(1+4\omega^2)}\to-\infty\),但实部跑得更快(量级 \(\omega^{-2}\) 对 \(\omega^{-1}\)),所以两者的比值 \(\dfrac{\text{虚}}{\text{实}}=-2\omega\to0^-\)——点始终在实轴上方,但它"离实轴的高度"相对于"它离原点的距离"越来越可以忽略,方向角因此趋于 \(180^\circ\)。就像一条无限逼近水平线却永不触碰它的曲线。所以正确说法是:无限贴近负实轴上方、但永不相交。 - 中频段:没有开环零点 ⟹ 没有"凸凹变化"(曲线不会拐回头),也不与坐标轴相交。

【补前置·"凸凹变化"是啥】指曲线在中频段出现弯折、回勾的形状。零点会给相位"往回加"(超前),把曲线往回掰,所以有零点才可能出现凸凹变化。没有零点,相位一路单调滞后,曲线一路顺过去。

• 高频段 \(\omega\to+\infty\):\(n=3\)(极点 \(0,0,-0.5\)),\(m=0\),\(n-m=3\),所以沿 \(-3\times90^\circ=-270^\circ\) 的方向趋于原点。

第四步:补全整条曲线。 \(\omega:0^+\to+\infty\) 的这半条画好后,\(\omega:-\infty\to0^-\) 的那半条按关于实轴镜像对称画出来(因为 \(G(-j\omega)\) 是 \(G(j\omega)\) 的共轭)。最后在 \(\omega=0^-\) 到 \(\omega=0^+\) 之间,顺时针补一段半径无穷大、转过 \(\nu\times180^\circ=2\times180^\circ=360^\circ\) 的大圆弧。

【补前置·为什么要补这段圆弧】因为 \(s=0\) 处有开环极点,奈氏判据要求的那条包围整个右半平面的封闭围线不能穿过极点,得从右边绕一个无穷小的半圆躲开它;这个无穷小半圆映射到 \(G\) 平面上,就是这段无穷大的圆弧。每个原点处的极点贡献 \(180^\circ\),所以Ⅱ型系统补 \(360^\circ\)。

第五步:数圈(本讲唯一真正难的动作,慢慢走)。

到这里为止我们只有"半条曲线 + 镜像 + 无穷大圆弧"三块碎片,还没有说清它们怎么拼成一条闭合的围线、以及怎么在这条闭合围线上"数圈"。这是全章最容易被抹平、也最容易在考场上现场崩溃的地方,所以下面把两件事都摊开。

(一) 闭合围线怎么拼(按 \(\omega\) 从 \(-\infty\) 走到 \(+\infty\),一笔画下来)

想象你拿笔沿这条线走,方向就是 \(\omega\) 增大的方向:

1. 起点:\(\omega=-\infty\),笔尖在原点。(镜像段的高频端。)
2. \(\omega:-\infty\to0^-\):笔尖从原点出发,走在第三象限(镜像段:实部负、虚部负),越走越远,最后奔向左下方无穷远,方向无限贴近负实轴下方。
3. \(\omega=0^-\to0^+\):笔尖此刻在无穷远处。补的那段半径无穷大的圆弧在这里接手:从"负实轴下方"出发,顺时针(即经由 \(-90^\circ\) 的正虚轴方向 → \(0^\circ\) 正实轴方向 → \(+90^\circ\) 负虚轴方向)整整转 \(360^\circ\),最后停在"负实轴上方"。这段大圆弧把整个有限复平面(当然也包括 \((-1,j0)\))整个兜了一圈。
4. \(\omega:0^+\to+\infty\):笔尖从左上方无穷远处出发,走第二象限那条我们刚画好的曲线,回到原点。
5. 收笔:起点和终点都在原点,闭合了。

【难点·两个"看似矛盾"在这里同时解决】曲线本身从不碰实轴,却能包围 \((-1,j0)\)——因为包围这件事是整条闭合围线干的,而无穷大圆弧正是那块横扫过实轴、把临界点圈进来的拼图。只盯着有限部分的那半条曲线,你永远数不出圈数。这就是为什么第四步补圆弧不是形式主义。

(二) 怎么数圈:从 \((-1,j0)\) 引一根矢量,看它总共转了多少度

操作方法(考场上真能执行的):把图钉扎在 \((-1,j0)\) 点上,拉一根橡皮筋连到笔尖,笔尖沿上面 5 步走一遍,盯着橡皮筋的方向角总共转过多少度。规定:逆时针转为正。最后拿总转角除以 \(360^\circ\),就是 \(N\)。

按上面 5 步逐段算(角度指橡皮筋方向,从 \((-1,j0)\) 指向笔尖):

• 第2段(\(\omega:-\infty\to0^-\),第三象限):笔尖从原点出发,橡皮筋指向右(约 \(0^\circ\));笔尖跑向左下无穷远时,橡皮筋指向左(约 \(-180^\circ\))。中途连续经过第三象限下方,角度单调减小。这一段转了 \(-180^\circ\)。
• 第3段(无穷大圆弧):笔尖绕无穷大圆整整顺时针一圈,橡皮筋跟着顺时针转一整圈:\(-360^\circ\)。
• 第4段(\(\omega:0^+\to+\infty\),第二象限):笔尖从左上无穷远(橡皮筋指向左,\(+180^\circ\),与上一段末尾连续)回到原点(橡皮筋指向右,\(0^\circ\)),角度单调减小,转了 \(-180^\circ\)。

总转角 \(=-180^\circ-360^\circ-180^\circ=-720^\circ\),即 $\(N=\frac{-720^\circ}{360^\circ}=-2\quad(\text{负号}=\text{顺时针}),\qquad\text{也就是顺时针包围 }(-1,j0)\text{ 两圈。}\)$

(三) 换用 0.7 节的正负穿越法复算一遍(考场首选,比数转角快)

穿越法只看半条曲线(\(\omega:0\to+\infty\))加上补线,只数它穿过 \((-1,j0)\) 以左那段负实轴的次数,判据是"正负穿越次数之差 \(=P/2\) 则稳定"。

• 补线:\(\omega=0^+\) 那一端要以无穷大半径顺时针补 \(\nu\times90^\circ=180^\circ\),从正实轴方向转到 \(-180^\circ\) 方向,终止在负实轴(无穷远处,当然在 \(-1\) 以左)。它是从下方(经由 \(-90^\circ\) 那一侧)升上来抵达负实轴的。
• 紧接着曲线本体从这一点继续向上进入第二象限。

把这两步连起来看,笔尖完成了一次完整的自下而上穿过 \((-\infty,-1)\) 的动作 ⟹ 按 PPT 幻灯片27的定义,这是 1 次负穿越。 - 其余部分:曲线整条待在第二象限,再没碰过负实轴 ⟹ 正穿越 0 次。

所以正负穿越次数之差 \(=0-1=-1\)。而 \(P=0\),要求的是 \(P/2=0\)。\(-1\ne0\) ⟹ 不稳定,并且 $\(Z=P-2(N_+-N_-)=0-2\times(-1)=2\)$ 与数转角的结论(\(N=-2\)、\(Z=2\))完全一致。

【难点·穿越法为什么系数是2】数转角版的 \(N\) 数的是整条(从 \(-\infty\) 到 \(+\infty\))围线的圈数;穿越法只用了半条(\(0\to+\infty\)),另外半条靠镜像对称补,所以半条数出来的"穿越差"要乘2才等于整条的圈数。这就是判据里一会儿 \(P\)、一会儿 \(P/2\) 的唯一来源(PPT幻灯片15专门标了"新书 p210 奈氏判据 \(P\to P/2\)")。

结论。 开环极点是 \(s=0,0,-0.5\),没有一个在右半平面,所以 \(P=0\);上面两种数法都给出 \(N=-2\),代入 $\(Z=P-N=0-(-2)=2\)$ 闭环有 2 个右半平面特征根 ⟹ 闭环不稳定。

交叉验证(我自己算的,不是字幕内容):闭环特征方程 \(s^2(2s+1)+10=2s^3+s^2+10=0\)。注意它缺 \(s\) 一次项——第3章劳斯判据里有条必要条件:特征多项式系数必须全部同号且不缺项,缺项必不稳定。数值解得根为 \(-1.894\) 和 \(0.697\pm j1.468\),确实有 2 个右根,与奈氏结论完全一致。这就是0.7节说的"交叉检验",考场上值得花30秒做。

(2) \(a>0\)、\(\omega_c=4\),能否 \(\gamma>45^\circ\)

现在 \(G(j\omega)=\dfrac{10(1+ja\omega)}{(j\omega)^2(1+j2\omega)}\)。

相角怎么拆:【补前置】复数相乘,辐角相加;相除,辐角相减。所以把开环相频特性按环节逐项拆:

• 分子 \((1+ja\omega)\) 是一阶微分环节,相角 \(+\arctan(a\omega)\)(超前,正的);
• 分母的 \((j\omega)^2\) 是两个积分器,相角 \(-90^\circ\times2=-180^\circ\);
• 分母的 \((1+j2\omega)\) 是惯性环节,相角 \(-\arctan(2\omega)\)(滞后,负的);
• 常数 10 不贡献相角。

代入 \(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\),\(\omega_c=4\): $\(\gamma=180^\circ+\arctan(4a)-180^\circ-\arctan 8=\arctan(4a)-\arctan 8\)$

要求 \(\gamma>45^\circ\),两边取正切(【补前置·两角差的正切公式】\(\tan(A-B)=\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\),而 \(\tan 45^\circ=1\)): $\(\frac{4a-8}{1+32a}>1\)$ \(a>0\) 时分母 \(1+32a>0\),可以直接乘过去:\(4a-8>1+32a\Rightarrow -9>28a\Rightarrow a<-\dfrac{9}{28}<0\)。

这与题设 \(a>0\) 矛盾,所以:无论 \(a\) 取多大的正数,都不可能在 \(\omega_c=4\) 处让相角裕度超过 \(45^\circ\)。

【难点·这个结论的物理意思】难点不在算,在于"为什么加了超前零点还是不够"。\(\arctan 8\approx82.9^\circ\) 已经把惯性环节的滞后吃掉了绝大部分;而 \(\arctan(4a)\) 无论 \(a\) 多大也顶多趋近 \(90^\circ\),所以 \(\gamma\) 的上确界是 \(90^\circ-82.9^\circ=7.1^\circ\),永远够不到 \(45^\circ\)。\(\arctan\) 有天花板 \(90^\circ\),这是频域校正里反复出现的硬约束(第6章超前校正为什么要串多级、为什么最大超前角有限,根子在这)。

(3) \(a\) 对稳定性的影响(定性)

有了零点以后,重新有理化(过程同前,乘共轭 \((1-j2\omega)\)): $\(G(j\omega)=\frac{-10(1+2a\omega^2)}{\omega^2(1+4\omega^2)}+j\,\frac{-10(a-2)}{\omega(1+4\omega^2)}\)$

【怎么读这两项】

• 实部:分母恒正,分子 \(-10(1+2a\omega^2)\) 的正负取决于 \(a\)。\(a>0\) 时恒负 ⟹ 曲线始终在左半平面;(\(a\) 为负且够大时分子可能变号,曲线会跑到右半平面,但题设 \(a>0\),不展开。)
• 虚部:\(\dfrac{-10(a-2)}{\omega(1+4\omega^2)}\),分母恒正,所以符号完全由 \((2-a)\) 决定,而且对所有 \(\omega>0\) 符号都不变。这就把 \(a>0\) 切成了三段:\(a<2\) 虚部恒正(曲线在上半平面)、\(a=2\) 虚部恒零(曲线压在实轴上)、\(a>2\) 虚部恒负(曲线在下半平面)。

先把答案的靠山立起来:用劳斯判据算出真相。 闭环特征方程 $\(s^2(2s+1)+10(as+1)=2s^3+s^2+10as+10=0\)$ 列劳斯阵(第3章的方法,这里就地用一遍):

第1列必须全部同号才稳定,唯一可能变号的是 \(10a-20\):

• \(a>2\):第1列全正 ⟹ 闭环稳定(\(Z=0\));
• \(a=2\):\(s^1\) 行整行为零 ⟹ 临界(有一对纯虚根);
• \(0<a<2\):\(10a-20<0\),第1列符号走"正、正、负、正",变号两次 ⟹ 闭环有 2 个右半平面根(\(Z=2\)),不稳定。

【为什么先算这个】因为下面用奈氏判据分三段讨论时,每段都能拿这个结果对答案。0.7节说过"数完圈要做一次交叉检验",这道题就是最该做的一道——三种情形三个结论,数错一个自己立刻能发现。

现在按三段用奈氏判据把它讲通。 三段共同的前提:开环极点 \(s=0,0,-0.5\),右半平面一个都没有,\(P=0\);有了零点后 \(n=3,m=1\),\(n-m=2\),高频沿 \(-180^\circ\) 方向进原点;\(\nu=2\),补 \(360^\circ\) 顺时针大圆弧;低频仍从无穷远沿 \(-180^\circ\) 方向出发(渐近,不相交)。

第一段:\(0<a<2\)(虚部恒正,曲线整条在第二象限)

形状与第(1)问同类型(只是高频进原点的方向由 \(-270^\circ\) 变成 \(-180^\circ\),不影响包围)。照 1.1 节第五步走一遍矢量转角:第三象限镜像段 \(-180^\circ\),无穷大圆弧 \(-360^\circ\),第二象限段 \(-180^\circ\),总计 \(-720^\circ\) ⟹ \(N=-2\)。 $\(Z=P-N=0-(-2)=2\)$ 闭环不稳定,有 2 个右根——与劳斯的 \(Z=2\) 对上。

第二段:\(a=2\)(虚部恒为零,曲线整条压在负实轴上)

此时实部化简为 $\(\mathrm{Re}=\frac{-10(1+4\omega^2)}{\omega^2(1+4\omega^2)}=\frac{-10}{\omega^2}\)$ 即 \(\omega\) 从 \(0^+\) 到 \(\infty\),曲线就是整条负实轴,从 \(-\infty\) 滑到 \(0\)。它必然经过 \(-1\) 点(令 \(-10/\omega^2=-1\) 得 \(\omega=\sqrt{10}\approx3.16\))。

曲线穿过临界点本身,奈氏判据此时不给"稳/不稳",只给临界稳定:闭环有一对极点落在虚轴上,系统等幅振荡,振荡频率就是 \(\omega=\sqrt{10}\)。验证:\(2s^3+s^2+20s+10=(2s+1)(s^2+10)=0\),根为 \(-0.5\) 和 \(\pm j\sqrt{10}\),虚根频率正好 \(\sqrt{10}\),与奈氏曲线穿过 \(-1\) 的频率严丝合缝。

【难点·这就是"临界点"这个名字的来历】\(G(j\omega)=-1\) 意味着 \(1+G=0\) 在 \(s=j\omega\) 上成立,即闭环特征根正好落在虚轴上。第(1)问里我们说"曲线压到这个点就临界振荡",这里是这句话第一次被具体算出来。

第三段:\(a>2\)(虚部恒负,曲线整条在第三象限)

这是第一段的镜像:曲线整条落到第三象限,同样不与实轴相交、同样沿负实轴渐近出发、同样沿 \(-180^\circ\) 进原点,但在实轴的另一侧。再走一遍矢量转角(图钉仍扎在 \((-1,j0)\)):

• \(\omega:-\infty\to0^-\) 的镜像段现在跑在第二象限,笔尖从原点走向左上无穷远,橡皮筋方向从 \(0^\circ\) 转到 \(+180^\circ\):\(+180^\circ\);
• 无穷大圆弧仍是顺时针 \(360^\circ\):\(-360^\circ\);
• \(\omega:0^+\to+\infty\) 段在第三象限,笔尖从左下无穷远回到原点,橡皮筋方向从 \(180^\circ\) 经 \(270^\circ\) 转到 \(360^\circ\):\(+180^\circ\)。

总转角 \(=180^\circ-360^\circ+180^\circ=0\) ⟹ \(N=0\), $\(Z=P-N=0-0=0\)$ 闭环稳定——与劳斯的 \(a>2\) 稳定对上。

穿越法复算:补线仍从正实轴顺时针转 \(180^\circ\)、终止于负实轴无穷远处(自下方升抵),但这次曲线本体接着又向下折回第三象限,并没有真的穿到实轴上方去,所以这只是"碰了一下又退回",净穿越为 0,恰好等于 \(P/2=0\) ⟹ 稳定。对比第一段:那里曲线本体是继续向上进入第二象限的,补线的半次加上曲线的半次凑成一次完整的自下而上穿越 = 1 次负穿越,才导致不稳定。两段的全部差别就在这一步是"穿过去"还是"退回来",而它由虚部符号(即 \(a\) 与 2 的大小)唯一决定。

这一问的结论一句话:\(a\) 不是"影响不大",而是决定生死——\(0<a<2\) 不稳定,\(a=2\) 等幅振荡,\(a>2\) 才稳定。第(1)问的 \(a=0\) 恰好落在不稳定那一段里,所以千万别把 \(a=0\) 的结论外推到所有 \(a\)。

【难点·最容易犯的错就是"外推"】看到 \(a\ne2\) 时虚部不为零,就顺手说"那和第(1)问一样,不与实轴相交,包围情况不变"——这个推理是错的。"不与实轴相交"只说明曲线待在实轴的某一侧,没说是哪一侧;而正是"哪一侧"决定了矢量转角是 \(-720^\circ\) 还是 \(0^\circ\)。\(a\) 跨过 2 时曲线整条从上半平面翻到下半平面,包围数从 2 圈直接掉到 0 圈。符号不变 \(\ne\) 符号相同。

老师在字幕里到这里说"这个题我们就不再往下细讲了,回去大家可以把它做完",所以上面这三段区间讨论是我按判据补全并用劳斯判据验证过的,音频里没有(不是我略掉的,也不是老师原话)。

【你可能会以为】加个零点(微分环节)总是让系统更稳,或者"加了也差不多"。其实都不对:本题里零点系数 \(a\) 必须大于 2 才救得回来,\(a\) 稍小一点(比如 \(a=1\))系统照样有两个右根。零点确实提供相位超前(有利),但同时抬高了高频段幅值(不利),两股作用谁赢由 \(a\) 的大小定。因为稳定性看的是曲线与 \((-1,j0)\) 的相对位置,是幅值和相位共同决定的,不能只盯相位、更不能只看"有没有零点"。

2. 例题二:画波德图 + 求 \(\omega_c\)、\(\gamma\)、\(k_g\)

题目(据字幕复原):单位负反馈, $\(G(s)=\frac{3.16(s+1)}{s^2(0.1s+1)(0.05s+1)}\)$ 画波德图,求幅值裕度和相角裕度,简单分析稳定性。

2.0 【补前置】波德图到底是什么图

波德图 = 两张图叠着看:

• 对数幅频特性 \(L(\omega)=20\lg|G(j\omega)|\),单位分贝(dB),横轴是 \(\lg\omega\)(对数刻度);
• 对数相频特性 \(\varphi(\omega)\),单位度,横轴同样是 \(\lg\omega\)。

为什么要取对数:因为串联环节的幅值是相乘的,取了对数就变成相加;于是画图变成"把各环节的直线段拼起来",不用算乘法。这是波德图唯一的、也是全部的动机。

【补前置·dB 换算】\(20\lg 1=0\) dB,\(20\lg 10=20\) dB,\(20\lg 3.16=10\) dB(因为 \(3.16\approx\sqrt{10}\),\(\lg\sqrt{10}=0.5\))。"\(-20\) dB/dec"读作"每十倍频程下降20分贝",dec = decade = 频率涨10倍。

【补前置·转折频率(转角频率)】惯性环节 \(\dfrac{1}{Ts+1}\) 在 \(\omega=1/T\) 处开始起作用:之前近似是水平线,之后近似是 \(-20\) dB/dec 的斜线。这个 \(1/T\) 就叫转折频率。一阶微分环节 \((\tau s+1)\) 同理,只是在 \(\omega=1/\tau\) 之后斜率上升 20 dB/dec。

2.1 画图五步

第一步:化成时间常数形式(尾1型)。 每个一次因式必须写成 \((Ts+1)\) 的样子,常数项是1。本题已经是了。

【难点·这一步最容易丢分】老师在字幕里专门点名:遇到 \(0.1s+2\) 这种,必须先提出2,写成 \(2(0.05s+1)\),那个2要并进增益 \(K\) 里去。忘了提这个2,低频渐近线的高度就全错了,后面 \(\omega_c\)、\(\gamma\) 全跟着错。难在它不难懂,但慌起来就漏。

第二步:标转折频率。 \((s+1)\Rightarrow\omega=1\)(一阶微分,斜率 \(+20\));\((0.1s+1)\Rightarrow\omega=10\)(惯性,\(-20\));\((0.05s+1)\Rightarrow\omega=20\)(惯性,\(-20\))。

第三步:画低频渐近线。 低频段只剩 \(K/s^\nu\),所以 $\(L(\omega)\approx 20\lg K-20\nu\lg\omega\)$ 即:一条斜率 \(-20\nu\) dB/dec 的直线,并且在 \(\omega=1\) 处高度为 \(20\lg K\)。本题 \(\nu=2\)、\(K=3.16\),所以是一条 \(-40\) dB/dec 的直线,过点 \((\omega=1,\;L=10\text{ dB})\)。

【难点·"过 \(\omega=1\) 处 \(20\lg K\)"什么时候要用延长线】本题最小转折频率恰好是 \(\omega=1\),所以这个点就在实际折线上。如果最小转折频率小于1,那么 \(\omega=1\) 处实际曲线已经不是低频段了,这时 \((1,20\lg K)\) 这个点落在低频渐近线的延长线上,得先把延长线画出来再定位。字幕里老师专门强调了这一点,它是画波德图第二常见的错误来源。

第四步:逐段改斜率。 低频 \(-40\) → 过 \(\omega=1\)(一阶微分,\(+20\))变 \(-20\) → 过 \(\omega=10\)(惯性,\(-20\))变 \(-40\) → 过 \(\omega=20\)(惯性,\(-20\))变 \(-60\),一直保持。

第五步:相频特性。 按环节相加: $\(\varphi(\omega)=\arctan\omega-180^\circ-\arctan(0.1\omega)-\arctan(0.05\omega)\)$

2.2 求截止频率 \(\omega_c\)

\(\omega_c\) 就是 \(L(\omega)\) 穿过 0 dB 的频率。方法:用直线的斜率关系解(不要去解方程 \(|G|=1\),太笨)。

已知定点 \((\omega=1,\;L=10)\),从这里往右是 \(-20\) dB/dec 的直线段。设穿0dB在 \(\omega_c\): $\(\frac{0-10}{\lg\omega_c-\lg 1}=-20\;\Rightarrow\;\lg\omega_c=0.5\;\Rightarrow\;\omega_c=\sqrt{10}\approx3.16\)$

【难点·横坐标其实是 \(\lg\omega\)】字幕里老师特意提醒:折线方程里横坐标虽然标的是频率,实际参与运算的是对数频率 \(\lg\omega\)。斜率的定义是"每 \(\lg\omega\) 变化 1(即频率10倍),\(L\) 变化多少 dB"。学生算这里出错,九成是把 \(\omega\) 当横坐标直接代了。

检查:\(3.16<10\),确实还在 \(-20\) dB/dec 那一段上,所以这个解自洽。(这一步的自洽检查必须做,否则可能解出一个不在该段上的假根。)

2.3 求相角裕度 \(\gamma\)

$\(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)=\arctan 3.16-\arctan 0.316-\arctan 0.158\)$ $\(=72.4^\circ-17.5^\circ-9.0^\circ\approx 45.9^\circ\)$ (数值是我按上式算的。字幕里老师给到 \(\arctan 0.158\) 就说"这个值就是相角裕度"没往下报数,所以最终度数以本式为准。)

\(\gamma>0\),而且落在工程推荐的 \(30^\circ\sim60^\circ\) 区间里,闭环稳定且相对稳定性良好。

2.4 求幅值裕度 \(k_g\)

思路(考试标准流程):先由 \(\varphi(\omega_g)=-180^\circ\) 解出相位穿越频率 \(\omega_g\),再把 \(\omega_g\) 代进幅值公式。

$\(\arctan\omega_g-180^\circ-\arctan(0.1\omega_g)-\arctan(0.05\omega_g)=-180^\circ\)$ $\(\Rightarrow\arctan\omega_g=\arctan(0.1\omega_g)+\arctan(0.05\omega_g)\)$ 两边取正切,右边用两角和公式 \(\tan(A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\): $\(\omega_g=\frac{0.15\omega_g}{1-0.005\omega_g^2}\Rightarrow 1-0.005\omega_g^2=0.15\Rightarrow\omega_g^2=170,\;\omega_g\approx13.0\)$ 代入幅值。

【补前置·幅值(模)公式怎么来的】复数相乘,模相乘;相除,模相除(这和"辐角相加减"是配套的两条,合起来就是复数乘除法的全部)。所以一个由若干因式相乘除构成的 \(G(j\omega)\),它的模就是"各因式的模逐个相乘除"。本题要用到的两个基本模: $\(|1+j\tau\omega|=\sqrt{1+\tau^2\omega^2},\qquad |(j\omega)^2|=|j\omega|^2=\omega^2\)$ 就是逐项开根号,别怕。有了它们才能写出下面这一大串:

(这一段数值同样是我按公式算的;字幕里老师只讲到"把 \(\omega_g\) 代进去就能求得",没报数。)

结论:\(\gamma\approx45.9^\circ>0\)、\(k_g\approx18.2\) dB\(>0\) dB,闭环稳定,裕度充足。

老师的兜底提示:这题只要求"简单分析稳定性",如果频域这套概念一时忘了,直接用第3章的劳斯判据判特征方程也是合法解法(字幕原话大意如此)。考场上这是保底分。

3. 例题三:由奈氏曲线反推系统 + 综合稳态误差(综合题)

题目(据字幕复原):单位反馈系统的奈氏曲线已给出(低频渐近线平行于虚轴、与实轴交于 \(-100\);低频沿 \(-90^\circ\) 出发;无凸凹变化;沿 \(-180^\circ\) 终于原点)。已知输入 \(r(t)=2t\)(即 \(R(s)=2/s^2\))时稳态误差 \(e_{ss}=0.2\)。求:截止频率、相角裕度、幅值裕度;确定闭环传递函数;若输入正弦信号,求稳态输出最大幅值及对应频率。

3.0 这题在考什么(思路比答案重要)

【难点·方向反了】前两题是"给传递函数→画曲线",这题是"给曲线→反推传递函数"。老师明确点出:频率法本质是一种实验方法,面对的是黑箱系统(内部结构不知道,只能拿信号发生器扫频、测出幅值比和相位差,画出曲线)。所以"由曲线反推模型"才是频域法真正区别于时域法和根轨迹法的价值所在。这也是0.8节第5个考点的核心。

【补前置·黑箱】指内部结构未知、只能通过"输入什么→输出什么"来认识的系统。

【补前置·扫频】上一段说的"扫频"是这么一件具体的实验:用信号发生器给系统灌一个正弦信号,把频率从很低一点一点调到很高(这个"一点点调上去"的动作就叫扫频),每停在一个频率上就等过渡过程消失,量一下输出正弦的幅值比(输出幅值÷输入幅值,就是 \(A(\omega)\))和相位差(\(\varphi(\omega)\))。把这一串测点画到复平面上,就得到一条奈氏曲线——注意:它是量出来的,不是算出来的,这就是"频率法是实验方法"这句话的落地含义,也是它能对付"根本写不出微分方程"的复杂对象的原因。

3.1 三步反推结构

按0.3~0.5节的三条读图规则倒着用:

1. 低频沿 \(-90^\circ\) 方向从无穷远出发 ⟹ \(\nu=1\),Ⅰ型系统(分母有一个 \(s\));
2. 无凸凹变化 ⟹ 没有开环零点,\(m=0\);
3. 沿 \(-180^\circ\) 终于原点 ⟹ \(n-m=2\) ⟹ \(n=2\)。

Ⅰ型、2个极点、0个零点,唯一可能的形式: $\(G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}\)$ 剩下的任务就变成定两个数 \(K\) 和 \(T\)。

3.2 用低频渐近线定 \(KT\)

$\(G(j\omega)=\frac{K}{j\omega(1+jT\omega)}=\frac{-KT}{1+T^2\omega^2}+j\,\frac{-K}{\omega(1+T^2\omega^2)}\)$ (有理化过程老实展开一步,别猜:先把分母乘开成一个复数, $\(j\omega(1+jT\omega)=j\omega+j^2T\omega^2=-T\omega^2+j\omega\)$ 它的共轭是把虚部变号,即 \((-T\omega^2-j\omega)\)。上下同乘这个共轭: $\(G(j\omega)=\frac{K(-T\omega^2-j\omega)}{(-T\omega^2)^2+\omega^2}=\frac{K(-T\omega^2-j\omega)}{\omega^2(1+T^2\omega^2)}=\frac{-KT}{1+T^2\omega^2}+j\,\frac{-K}{\omega(1+T^2\omega^2)}\)$ 【难点·别说"乘 \(j\omega\) 的共轭"】共轭是对整个分母那一个复数取的,不是对分母的每个因子分别取了再拼起来。分母是两个因式相乘时,先乘开成 \(a+jb\) 的标准形,再取 \(a-jb\),这样最不容易错。)

低频渐近线是什么:\(\omega\to0\) 时虚部 \(\to-\infty\)(所以曲线跑到无穷远),而实部趋于一个有限值 \(-KT\)。也就是说曲线越往下越贴近一条竖直线 \(\mathrm{Re}=-KT\)——这就是那条"平行于虚轴的低频渐近线"。

题给它与实轴交于 \(-100\),所以 $\(KT=100\)$

【补前置·渐近线】"渐近线"=曲线无限延伸时无限贴近、但不一定相交的那条直线。这里用它的意义:图上一个能读出来的数,换来一个方程。

3.3 用稳态误差定 \(K\)

【补前置·稳态误差 \(e_{ss}\)】误差 \(e(t)=r(t)-\)(反馈量);\(e_{ss}\) 是 \(t\to\infty\) 时误差的稳定值,衡量系统"跟不跟得准"。

单位负反馈时误差传递函数: $\(\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s)}\)$ ①在说什么:输入到"误差"这个信号之间的传递关系。②\(E(s)\) 是误差的拉氏变换,\(G(s)\) 是开环传函。③怎么用:配上终值定理算稳态误差。

【难点·别拿闭环传递函数算误差】字幕里老师专门自问自答了一句:"可是知道闭环行不行呢?不行,要计算稳态误差,我要知道的是误差传递函数。"这是高频错误:闭环传函 \(\frac{C}{R}\) 描述的是输出,不是误差。

【补前置·拉氏变换终值定理】\(\lim\limits_{t\to\infty}e(t)=\lim\limits_{s\to0}sE(s)\)。大白话:时间趋于无穷时信号的最终值,等于把它的拉氏变换乘上 \(s\) 再让 \(s\to0\)。用它的前提是系统稳定(否则没有"终值"可言),所以老师强调"如果存在稳态误差,那么系统必须先是稳定的,要求 \(K,T>0\)"。

代进去(\(R(s)=2/s^2\) 是斜坡输入的拉氏变换),每一步都写全,照着走不会丢:

第一步,先把误差本身写出来: $\(E(s)=\frac{1}{1+G(s)}R(s)=\frac{1}{1+\dfrac{K}{s(Ts+1)}}\cdot\frac{2}{s^2}\)$

第二步,化简 \(\dfrac{1}{1+G}\)。分母通分:\(1+\dfrac{K}{s(Ts+1)}=\dfrac{s(Ts+1)+K}{s(Ts+1)}=\dfrac{Ts^2+s+K}{s(Ts+1)}\)。取倒数: $\(\frac{1}{1+G(s)}=\frac{s(Ts+1)}{Ts^2+s+K}\)$

第三步,代回: $\(E(s)=\frac{s(Ts+1)}{Ts^2+s+K}\cdot\frac{2}{s^2}=\frac{2(Ts+1)}{s\,(Ts^2+s+K)}\)$ (这里 \(s\) 和 \(s^2\) 约掉一个,分母只剩一个 \(s\)。)

第四步,用终值定理,乘上 \(s\) 正好把分母那个 \(s\) 消掉: $\(sE(s)=\frac{2(Ts+1)}{Ts^2+s+K}\quad\Longrightarrow\quad e_{ss}=\lim_{s\to0}sE(s)=\frac{2(T\cdot0+1)}{0+0+K}=\frac{2}{K}\)$

由 \(e_{ss}=0.2\) 得 \(K=10\);再由 \(KT=100\) 得 \(T=10\)。

【补前置·\(R(s)=2/s^2\) 哪来的】拉氏变换查表:单位斜坡 \(t\leftrightarrow 1/s^2\),所以 \(2t\leftrightarrow 2/s^2\)。这类变换背表即可,不用推。

于是开环定下来了:\(G(s)=\dfrac{10}{s(10s+1)}\)。题目还要"确定闭环传递函数",所以再走一步。

【补前置·记号 \(\Phi(s)\) 与闭环传递函数为什么是 \(\dfrac{G}{1+G}\)】\(\Phi(s)\)(读作 fai)是闭环传递函数的通用记号,定义 \(\Phi(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}\),即真实工作(环闭合)时输出对输入的传递函数。来由(单位负反馈,三行推完):

1. 相减点:\(E=R-C\)(误差 = 给定 减 输出);
2. 前向通道:\(C=G\cdot E\)(误差经过 \(G\) 变成输出);
3. 把1代入2:\(C=G(R-C)\Rightarrow C+GC=GR\Rightarrow C(1+G)=GR\),所以 $\(\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}\)$

同一套三行也顺带解释了上面用过的误差传递函数:由 \(E=R-C=R-G E\) 得 \(E(1+G)=R\),即 \(\dfrac{E}{R}=\dfrac{1}{1+G}\)。两个公式是同一个方程的两种解法,分母都是 \(1+G\)——这个 \(1+G\) 就是闭环特征多项式,也正是整章盯着 \(G=-1\) 的原因。

代入本题: $\(\Phi(s)=\frac{G}{1+G}=\frac{\dfrac{10}{s(10s+1)}}{1+\dfrac{10}{s(10s+1)}}=\frac{10}{s(10s+1)+10}=\frac{10}{10s^2+s+10}=\frac{1}{s^2+0.1s+1}\)$

【串联提醒】这个闭环形式正是第3章的标准二阶系统 $\(\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\)$ 【补前置·\(\omega_n\) 与 \(\zeta\) 到底是什么】 - \(\omega_n\) 叫无阻尼自然振荡频率,单位 rad/s。物理意义:把系统的阻尼(摩擦、阻尼器、电阻这类耗能因素)全部想象成零,它自己会以多快的频率振荡。它只管"振得多快"。类比:一根弹簧挂个重物,弹簧越硬、质量越小,\(\omega_n\) 越高。 - \(\zeta\)(读作 zeta)叫阻尼比,无量纲。物理意义:实际阻尼与"刚好不振荡所需的那个临界阻尼"的比值。它只管"振动衰不衰得掉":\(\zeta=0\) 永不停歇地等幅振荡;\(0<\zeta<1\) 振荡着衰减(欠阻尼),\(\zeta\) 越小衰减越慢、超调越大;\(\zeta=1\) 临界,不振荡;\(\zeta>1\) 更慢地爬上去,不振荡。 - 怎么用:拿手上的二阶分母去和标准形逐项对照系数,就能读出这两个数,进而立刻知道超调多大、多久稳下来。

本题对照:常数项 \(\omega_n^2=1\Rightarrow\omega_n=1\) rad/s;一次项 \(2\zeta\omega_n=0.1\Rightarrow\zeta=0.05\)。

\(\zeta\) 只有 0.05,离"临界阻尼 \(\zeta=1\)"差了20倍,几乎等于没有阻尼 ⟹ 振荡会非常剧烈、要来回荡很多次才停(第3章的公式 \(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\) 代进去约 \(85\%\),即输出会冲到目标值的1.85倍)。这个数马上要在第3问派上用场。

3.4 求 \(\omega_c\)、\(\gamma\)、\(k_g\)

\(\omega_c\) 在奈氏图上不好算(要解 \(|G|=1\)),换到波德图上用折线关系算(老师原话大意:"在奈氏曲线当中实际上是不好算的,这个时候怎么办呢?画对数幅频特性")。

\(K=10\Rightarrow20\lg10=20\) dB;\(\nu=1\Rightarrow\) 低频 \(-20\) dB/dec;转折频率 \(1/T=0.1\),过后变 \(-40\) dB/dec。

• 低频渐近线在 \(\omega=0.1\) 处的高度:\(20\lg\dfrac{10}{0.1}=40\) dB;
• 从 \((0.1,40)\) 出发,以 \(-40\) dB/dec 走到 0 dB:\(\lg\omega_c=\lg0.1+\dfrac{40}{40}=0\Rightarrow\omega_c=1\);
• \(\gamma=180^\circ-90^\circ-\arctan(T\omega_c)=90^\circ-\arctan10=90^\circ-84.3^\circ\approx5.7^\circ\)。

\(\gamma\) 是正的,闭环稳定,但只有约 \(5.7^\circ\),相对稳定性极差——这和 3.3 节算出的 \(\zeta=0.05\) 是同一件事的两种说法。

用PPT的公式验一遍(据PPT幻灯片62):标准二阶系统的相角裕度与阻尼比有精确关系 $\(\gamma=\arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{4\zeta^4+1}-2\zeta^2}}\)$ ①在说什么:对标准二阶系统,频域里量到的相位余量 \(\gamma\) 和时域里的阻尼比 \(\zeta\) 是一一对应的,知道一个就知道另一个。②符号:\(\zeta\) 就是 3.3 节那个阻尼比。③怎么用:代 \(\zeta=0.05\)——分母 \(\sqrt{\sqrt{1.000025}-0.005}=\sqrt{0.99501}\approx0.99750\),分子 \(0.1\),得 \(\gamma=\arctan0.10025\approx5.7^\circ\),与上面折线法算出的 \(5.7^\circ\) 完全吻合。这是本讲最漂亮的一次交叉验证:一条路从波德图折线来,一条路从闭环二阶模型来,殊途同归。

【存疑·待核·关于"\(\gamma\approx100\zeta\) 度"】流传很广的一条口诀是"相角裕度约等于阻尼比乘100(度)"。它不在本章PPT里(PPT给的是上面那条精确式),我按精确式核算:\(\zeta=0.05\) 时精确值 \(5.72^\circ\)、口诀值 \(5^\circ\);\(\zeta=0.3\) 时精确值 \(33.3^\circ\)、口诀值 \(30^\circ\);\(\zeta=0.6\) 时精确值 \(59.2^\circ\)、口诀值 \(60^\circ\)。结论:它只是 \(\zeta\lesssim0.7\) 的标准二阶系统的粗略近似,误差可到十几个百分点,用来"心算估个数"可以,答题时请用PPT那条精确式,并且注意它只对标准二阶(或能降阶成标准二阶)的系统成立。出处我没在本课材料中找到,故标存疑。

这就是考点6"频域指标↔时域指标"的活例子。

幅值裕度:\(G(j\omega)=\dfrac{10}{j\omega(1+j10\omega)}\) 的相角 \(=-90^\circ-\arctan(10\omega)\),当 \(\omega:0\to\infty\) 时它从 \(-90^\circ\) 走到 \(-180^\circ\) 但永远取不到 \(-180^\circ\) ⟹ 奈氏曲线不与负实轴相交 ⟹ 不存在有限的 \(\omega_g\) ⟹ $\(k_g=\infty\)$ 【你可能会以为】\(k_g=\infty\) 意味着这个系统超级稳。其实它的 \(\gamma\) 只有 \(5.7^\circ\),稍微有点相位滞后(比如加个小延迟)就完蛋。因为\(k_g\) 只量"增益方向"的余量,\(\gamma\) 量"相位方向"的余量,两个方向互不替代——这正是PPT第44张第3条("单纯用 \(\gamma\) 与 \(k_g\),有时都不能反映稳定程度,一般要两者同时使用")最好的注脚。

3.5 第三问:正弦输入下稳态输出的最大幅值与对应频率

回到0.1节:稳定的线性系统,正弦输入 ⟹ 同频率正弦输出,幅值被乘上 \(A(\omega)\),相位被加上 \(\varphi(\omega)\)。 所以"输出最大幅值"就是问"\(A(\omega)\) 在哪儿最大"。

【存疑·待核】这里字幕的讲法我判断有问题,如实标出来。 字幕里老师用的是开环幅频特性 $\(A(\omega)=\frac{10}{\omega\sqrt{1+100\omega^2}}\)$ 并令 \(100\omega^4+\omega^2\) 取极小,求导得 \(400\omega^3+2\omega=0\),结论是"\(\omega\to0\) 时取最大值"。这个式子在 \(\omega\to0\) 时 \(A\to\infty\),根本没有有限的最大值,答案是发散的,作为考题答案不合理。

我认为题意应当是求闭环的稳态输出(因为题目问的是"系统"的输出,而系统 = 闭环),即用闭环频率特性 $\(|\Phi(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+(0.1\omega)^2}}\)$ 这才有一个真正的峰。这个峰在第5章有名字:

【补前置·谐振峰值 \(M_r\) 与谐振频率 \(\omega_r\)】闭环幅频特性的最大值叫谐振峰值 \(M_r\),取到它的频率叫谐振频率 \(\omega_r\)。物理意义:外来正弦的频率踩到系统的"共鸣点"上,输出被放得最大(和推秋千踩对节奏是一回事)。标准二阶系统的结论是 $\(\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2},\qquad M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\qquad(\text{适用条件}:0<\zeta<0.707)\)$

①这两式在说什么:第一式说"共鸣点的频率"比系统的固有频率 \(\omega_n\) 略低一点点,低多少由阻尼决定;第二式说"共鸣时被放大多少倍",阻尼越小放得越夸张。 ②符号:\(\zeta\) 是阻尼比、\(\omega_n\) 是无阻尼自然频率,含义见 3.3 节的【补前置】;\(\omega_r\) 是发生共鸣的频率(rad/s);\(M_r\) 是无量纲的放大倍数(闭环幅频的最大值除以其零频值,本题零频值 \(M(0)=1\),所以 \(M_r\) 直接就是最大放大倍数)。 ③怎么用:先由闭环传函对照出 \(\zeta,\omega_n\),再代这两式。

【难点·\(\zeta<0.707\) 这个前提为什么存在、超出会怎样】\(\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\) 里根号内是 \(1-2\zeta^2\),当 \(\zeta>\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0.707\) 时它变成负数,根号开不出来——这不是数学故障,是物理事实:阻尼一大,系统根本不共鸣了,闭环幅频特性从零频开始就单调往下掉,没有峰,自然也就没有"峰在哪儿""峰多高"可言。PPT幻灯片57把这两种情形分开写了:\(\zeta<0.707\) 时 \(M_r>1\)(有峰,阶跃响应也有超调);\(\zeta\ge0.707\) 时 \(M_r\) 单调衰减(无峰)。所以用这两式前必须先看一眼 \(\zeta\) 是否小于 0.707,否则会算出一个不存在的"谐振点"。

代入 \(\omega_n=1,\zeta=0.05\)(\(0.05<0.707\),前提满足):\(\omega_r=\sqrt{1-2\times0.0025}=\sqrt{0.995}\approx0.9975\) rad/s,\(M_r=\dfrac{1}{2\times0.05\times\sqrt{1-0.0025}}\approx10.0\)。即输入 \(A\sin(\omega t)\) 时,输出稳态幅值最大约为 \(10A\),发生在 \(\omega\approx1\) rad/s 附近。

考场处理建议:按你手上原题的措辞判断问的是开环还是闭环;若问"系统输出",按闭环谐振峰值做。这一处字幕与合理题意不符,我不替它圆场。

4. 例题四:非最小相位系统(开环不稳定)的奈氏判据

题目(据字幕的实部/虚部数据反推,我验算后确认一致):单位负反馈, $\(G(s)=\frac{2(s+1)}{s(s-1)}\)$ 画奈氏曲线,用奈氏判据判闭环稳定性。

【为什么这是非最小相位】极点 \(s=1\) 在右半平面 ⟹ 开环本身不稳定 ⟹ 非最小相位系统。老师强调:这类题近几年考得越来越多,而且低频段特性和最小相位系统不一样,不能套用习惯。

4.1 化实部虚部

$\(G(j\omega)=\frac{2(1+j\omega)}{j\omega(j\omega-1)}=\frac{-4}{1+\omega^2}\;-\;j\,\frac{2(\omega^2-1)}{\omega(1+\omega^2)}\)$ (验算:上下乘共轭并整理即可;我代数验证过与字幕给的形状一致。)

4.2 三段读图

• 低频 \(\omega\to0^+\):实部 \(\to-4\)(有限值!),虚部 \(\to+\infty\)。所以曲线从上方无穷远处沿着竖直线 \(\mathrm{Re}=-4\) 落下来。 【难点·这里就是"非最小相位不一样"的地方】Ⅰ型系统按习惯"应该"沿 \(-90^\circ\)(负虚轴方向)出发,但这里是沿 \(+90^\circ\)(正虚轴方向)出发的。原因:右半平面极点 \((s-1)\) 贡献的相角与左半平面极点 \((s+1)\) 相反,把整条曲线的相位掀了 \(180^\circ\)。所以非最小相位系统必须老老实实算实部虚部,不能背"型别→出发方向"的口诀。
• 中频:有零点 \(s=-1\),所以会出现凸凹变化(曲线会弯)。令虚部为零:\(\omega^2-1=0\Rightarrow\omega=1\);代入实部得 \(-4/2=-2\)。即曲线与负实轴交于 \(-2\),而 \(-2\) 在 \(-1\) 的左边(这一点决定成败)。
• 高频 \(\omega\to\infty\):\(n=2,m=1\),\(n-m=1\),沿 \(-90^\circ\) 方向趋于原点;此时实部为负、虚部也为负,在第三象限。

4.3 补全并数圈

\(\omega:-\infty\to0^-\) 按实轴镜像画出;\(\nu=1\),在 \(\omega=0^-\) 到 \(0^+\) 之间顺时针补一段半径无穷大、转过 \(180^\circ\) 的圆弧。

闭合围线怎么拼(还是沿 \(\omega\) 增大方向一笔画):

1. \(\omega=-\infty\):笔尖在原点(镜像段的高频端,从上方贴近原点);
2. \(\omega:-\infty\to0^-\):笔尖走第二象限(镜像段:实部负、虚部正),\(\omega=-1\) 时经过实轴上的 \(-2\) 点,随后转到实轴下方,最后奔向 \(\mathrm{Re}=-4\) 那条竖直线的下方无穷远;
3. \(\omega=0^-\to0^+\):无穷大圆弧接手,顺时针转 \(180^\circ\):从"负虚轴方向(\(-90^\circ\))"经过"负实轴方向(\(180^\circ\))"转到"正虚轴方向(\(+90^\circ\))";
4. \(\omega:0^+\to+\infty\):笔尖从 \(\mathrm{Re}=-4\) 竖直线的上方无穷远落下来,\(\omega=1\) 时穿过实轴上的 \(-2\) 点进入第三象限,最后沿 \(-90^\circ\) 方向回到原点;
5. 闭合。

数圈(橡皮筋法,图钉扎在 \((-1,j0)\)):

• 第2段:笔尖从原点(橡皮筋指右,\(0^\circ\))出发,经第二象限到 \(-2\) 点(橡皮筋指左,\(180^\circ\)),再转到实轴下方、左侧远处(橡皮筋约 \(270^\circ\))。角度单调增大,转了 \(+270^\circ\)。
• 第3段(无穷大圆弧):顺时针 \(180^\circ\),橡皮筋跟着顺时针转:\(-180^\circ\)(从 \(270^\circ\) 回到 \(90^\circ\))。
• 第4段:笔尖从上方无穷远(橡皮筋 \(90^\circ\))落下,过 \(-2\) 点(橡皮筋 \(180^\circ\)),再进第三象限往原点收(橡皮筋经 \(270^\circ\) 转到 \(360^\circ\))。角度单调增大,转了 \(+270^\circ\)。

总转角 \(=+270^\circ-180^\circ+270^\circ=+360^\circ\),即 $\(N=\frac{+360^\circ}{360^\circ}=+1\quad(\text{正号}=\text{逆时针}),\qquad\text{逆时针包围 }(-1,j0)\text{ 一圈。}\)$

穿越法复算(只用 \(\omega:0\to+\infty\) 的半条 + 补线):

• 补线:\(\nu=1\),以无穷大半径顺时针补 \(90^\circ\),它起始于负实轴无穷远处(在 \(-1\) 以左)、向上转到 \(\omega=0^+\) 那一端(\(+90^\circ\) 方向)。起始于 \(-1\) 以左的负实轴 ⟹ 半次穿越;方向是从实轴往上走 ⟹ 自下而上 ⟹ 半次负穿越,记 \(-\dfrac12\)。
• 曲线本体:\(\omega=1\) 时从实轴上方穿到下方,穿越点 \(-2\) 在 \(-1\) 以左 ⟹ 自上而下 ⟹ 一次正穿越,记 \(+1\)。(若穿越点落在 \(-1\) 到 \(0\) 之间就不计,理由见0.7节最后那条【补前置】。)

正负穿越次数之差 \(=1-\dfrac12=\dfrac12\),而判据要求"差 \(=P/2\)"。这里 \(P=1\),\(P/2=\dfrac12\),相等 ⟹ 闭环稳定;换算成圈数 \(Z=P-2\times\dfrac12=0\),与橡皮筋法的 \(N=+1\)、\(Z=0\) 完全一致。

【难点·穿越法在这道题上的价值】这道题的成败全系于"穿越点 \(-2\) 在 \(-1\) 的左边还是右边"。若开环增益小一点、交点落在 \(-1\) 右边(比如 \(-0.5\)),那次正穿越就不算数,穿越差变成 \(-\dfrac12\ne\dfrac12\),系统立刻不稳定。穿越法把"稳不稳"直接归结为一个可以用尺子量的问题:交点相对于 \(-1\) 的位置。这就是它比数转角好用的地方,也是它在考场上是首选的原因。

开环极点 \(s=0\) 和 \(s=1\),其中 \(s=1\) 在右半平面 ⟹ \(P=1\)。

闭环没有右半平面根 ⟹ 闭环稳定。(字幕里老师说的"\(1-1=0\)"就是这个式子。)

交叉验证(我自己算的):闭环特征方程 \(s(s-1)+2(s+1)=s^2+s+2=0\),根为 \(-0.5\pm j1.32\),实部为负,确实稳定。开环不稳定的系统,闭环可以是稳定的——这正是反馈的威力,也是这道题的全部意义。

【你可能会以为】开环不稳定的系统,闭环肯定更糟。其实恰恰相反:很多实际对象(倒立摆、磁悬浮)开环本来就发散,靠反馈才站得住。因为闭环极点由 \(1+G(s)H(s)=0\) 决定,和开环极点是两码事;反馈重新安排了极点位置。

【难点·这题最容易错在哪】不是数圈,是方向。最小相位系统我们习惯"顺时针包围=坏",这题却是逆时针包围=好。因为判据是 \(Z=P-N\):\(P=0\) 时任何包围都让 \(Z>0\)(坏);\(P>0\) 时反而需要逆时针包围 \(P\) 圈才能把 \(Z\) 拉回0。记结论不如记式子。

5. 这一讲的骨架(真正要带走的)

1. 整章只做一件事:把"闭环稳不稳"翻译成"开环频率特性曲线和 \((-1,j0)\) 点的位置关系"。翻译的依据是 \(1+GH=0\)。
2. 画奈氏曲线只看三段:低频段由型别 \(\nu\) 定出发方向;中频段由有无零点定凸凹、由令虚部/实部为零定与坐标轴的交点;高频段由 \(n-m\) 定进原点的方向。拿不准就化实部虚部,这是万能解法。
3. 判稳定用 \(Z=P-N\),\(Z=0\) 才稳。\(P\) 是开环右极点数,别忘了先看开环稳不稳。数 \(N\) 的两个可执行办法:(a) 橡皮筋法——把闭合围线(镜像 + 无穷大圆弧 + 本体)拼好,从 \((-1,j0)\) 引矢量走一圈,总转角除以 \(360^\circ\);(b) 穿越法(更快,考场首选)——只用 \(\omega:0\to\infty\) 的半条加补线,数它穿过 \((-1,j0)\) 以左负实轴的正负次数,"差 \(=P/2\)"即稳定,\(Z=P-2(N_+-N_-)\)。两法必须能互相验算。 还有一条铁的经验:凡是特征方程次数不高(三次以内),再用劳斯判据验一遍,30秒买个安心。本讲例题一第(3)问就是靠劳斯才没被"虚部不为零所以形状不变"这种想当然骗过去。
4. 两个裕度量的是同一件事的两个方向:\(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\) 量相位余量,\(k_g=1/|G(j\omega_g)|\) 量增益余量,必须一起看;而且裕度概念只对开环稳定的系统直接可用。
5. 波德图是"折线游戏":先化尾1型 → 标转折频率 → 画低频渐近线(斜率 \(-20\nu\),过 \((1,20\lg K)\) 或其延长线)→ 每过一个转折频率改一次斜率。\(\omega_c\) 用折线斜率关系解,横坐标是 \(\lg\omega\)。
6. 反推题是频域法的看家本领(黑箱系统),路子固定:三段读图定结构形式 → 用图上读到的数(渐近线位置)和题给的时域指标(稳态误差)定参数。
7. 非最小相位系统一切口诀失效,必须算。

6. 自测(戳穿假懂版)

T1. \(G(s)=\dfrac{10}{s^2(2s+1)}\) 的奈氏曲线整条都在第二象限,离 \((-1,j0)\) 看起来"绕得挺开"。有同学据此说"离临界点远,所以稳定"。他错在哪?

要点:错在把"离得远"当判据。判据是 \(Z=P-N\)。这条曲线连同无穷大圆弧顺时针包围了 \((-1,j0)\) 两圈(\(N=-2\)),\(P=0\),故 \(Z=2\),闭环有两个右根,不稳定。答错说明:你没把"补无穷大圆弧"当成曲线的一部分,或者根本没在数包围圈数,只在凭图形直觉。

T2. 某系统 \(\gamma=5.7^\circ\),\(k_g=\infty\)。判断:这个系统的相对稳定性好不好?为什么?

要点:不好。\(k_g=\infty\) 只说明奈氏曲线不与负实轴相交(相位永远到不了 \(-180^\circ\)),增益方向余量无限;但 \(\gamma\) 只有 \(5.7^\circ\),说明曲线在单位圆附近已经贴得极近,对应 \(\zeta\approx0.05\),阶跃响应会剧烈振荡。答错说明:你把两个裕度当成可以互相替代的"稳定分数",没理解它们量的是两个正交方向。

T3. 画波德图时你拿到环节 \(\dfrac{1}{0.1s+2}\),直接在 \(\omega=1/0.1=10\) 处画了个 \(-20\) dB/dec 的转折。错在哪?正确做法?

要点:错在没化尾1型。应写成 \(\dfrac{1}{2(0.05s+1)}=0.5\cdot\dfrac{1}{0.05s+1}\),转折频率是 \(\omega=20\) 不是10,而且那个 \(0.5\) 要并进 \(K\)(使 \(20\lg K\) 降低约6 dB)。答错说明:低频渐近线高度和转折位置会同时错,后面 \(\omega_c\)、\(\gamma\) 全崩。

T4. 已知开环 \(G(s)=\dfrac{2(s+1)}{s(s-1)}\),某同学说"开环有右半平面极点,所以闭环必然不稳定"。反驳他,并给出正确判断过程。

要点:\(P=1\),完整奈氏曲线逆时针包围 \((-1,j0)\) 一圈(\(N=1\)),\(Z=P-N=0\),闭环稳定。特征方程 \(s^2+s+2=0\) 根为 \(-0.5\pm j1.32\) 验证无误。答错说明:你把开环稳定性和闭环稳定性划了等号,等于没懂反馈是干什么用的。

T5. 例题一第(2)问结论是"\(a>0\) 时无论如何 \(\gamma\) 都到不了 \(45^\circ\)"。不查草稿,说出这个"到不了"的根本原因。

要点:\(\gamma=\arctan(4a)-\arctan 8\),而 \(\arctan\) 的上界是 \(90^\circ\),\(\arctan8\approx82.9^\circ\),所以 \(\gamma<7.1^\circ\)。答错说明:你只会代数解不等式,没看出"一阶微分环节提供的超前相角有硬天花板"这个物理约束——第6章超前校正的核心限制就是它。

T6. 给你一条奈氏曲线:低频沿 \(-90^\circ\) 从无穷远出发,中间不弯,最后沿 \(-180^\circ\) 进原点。写出开环传递函数的形式(参数用字母),并说明每一条图形特征各定了什么。

要点:\(G(s)=\dfrac{K}{s(Ts+1)}\)。低频 \(-90^\circ\) 定 \(\nu=1\);不弯定 \(m=0\);终于原点的方向 \(-180^\circ\) 定 \(n-m=2\),故 \(n=2\)。答错说明:三条读图规则你只是"看过",没有形成"从图到结构"的反向通道,第5考点(反推传递函数)会整题丢。

T7. 对 \(G(s)=\dfrac{10(as+1)}{s^2(2s+1)}\),有同学说:"只要 \(a\ne2\),虚部就不为零,曲线就不与实轴相交,所以形状和 \(a=0\) 时一样,包围情况不变,永远不稳定。"指出他错在哪,并给出 \(a=1\) 和 \(a=3\) 两种情况的正确结论。

要点:错在把"虚部符号不变"当成了"虚部符号相同"。虚部 \(=\dfrac{-10(a-2)}{\omega(1+4\omega^2)}\),\(a<2\) 时恒正(曲线在第二象限),\(a>2\) 时恒负(曲线在第三象限)——两者是关于实轴的镜像,配上同一段顺时针 \(360^\circ\) 大圆弧后,矢量总转角一个是 \(-720^\circ\)(\(N=-2\)),一个是 \(0^\circ\)(\(N=0\))。所以 \(a=1\):\(Z=0-(-2)=2\),不稳定;\(a=3\):\(Z=0-0=0\),稳定。劳斯阵 \(s^1\) 行系数 \(10a-20\) 给出同样的分界 \(a=2\)。答错说明:你只会"看曲线交不交实轴",没意识到曲线在实轴哪一侧才是决定包围圈数的东西;而且你跳过了"用劳斯判据交叉验证"这一步,否则立刻会发现结论相反。

T8. 用正负穿越法(不许用矢量转角)重做例题四 \(G(s)=\dfrac{2(s+1)}{s(s-1)}\),写出每一次穿越的位置、方向、正负和次数,并判稳定。

要点:\(P=1\),要求正负穿越差 \(=P/2=0.5\)。①\(\nu=1\) 的补线起始于负实轴无穷远(在 \(-1\) 以左)、向上离开 ⟹ 自下而上 ⟹ 半次负穿越,\(-0.5\);②曲线本体在 \(\omega=1\) 处从上到下穿过实轴上的 \(-2\) 点,\(-2\) 在 \(-1\) 以左 ⟹ 一次正穿越,\(+1\)。差 \(=1-0.5=0.5=P/2\) ⟹ 稳定,\(Z=P-2\times0.5=0\)。答错说明:(a) 忘了补线也要算穿越——这是穿越法最常见的丢分点;(b) 没检查穿越点在 \(-1\) 的哪一边,若交点在 \(-1\) 右边则那次不计、结论反转;(c) 把"自上而下"记成负穿越——正穿越对应相角增大(PPT幻灯片27)。

知识地图

向前串(这一讲吃的老本): - 第2章 传递函数、开环/闭环/误差传递函数 → 本讲把 \(s\) 换 \(j\omega\) 得频率特性;例题三算稳态误差必须用误差传递函数 \(\frac{1}{1+G}\),不能用闭环传函。 - 第3章 稳态误差 + 终值定理 + 标准二阶系统 \(\zeta,\omega_n\) → 例题三"稳态误差定 \(K\)""\(\gamma\approx100\zeta\)"全靠它;劳斯判据是本讲所有稳定性结论的交叉检验工具。 - 数学:复数实部虚部/模/辐角、分母有理化、\(\arctan\) 及两角和差正切、对数与 dB、拉氏变换查表。本讲用到的就这些,不需要更多。

横向串(第5章内部): - 频率特性 \(G(j\omega)\) 是母体,奈氏曲线(极坐标画法)和波德图(对数直角坐标画法)是它的两种画法,同一件事的两张脸。【补前置·"极坐标画法"是什么意思】平面上定位一个点有两套办法:直角坐标说"横 \(x\)、纵 \(y\)";极坐标说"离原点多远(模)、朝哪个方向(角度)"。\(G(j\omega)\) 天生带着"模 \(A(\omega)\) + 辐角 \(\varphi(\omega)\)"这两个数,所以直接按极坐标描点最自然,奈氏曲线因此又叫幅相频率特性曲线(极坐标图)。注意它和直角坐标不冲突——我们做题时常常先算实部虚部(直角坐标)再描点,画出来的还是同一条极坐标图:\(\omega_c\) 在奈氏图上是"曲线与单位圆的交点",在波德图上是"幅频线穿0 dB";\(\omega_g\) 在奈氏图上是"与负实轴的交点",在波德图上是"相频线穿 \(-180^\circ\)"。 - 奈氏判据是根,相角裕度/幅值裕度是它的"定量化副产品"(判据回答稳不稳,裕度回答离不稳还有多远)。

向后串(马上要用): - 第6章 频域校正:整章建立在"看波德图 → 发现 \(\gamma\) 不够或 \(\omega_c\) 不够 → 串超前/滞后网络改形状"上。本讲例题一第(2)问的"\(\arctan\) 天花板"就是超前校正最大超前角受限的原因;例题二那种题型老师明说"第六章还会经常见到"。 - 第7、8章:非线性系统分析(描述函数法)照样要画奈氏曲线找与负倒描述函数的交点,判自振。 - 由幅频反推传递函数这个技能,是第6章"给期望特性→设计校正装置"的逆运算,两边合起来才是完整闭环。

掌握难度诚实说明: 这一讲第一遍看不懂很正常。绝大多数人的卡点集中在四处——(1) 分不清"画的是开环、判的是闭环";(2) 怎么把半条曲线 + 镜像 + 无穷大圆弧拼成闭合围线并真的数出圈数(这是本讲唯一真正难的动作,见1.1节第五步和4.3节,两处都给了可执行的两种数法);(3) 补无穷大圆弧的规则和为什么要补;(4) 非最小相位时口诀失效。这四处我在正文都标了【难点】,建议第二遍只盯这四处重读,其余部分可以顺读。第(2)条如果第一遍没跟下来是正常的,请拿一张纸,按1.1节的五步真的画一遍、真的拿笔尖走一遍——这个动作光看不做学不会。