条件时,系统自振稳定。因此可知 \(K\) 值范围是 \(0<K<6.5531\)。

8-22

已知非线性系统微分方程为 \(\ddot{x}+\dot{x}+x+\mathrm{sgn}(x-\dot{x})=0\),要求:(1) 画出该系统结构图;(2) 确定相平面上的奇点,并指明奇点的性质;(3) 在 \(\dot{x}-x\) 平面上绘出相轨迹图。

解 (1) 系统的结构图。系统结构图如图 8-54 所示。

图 8-53 系统稳定性分析

(\(K=5\),MATLAB)

图 8-54 系统结构图

(2) 奇点。非线性系统的微分方程可以写为

在 Ⅰ 区 \((x>\dot{x})\),令 \(\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{\dot{x}+x+1}{\dot{x}}=0\),可得奇点 \((-1,0)\)。

在 Ⅱ 区 \((x<\dot{x})\),令 \(\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{\dot{x}+x-1}{\dot{x}}=0\),可得奇点 \((1,0)\)。

由于系统的特征方程为 \(s^2+s+1=0\),特征根为 \(s_{1,2}=-\dfrac{1}{2}\pm\mathrm{j}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),因此奇点 \((-1,0)\) 和 \((1,0)\) 都为稳定焦点。

(3) 相轨迹。

在 Ⅰ 区 \((x>\dot{x})\),令 \(\alpha=\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{\dot{x}+x+1}{\dot{x}}\) 为相轨迹切线处斜率,得等倾线方程 \(\dot{x}=-\dfrac{x+1}{1+\alpha}\)。

在 Ⅱ 区 \((x<\dot{x})\),令 \(\alpha=\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{\dot{x}+x-1}{\dot{x}}\) 为相轨迹切线处斜率,得等倾线方程 \(\dot{x}=-\dfrac{x-1}{1+\alpha}\)。

表 8-5 给出不同 \(\alpha\) 值下等倾线的斜率:

表 8-5 不同 \(\alpha\) 值下等倾线的斜率

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