② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a = \dfrac{-1+j-1-j-6+2}{3-1} = -3\)，\(\varphi_a = \pm\dfrac{\pi}{2}\)。

③ 根轨迹的起始角

\(\theta_{P_1} = 180° + \varphi_{z_1P_1} - \theta_{P_2P_1} - \theta_{P_3P_1} = 180° + 45° - 90° - \arctan(1/5) = 123.69°\)

\(\theta_{P_2} = -123.69°\)

根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-63所示。

(2) \(K^*\)从\(-\infty \to 0\)时系统的闭环根轨迹。

① 实轴上的根轨迹分布区：\([-6,-\infty)\)，\([-2,+\infty)\)。

② 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足

通过试凑可得 \(d=-0.685\)。

③ 根轨迹的起始角

\(\theta_{P_1} = \varphi_{z_1P_1} - \theta_{P_2P_1} - \theta_{P_3P_1} = 45° - 90° - \arctan(1/5) = -56.31°\)

\(\theta_{P_2} = 56.31°\)

根据以上几点，可以画出概略零度根轨迹如图4-64所示。

图4-63　系统的概略常规根轨迹图　　　　　　　　　　　图4-64　系统的概略零度根轨迹图

(3) 确定系统无超调时\(K^*\)的范围。欲使系统无超调，闭环极点须位于实轴之上，因此可根据根轨迹分离点的信息求解。

由系统的开环传递函数可知，该系统的闭环特征方程为

代入分离点\(d=-0.685\)，可得\(K^*=-4.443\)，故当\(K^* \leqslant -4.443\)时，系统无超调。

仿真曲线如图4-65～图4-67所示。

MATLAB程序：exe420.m

G1=zpk([-2],[-6 -1 -i -1+i],1);　　　　　　　figure(1),　　　rlocus(G1);

G2=zpk([-2],[-6 -1 -i -1+i],-1);　　　　　　　figure(2),　　　rlocus(G2);

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