第21讲 第9章(下):稳定性、状态反馈与状态观测器

零、开讲之前:先说三件老实话

第一件:这一讲在851里的地位。 我查了 01_结构化/考点分析/ 里的考试大纲部分(考点分析_p003.md 及同组文件),列到第八章非线性系统就结束了,没有第九章。 但同时,学长资料里的 26BUFF控制简答题库(p053、p055、p057、p059、p062、p063)里确实有一批状态空间的简答题——状态反馈的条件、观测器存在条件、李雅普诺夫稳定性含义等;BUFF选择填空题 p083、p084 也有状态空间的填空。 所以我的判断是:第九章在851里大概率不出大题(七道大题的清单里是时域、根轨迹、频域、校正、离散、非线性、电路分析),但可能以简答/选择填空的形式出现小分值。 对你(零基础跨考)的策略建议就很清楚了:这一讲按"概念题水平"学,把名词的意思和结论记住会说,不必去死磕矩阵计算。 后面每一节我都会标"这块要不要深挖"。 这个判断是我根据上述材料归纳的,不是老师原话,也不是考纲原文——考纲原文里根本没有第九章。如果你后来拿到明确写着含第九章的官方考试大纲,以官方为准。

第二件:字幕是语音识别出来的,错字很多。 本讲字幕里大量把术语听错了,我在正文里逐个纠正:

第三件:第九章是"另一套语言"。 前八章你学的传递函数、根轨迹、伯德图,叫经典控制理论;第九章叫现代控制理论。它不是前八章的加深,是换了一副眼镜看同一个系统。所以第一遍看不懂非常正常,卡点几乎都在"线性代数生疏"上,不是你笨。下面我会把用到的那一小块线性代数就地补给你。

一、【补前置】这一讲要用的线性代数,就地补到够用

零基础请务必先看这一节,不然后面全是天书。只补本讲要用的,不补整本线代。

1.1 什么是"矩阵"和"向量"

向量就是把几个数竖着排成一列,例如 \(x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\)。在控制里,它代表"系统此刻的全部内部情况"。比如一个弹簧振子,\(x_1\) 是位置、\(x_2\) 是速度,把它们打包成一列就是状态向量。

矩阵就是把数排成方阵,例如 \(A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\)。它的作用是"把一个向量变成另一个向量":\(Ax\) 就是按固定规则把 \(x\) 里的数搅拌一下,输出一个新列。

矩阵乘向量怎么算(必须会,考试要手算):结果的第 \(i\) 行 = 矩阵第 \(i\) 行的每个数,分别乘向量对应位置的数,再加起来。 $\(\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\cdot x_1+1\cdot x_2\\-2x_1-3x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_2\\-2x_1-3x_2\end{bmatrix}\)$ - 这式子在说什么:左边那一堆搅拌规则作用在状态上,得到一个新的两行的列。 - 符号:\(x_1,x_2\) 是两个状态变量(两个物理量,如位置和速度);矩阵里的 \(0,1,-2,-3\) 是系统内部各变量互相影响的强弱。

矩阵乘矩阵、行向量乘矩阵——统一就一条规则:"左行 × 右列"。 本讲后面到处是 \(P^{-1}AP\)、\(AB\)、\(A^2B\)、\(CA\)、\(A^TP+PA\)、\(x^TPx\),不会这条就一步也走不动,务必现在补上。

通用规则:两个矩阵相乘 \(M=XY\),结果里第 \(i\) 行第 \(j\) 列的那个数 = 拿 \(X\) 的第 \(i\) 行和 \(Y\) 的第 \(j\) 列,对应位置相乘再全部加起来。 - 形状必须对得上:\(X\) 是 \(p\times q\)、\(Y\) 必须是 \(q\times r\)(左边的列数 = 右边的行数),结果是 \(p\times r\)。行列对不上就根本不能乘。 - 前面的"矩阵乘向量"只是这条规则的特例(向量就是只有一列的矩阵)。

演一遍 \(2\times2\) 乘 \(2\times2\): $\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8\\ 3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}\)$ 左上角 19 的来路:第1行 \([1\ 2]\) 配第1列 \(\binom{5}{7}\),得 \(1\times5+2\times7=19\)。其余三个格子同理。

演一遍"行向量 × 矩阵"(本讲例题2求 \(CA\) 就是它,必须会): \(C\) 是 \(1\times2\) 的一行,\(A\) 是 \(2\times2\),结果是 \(1\times2\) 的一行。 $\(CA=[1\ \ a]\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\)$ - 结果第1个数 = 拿 \(C\) 这一行,配 \(A\) 的第1列 \(\binom{0}{-2}\):\(1\times 0+a\times(-2)=-2a\)。 - 结果第2个数 = 拿 \(C\) 这一行,配 \(A\) 的第2列 \(\binom{1}{-3}\):\(1\times 1+a\times(-3)=1-3a\)。 - 所以 \(CA=[\,-2a\ \ \ 1-3a\,]\)。第486行左右的那一步就是这么来的,你现在应该能自己算出来。

【难点】矩阵乘法不能交换:一般 \(XY\ne YX\)。所以 \(P^{-1}AP\) 不能"约掉"变成 \(A\),\(A^TP\) 和 \(PA\) 也是两个不同的矩阵(这正是李雅普诺夫方程里要把两项都写上的原因)。这是零基础最爱犯的错。 【补前置】\(A^2\) 就是 \(A\) 自己乘自己(\(AA\)),\(A^2B\) 就是 \(A(AB)\) ——先算 \(AB\) 再左乘 \(A\) 更省事。

1.2 状态空间表达式是什么(上一讲的东西,这里复述一遍)

• 这两式在说什么:第一式(状态方程)说"系统内部各个量下一瞬间怎么变";第二式(输出方程)说"我从外面能测到的量,是内部量的什么组合"。
• 每个符号:
• \(x\):状态向量,系统内部的全部"家底"(位置、速度、电容电压、电感电流……),\(n\) 个数。
• \(\dot{x}\):状态的导数。【补前置】导数就是"变化率",\(\dot{x}_1\) 表示 \(x_1\) 每秒变多快。整个式子本质是一组微分方程。
• \(u\):输入,你能施加的控制作用(电压、力矩)。
• \(y\):输出,你能测到的量。
• \(A\):状态矩阵/系统矩阵,刻画系统自身内部的相互作用,决定系统的固有性格(稳不稳、快不快)。
• \(B\):输入矩阵,刻画"你的控制作用打进哪几个状态"。
• \(C\):输出矩阵,刻画"传感器测的是哪几个状态的组合"。
• \(D\):直传矩阵,输入不经过内部、直接窜到输出的那部分。绝大多数题里 \(D=0\)。
• 怎么用:题目给你 \(A,B,C\) 具体数字,你拿它们去算传递函数、判可控可观、设计反馈。

【你可能会以为】状态方程和传递函数是两个不同的系统。其实是同一个系统的两种写法,就像"同一个人的中文名和英文名"。传递函数只描述"输入到输出"这条外部通道;状态空间还额外把系统内部拆开给你看。所以一个传递函数可以对应无数个状态空间表达式(内部怎么拆是你的自由),反过来一个状态空间表达式只对应一个传递函数。

1.3 特征值、行列式、秩、逆、转置——五个必备工具

(1) 行列式 \(\det\):一个方阵算出来的一个数。二阶的算法必须背: $\(\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc\)$ - 意思:主对角线相乘减去副对角线相乘。 - 用处:判断这个矩阵"会不会把空间压扁"。行列式=0 表示压扁了(信息丢了),不等于0表示没压扁。

三阶行列式(本讲例题1、例题3都要算 \(\det(sI-A)\),是三阶,必须补)。 用对角线法则(萨吕斯法则),只对三阶有效,四阶以上不能用: $\(\det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\)$ - 怎么记(手上操作):把前两列再抄一遍写到矩阵右边,变成 3 行 5 列;然后从左上往右下画三条"斜线"(每条穿过 3 个数),三条线上的乘积相加;再从右上往左下画三条斜线,三条乘积相减。共 6 项,3 加 3 减。 - 演一遍: $\(\det\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{bmatrix}=1\cdot1\cdot0+2\cdot4\cdot5+3\cdot0\cdot6-3\cdot1\cdot5-1\cdot4\cdot6-2\cdot0\cdot0=0+40+0-15-24-0=1\)$ - 用在哪:求特征多项式 \(\det(\lambda I-A)\) 时,矩阵里带着未知数 \(\lambda\)(或 \(s\)),照同一条法则展开,最后合并同类项得到一个三次多项式。带字母不影响算法,只是乘起来啰嗦。 - 【难点】三阶行列式最常见的翻车是符号搞反和漏项。自检办法:结果必须恰好 6 项(未合并前),3 正 3 负;若矩阵某行某列有两个0,优先用它,能省掉一半项。

(2) 非奇异矩阵:行列式不等于0的方阵,叫非奇异(也叫可逆)。大白话:它做的变换是可以原路还原的,没有丢信息。字幕里的"非歧义"全是这个词。

(3) 逆矩阵 \(M^{-1}\):把 \(M\) 做的事情还原回去的那个矩阵,满足 \(MM^{-1}=I\)。\(I\) 是单位矩阵(对角线全1其余全0),它的作用是"什么都不做",相当于数字里的 1。只有非奇异矩阵才有逆。

(4) 秩 rank:矩阵里真正互相独立、谁也不能由别人拼出来的行(或列)有几行。字幕里念成"质"。 举例:\(\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\) 第二行是第一行的2倍,是"抄来的",所以只有1个独立行,秩=1。 满秩=秩等于阶数(\(n\) 阶方阵秩为 \(n\)),意味着信息一点没丢。这一章几乎所有判据,最后都归结为"某个矩阵是不是满秩"。

(5) 转置 \(A^{T}\):把矩阵沿主对角线翻过来,行变列、列变行。\(\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}0&-2\\1&-3\end{bmatrix}\)。

(6) 特征值 \(\lambda\):满足 \(\det(\lambda I-A)=0\) 的那些数。 - 这式子在说什么:先用 \(\lambda\) 乘单位阵再减去 \(A\),得到一个含未知数 \(\lambda\) 的矩阵,让它的行列式等于0,解出的 \(\lambda\) 就是特征值。展开后得到的多项式叫特征多项式,方程叫特征方程。 - 它的物理意义(最关键的一句):\(A\) 的特征值 = 这个系统的极点。 你在第3章学过"极点在左半平面系统才稳定",在第九章它换了个身份叫特征值,判据完全一致。这就是新旧两套理论的接头处。

1.4 【补前置】本讲会用到的符号速查(看到不认识的符号就回这里)

这些符号后面会不打招呼地出现,先在这里一次性交代清楚,不许它们裸奔:

【难点·符号撞车预警】本讲里 \(\Phi\) 这个字母被用了两次,含义完全不同,别混: - \(\Phi(t)=e^{At}\) 是状态转移矩阵(例题2第(1)问),自变量是时间 \(t\); - 有些教材/字幕里 \(\Phi(s)\) 表示闭环传递函数,自变量是复变量 \(s\)。 为避免你被绕晕,本讲后面统一把闭环传递函数记作 \(G_B(s)\)(\(B\) 取"闭环 Bi-huan"),\(\Phi\) 只留给状态转移矩阵。 你看别的资料时若见到 \(\Phi(s)\),先看括号里是 \(t\) 还是 \(s\) 就能分辨。

二、非奇异线性变换与规范分解(考"为什么不变",不考硬算)

2.1 线性变换在干什么

设 \(x=P\bar{x}\),\(P\) 是非奇异矩阵。代入 \(\dot{x}=Ax+Bu\) 整理,可得新的表达式: $\(\dot{\bar{x}}=P^{-1}AP\,\bar{x}+P^{-1}Bu,\qquad y=CP\,\bar{x}+Du\)$ - 这式在说什么:换一套坐标(换一组状态变量)重新描述同一个系统。就像同一个地点,用"经纬度"说和用"街道门牌"说,地点没变,说法变了。 - 符号:\(P\) 是你自己挑的变换矩阵(非奇异,保证能换回来);\(\bar{x}\) 是新坐标下的状态。 - 怎么用:选合适的 \(P\),把丑陋的 \(A\) 变成漂亮的标准形式,便于分析和设计。

目的:变成可控标准型、可观标准型、约当标准型这类规范形式——形式统一,套公式就能做题。

【补前置】这三个名字先各给一句人话,别让它们裸着: - 可控标准型:\(A\) 的样子被规定死了——上面几行是"错位的1",最后一行放分母多项式系数的相反数,\(B\) 只有最后一个元素是1。好处是极点配置一眼就能配(例题1第(3)问会用,那里有完整公式和口诀)。 - 可观标准型:可控标准型的对偶形式(把 \(A\) 转置、\(B\) 与 \(C\) 交换转置)。见 2.3 对偶原理。 - 约当标准型:尽量把 \(A\) 变成对角矩阵(只有主对角线上有数、其余全是0),对角线上放的就是各个特征值 \(\lambda_1,\lambda_2,\dots\)。这样各状态互不干扰,系统被拆成 \(n\) 个独立的一阶系统,看得最清楚。当特征值有重根、凑不出纯对角阵时,只能退而求其次:在对角线紧邻的右上方补上几个1,形成一个个小方块(叫"约当块"),整体就叫约当标准型。851 层面只需知道"约当标准型 ≈ 对角化,重根时对角线上方带1"这一句,不必会求。

2.2 变换的不变性(这是简答题常客)

26BUFF控制简答题库 p055 第16题参考答案的完整原文是:

"非奇异线性变换影响系统的可控性及可测性,不改变传递函数。观测器不影响原系统的能控性和能测性,也不影响稳定性。"

【存疑·待核】这句题库答案与教材通行结论直接矛盾,必须点明,不能糊过去。 教材(胡寿松)和几乎所有教科书的结论是:非奇异线性变换(相似变换)不改变能控性与能观测性——理由见下面的【难点】,而且可以严格证明(可控性矩阵在变换下变成 \(P^{-1}[B\ AB\ \cdots]\),左乘一个可逆阵不改变秩)。所以题库这句"影响系统的可控性及可测性"疑为笔误或漏字(可能本想写"不影响")。本讲以教材为准,若考场上遇到,按"不改变"作答。这一处我无法拿到题库原PDF以外的旁证,标【存疑·待核】,建议你自己也回查一眼原页。

综上,以教材口径:

非奇异线性变换不改变的东西:特征值(极点)、传递函数矩阵、可控性、可观测性、稳定性。

【补前置】传递函数矩阵:你在前八章见到的传递函数是一个分式,那是单输入单输出(SISO)的情形。现代控制理论里输入和输出都可以是多个(MIMO),于是"第 \(j\) 个输入到第 \(i\) 个输出"的传函排成一个矩阵,第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素就是那一对通道的传递函数,整体记作 \(G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\)。单输入单输出时它退化成 \(1\times1\),就是你熟悉的那个分式。 本讲凡是写"传递函数矩阵"的地方,你按"传递函数"理解都不会错。

【难点】为什么不变? - 难在哪:零基础只会背"不变",一问为什么就哑。 - 为什么难:因为它需要你理解"变换只是换了描述语言,没动系统本身"。 - 正确理解:\(\bar{A}=P^{-1}AP\) 这种形式叫相似变换。做特征方程: $\(\det(\lambda I-P^{-1}AP)=\det\big(P^{-1}(\lambda I-A)P\big)=\det(P^{-1})\det(\lambda I-A)\det(P)=\det(\lambda I-A)\)$ (用到 \(\det(MN)=\det M\cdot\det N\) 和 \(\det(P^{-1})=1/\det P\),两者相乘抵消) 一句话:特征多项式原封不动,所以特征值不变,所以极点不变,所以稳定性不变。 至于可控可观不变,直观理由是:能不能控制、能不能看见,是系统的物理事实,不因为你换了一套记账坐标而改变。

【你可能会以为】既然变换什么都不改变,那做变换有什么意义?其实意义在于"同一个事实,换个坐标就一眼可见"。比如一个系统本来可控性看不出来,变成可控标准型后,\(A\) 的最后一行直接就是特征多项式的系数,极点配置一眼就能配。变换改变的是可读性,不是事实。

2.3 对偶原理

若系统 \(S_1=(A,B,C)\) 与 \(S_2=(A^{T},C^{T},B^{T})\),称二者互为对偶。 结论:\(S_1\) 可控 \(\Leftrightarrow\) \(S_2\) 可观;\(S_1\) 可观 \(\Leftrightarrow\) \(S_2\) 可控。

• 大白话:"能不能推得动"和"能不能看得见"是一枚硬币的两面。把系统的 \(A\) 转置、\(B\) 和 \(C\) 互换,可控和可观就互换身份。
• 考试怎么用(高频):题目给你一个已经是可控标准型的系统,让你写它的可观标准型,不用重新推导,直接:\(A\to A^{T}\)、\(B\to C^{T}\)、\(C\to B^{T}\)。本讲例题2的第三问就是这么做的。

2.4 规范分解(结构分解)

把状态变量按"可控/不可控"和"可观/不可观"两两组合,分成四类: 1. 可控且可观 2. 可控但不可观 3. 不可控但可观 4. 不可控且不可观

对应地,状态空间被切成四个子空间。这叫规范分解,它把系统的结构和传递特性看得更清楚。

【补前置】子空间:状态空间是所有可能状态构成的那个 \(n\) 维空间(二阶系统就是一张平面,三阶就是一块立体空间)。子空间就是其中一块"自成体系"的部分——比如平面里过原点的一条直线。"自成体系"的准确含义是:这块里面的向量随便相加、随便乘常数,结果仍然落在这块里,跑不出去。说"可控状态构成一个子空间",意思就是:能被输入推到的那些方向,合起来正好是一块这样的区域,而不是零零散散几个点。

分解的做法(老师明确强调的方向别记反): - 按可控性分解:从可控性判别矩阵中选出线性无关的列,再补充凑成非奇异矩阵 \(P\),用它做变换。 - 按可观性分解:从可观性判别矩阵中选出线性无关的行。

【补前置】"线性无关"=谁也不能由其他几个通过"倍数相加"拼出来,即"独立信息"。选它们的目的就是搭一套坐标,让可控的部分和不可控的部分在新坐标下分家、各占各的位置。

【难点·且这是考点】一个重要副产品:传递函数只反映"可控且可观"的那一部分。不可控或不可观的部分在传递函数里被零极点对消掉了,外面看不见。所以: - 传递函数不发生零极点对消 \(\Leftrightarrow\) 系统可控且可观(即"最小实现")。 - 【补前置】实现:给你一个传递函数,反过来写出一组 \((A,B,C,D)\) 使它的传函正好等于给定的那个,这个过程叫"实现"(第五节考点清单里会再出现这个词)。同一个传函有无穷多种实现(内部怎么拆是自由的),阶数可以很高。 - 【补前置】最小实现:在所有实现里阶数最低的那一种。题库 p059 第27题原文:"若某一状态空间表达式计算得到了对应的传递函数矩阵,并且该状态空间为此矩阵维数最低且能控能观的一种实现方式,则称该状态空间为此传递函数矩阵的一个最小实现……最小实现条件是:能控能观且维数最低。" 为什么"最小"就等于"能控能观":不能控或不能观的那部分在传函里被对消掉了,是白背的包袱,把它砍掉传函不变、阶数更低——所以只要还有这种包袱就不是最小的。 - 这条正是简答题库 p054 第8题问的"传递函数矩阵的零极点对消现象与能控能观有何关系"。 - 为什么难:零基础容易觉得"外面看不见就等于不存在"。其实那部分照样在系统内部活着,如果它恰好不稳定,系统会在你完全看不见的情况下发散——这就是它危险的地方。

【这块要不要深挖】对851:知道四分法、知道对偶原理、知道零极点对消的含义即可,具体做分解的手算不建议投入时间。

三、李雅普诺夫稳定性(本讲最重要的一块)

3.0 为什么要再学一种稳定性

前八章的稳定判据(劳斯判据、奈氏判据)是为线性系统量身定做的。可现实系统很多是非线性的,也可能是时变的,那套办法就不够用。李雅普诺夫给了一套更普适的说法——它甚至不要求你解出微分方程。

3.1 平衡状态 \(x_e\)

满足 \(\dot{x}=f(x_e)=0\) 的那个状态,叫平衡状态。 - 大白话:系统待在这个点上就不再动了(所有变化率都是0)。像碗底的小球、竖直悬挂静止的单摆。 - 怎么求:令状态方程右边全部等于0,解方程组。线性系统 \(\dot x=Ax\) 中,若 \(A\) 非奇异,则平衡点只有原点 \(x_e=0\) 一个(因为 \(Ax=0\) 只有零解)。这就是为什么题目里总是围绕"原点"讨论稳定性。

3.2 李雅普诺夫意义下的稳定(定义)

大白话版(先看这个):你给平衡点画一个小圈(半径 \(\varepsilon\),你随便定多小)。如果我总能找到一个更小的起跑圈(半径 \(\delta\)),让所有从这个起跑圈内出发的运动,永远不跑出你画的那个 \(\varepsilon\) 圈,那就叫稳定。

符号版: $\(\|x_0-x_e\|\le\delta \;\Longrightarrow\; \|x(t;x_0,t_0)-x_e\|\le\varepsilon,\ \ \forall t\ge t_0\)$ - 这式在说什么:起点离平衡点不超过 \(\delta\),那么以后任何时刻离平衡点都不超过 \(\varepsilon\)。 - 符号:\(\|\cdot\|\) 叫范数,【补前置】就是"长度/距离"的意思,\(\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots}\),即这个状态离原点有多远。\(x_0\) 是初始状态,\(t_0\) 是起始时刻。 - 怎么用:考试主要考"这句话是什么意思",让你用文字复述,而不是让你验证不等式。

题库 p057 第23题给的标准表述是:"从平衡状态出发的状态轨线总离不开 \(s(\varepsilon)\),即系统响应的幅值是有界的。"——可以直接背这句话答简答题。

【你可能会以为】"稳定"就是"最后会回到平衡点"。其实李雅普诺夫意义下的稳定只要求"跑不远",不要求"回得来"。 真正"回得来"的那个叫渐近稳定,见下。这是本讲最容易混的一处。 一个直观例子:理想无摩擦单摆,推一下它就一直摆下去,幅度不增不减——跑不远,但也回不去,这就是李雅普诺夫稳定而不渐近稳定。题库 p055 第15题的答案也说:"如果系统的储能既不增加也不消耗,那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。"

3.3 稳定性的几个细分,一次分清

【难点】"一致"针对起始时刻,"大范围"针对起始位置。两个词各管一头,别混。 【补前置】"脉冲扰动"= 极短时间内给系统猛拍一下,之后撤掉。它的作用相当于只改变初始状态,所以用它来考察稳定性正合适。

老师还提到"稳定性与输入无关"——这点要理解成:李雅普诺夫稳定性讨论的是自治系统(\(u=0\))在初始扰动下的行为,不涉及外加输入。输入引起的那种稳定另有说法,就是后面的 BIBO/BIBS。

3.4 李雅普诺夫第一法(间接法)

思路:先把系统在平衡点附近线性化,拿到 \(A\),然后看 \(A\) 的特征值。说白了就是回到你前八章熟悉的极点判据。 之所以叫"间接",是因为它绕道去解特征值。

对线性定常系统 \(\dot x=Ax\):

• 渐近稳定的充要条件:\(A\) 的所有特征值都具有负实部(全在左半复平面)。 这条和经典理论里"闭环极点全在左半平面"完全一致,老师原话也强调了这一致性。
• (仅)李雅普诺夫意义下稳定的充要条件:\(A\) 的所有特征值实部非正(负的,或者等于0);且实部为0的那些特征值必须是 \(A\) 的最小多项式的单根(即不能是重根堆在虚轴上)。
• 大白话:允许有极点正好落在虚轴上(对应等幅振荡,跑不远但回不来),但不允许虚轴上的极点重复,一重复就会出现 \(t\sin\omega t\) 这种越振越大的项,直接不稳定。
• 【补前置】"最小多项式"是矩阵理论里的概念,零基础只需记住结论"虚轴上的极点不能是重根"。851 层面不必深究最小多项式。
• 【存疑·待核】"最小多项式的单根"这一表述来自字幕,措辞与胡寿松教材通行说法一致,但因手头无第9章PPT,未能逐字比对。

3.5 李雅普诺夫第二法(直接法)——考得最多

核心思想(先建立直觉再看条件):不解方程,看能量。 给系统编一个"能量账本" \(V(x)\): - 账本余额永远为正,只有在平衡点才是0 —— 正定; - 余额随时间不断减少 —— 导数负定; - 那么能量一直往下掉,最终掉到最低点,系统就回到平衡点了 —— 渐近稳定。

题库 p055 第15题的参考答案说得很清楚:"系统被激励后,其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减,到达平衡状态时,能量将达到最小值,那么平衡状态是稳定的;如果系统不断地从外界吸收能量,储能越来越大,这个平衡状态是不稳定的。"

【补前置】"定号性"四个词,必须分清(设 \(V(x)\) 是关于状态的标量函数,即输入一个状态、输出一个数): - 正定:除了 \(x=0\) 处为0,其余处处 \(V(x)>0\)。例:\(V=2x_1^2+x_2^2\)。 - 正半定:处处 \(V(x)\ge0\),但在某些非零 \(x\) 处也可以等于0。例:\(V=x_1^2\)(当 \(x_1=0,x_2\ne0\) 时也为0)。 - 负定:\(-V\) 正定,即处处 \(<0\)(原点除外)。 - 负半定:处处 \(\le 0\)。 "半"这个字的全部含义就是:允许在非零点处取到0。 本讲后面的四条定理全靠这个字的差别区分开,务必分清。

四条定理(考试爱考,按表记) 设 \(V(x)\) 正定、有连续一阶导数,\(\dot V(x)\) 是它沿系统轨迹对时间的导数:

• 情形4为什么不稳定:能量的变化率是正的,能量一路递增,系统当然停不下来。
• 情形2和情形3的差别是本讲最细的一处,就差"是否恒为0"这几个字。老师在字幕里这一段说得比较绕(还出现了口误),我按标准结论整理为上表。
• 【难点】\(\|x\|\to\infty\) 时 \(V\to\infty\) 这个条件叫径向无界。缺了它只能保证"局部"渐近稳定,不能说"大范围"。为什么?因为如果能量函数在远处是"封顶"的,状态可以在能量不增的情况下跑到无穷远去。零基础第一遍不理解很正常,先记住"想说大范围,必须补这一句"。

用第二法解题的固定四步(照着做题就行): 1. 求平衡状态(令 \(\dot x=0\)); 2. 选一个 \(V(x)\),通常选二次型如 \(V=ax_1^2+bx_2^2\)(系数取正),并确认它正定; 3. 求 \(\dot V\):\(\dot V=\frac{\partial V}{\partial x_1}\dot x_1+\frac{\partial V}{\partial x_2}\dot x_2\),把状态方程代进去;

【补前置】符号 \(\partial\) 念"偏",\(\frac{\partial V}{\partial x_1}\) 叫"\(V\) 对 \(x_1\) 的偏导数"。 意思极简单:只把 \(x_1\) 当变量求导,其余的 \(x_2,x_3,\dots\) 统统当成常数(当成数字)。 之所以要"偏",是因为 \(V\) 同时依赖好几个状态,得说清楚是对哪一个求导。 - 举个例:\(V=2x_1^2+x_2^2\)。求 \(\frac{\partial V}{\partial x_1}\) 时,把 \(x_2^2\) 看成一个常数(常数求导为0),于是 \(\frac{\partial V}{\partial x_1}=4x_1\);同理把 \(x_1\) 当常数,\(\frac{\partial V}{\partial x_2}=2x_2\)。 - 再举一个带交叉项的:\(V=x_1^2+3x_1x_2\)。对 \(x_1\) 求导时 \(x_2\) 是常数,\(3x_1x_2\) 就像 \(3\cdot(\text{常数})\cdot x_1\),导数是 \(3x_2\),故 \(\frac{\partial V}{\partial x_1}=2x_1+3x_2\);对 \(x_2\) 求导时 \(x_1\) 是常数,\(\frac{\partial V}{\partial x_2}=3x_1\)。 - 这条公式整体在说什么:\(V\) 随时间变,是因为 \(x_1,x_2\) 随时间变。所以"\(V\) 每秒变多少" = "\(x_1\) 每动一点 \(V\) 变多少"(\(\frac{\partial V}{\partial x_1}\))乘"\(x_1\) 每秒动多少"(\(\dot x_1\)),再加上 \(x_2\) 那一份。这就是多元函数的链式法则。最容易漏的就是后面那个 \(\dot x\) 因子——漏了就等于没把系统动态代进去,整道题作废。 - 把上面第一个例子接着做完:\(\dot V=4x_1\dot x_1+2x_2\dot x_2\),再把 \(\dot x_1,\dot x_2\) 换成状态方程右边的表达式,就只剩 \(x_1,x_2\) 了,可以判定号。这正是例题2第(4)问的做法。 4. 判断 \(\dot V\) 的定号性,对照上面四条定理下结论。

【你可能会以为】\(V(x)\) 是唯一的、有标准答案。其实不是,李雅普诺夫函数不唯一,老师明确说了"标量函数具有多样性,你可以选别的,试了不合适可以换"。选不出好的 \(V\) 并不能证明系统不稳定,只能说明你这次没选好——这是第二法的一个天然弱点(它给的是充分条件,不是充要条件)。

3.6 李雅普诺夫方程(线性定常系统的专用工具)

对线性定常连续系统 \(\dot x=Ax\)(\(A\) 非奇异,原点是唯一平衡点),取二次型 \(V(x)=x^{T}Px\),则

• 这式在说什么:能量的变化率还是一个二次型,中间那个矩阵是 \(A^{T}P+PA\)。
• 【补前置】二次型:\(x^{T}Px\) 展开就是各状态的平方项和交叉项的加权和,例如 \(P=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\) 时 \(x^{T}Px=2x_1^2+x_2^2\)。\(P\) 取对称矩阵(\(P=P^{T}\)),这样每个交叉项的系数才不重复。\(x^T\) 是把列向量躺倒成一行。
• 于是想让 \(\dot V\) 负定,只需令 \(A^{T}P+PA=-Q\) 且 \(Q\) 正定。

判据(必背):线性定常连续系统在原点渐近稳定的充要条件是:

对任意给定的正定对称矩阵 \(Q\),李雅普诺夫方程 $\(A^{T}P+PA=-Q\)$ 存在唯一的正定对称解 \(P\)。

• 怎么用(考试典型做法):一般先取 \(Q=I\)(单位阵,最省事),把 \(P\) 设成待定的对称矩阵 \(\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}\\p_{12}&p_{22}\end{bmatrix}\),代入方程,得到一组线性方程解出 \(p_{ij}\),再判断解出的 \(P\) 是否正定(二阶正定的判法:\(p_{11}>0\) 且 \(\det P>0\))。\(P\) 正定则渐近稳定。
• 【补前置】顺序主子式:从矩阵左上角开始,取 \(1\times1\)、\(2\times2\)、\(3\times3\)……一层层往外套的那些方块,各自算出的行列式。三阶的 \(P\) 就有三个顺序主子式:\(\Delta_1=p_{11}\)、\(\Delta_2=\det\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}\\p_{21}&p_{22}\end{bmatrix}\)、\(\Delta_3=\det P\)。判据(西尔维斯特准则):对称矩阵 \(P\) 正定 \(\Leftrightarrow\) 它的各阶顺序主子式全都大于0。 二阶就是上面那两条。负定的判法是"顺序主子式正负交替:\(\Delta_1<0,\Delta_2>0,\Delta_3<0\dots\)",等价于 \(-P\) 正定。
• 放宽版本:若 \(\dot V\) 沿非零轨迹不恒为0,则 \(Q\) 只需取正半定即可(常取 \(Q\) 为某个半定阵以简化计算)。
• 离散系统对应版本:\(G^{T}PG-P=-Q\)。老师提到离散情形里 \(A\) 换成 \(G\)(离散状态转移矩阵)。【存疑·待核】字幕在此处只说"\(A\) 变成了 \(G\)",没念出完整式子;上式是通行写法,但未能与本课程材料逐字核对。

【难点】老师反复说的"怎样给定 \(Q\) 验证 \(P\)、怎样给定 \(P\) 验证 \(Q\)",指的是两种出题方向:给 \(Q\) 解 \(P\)(常规),或给你一个 \(P\) 让你反算 \(Q=-(A^{T}P+PA)\) 再看 \(Q\) 正不正定(反向)。两个方向都要会转。

3.7 BIBO 与 BIBS 稳定

这是另一套稳定性口径,与李雅普诺夫并列。

• BIBS(有界输入有界状态):任意有界初始状态、任意有界输入 \(u(t)\) 下,状态 \(x(t)\) 都有界。
• BIBO(有界输入有界输出):同样条件下,输出 \(y(t)\) 有界。这就是你在经典控制理论里默认的那种稳定。
• 【补前置】"有界"= 数值不会跑到无穷大,存在一个上限框住它。

三者关系(考点): - 线性定常系统若渐近稳定,则 BIBS 与 BIBO 同时满足; - 反过来不成立:BIBO 稳定不一定 BIBS 稳定。 - 为什么? 因为可能有一个不稳定的内部状态,恰好被零极点对消掉、在输出上看不见——输出乖乖有界,内部却在悄悄发散。这正好呼应第2.4节的"看不见不等于不存在"。这是本讲最能体现"状态空间比传递函数看得更深"的一处。 - BIBO 的判别方法:看传递函数矩阵的所有极点是否全部位于左半 \(s\) 平面。

四、系统综合:状态反馈、输出反馈与观测器

前面全是"分析"(系统好不好);从这里开始是"综合"(不好怎么改)。

4.1 反馈的两大类、四种接法

【补前置】反馈=把系统的信息取出来送回输入端,用来自动纠偏。你在第1章学过。第九章的新意在于:除了输出 \(y\),现在还可以拿内部状态 \(x\) 来反馈——这是状态空间独有的能力,因为经典理论里根本"看不见" \(x\)。

按"取谁"和"送到哪"两两组合,共四种:

(1) 状态反馈到参考输入,控制律 $\(u=v-Kx\)$ - 这式在说什么:真正打进系统的控制量 \(u\),等于你给的参考量 \(v\) 减去按比例取回来的状态。 - 符号:\(v\) 是外部参考输入(你的指令);\(K\) 是状态反馈矩阵/增益阵,单输入时它是一行 \(n\) 个数 \([k_1\ k_2\ \cdots\ k_n]\),每个数表示"这个状态该按多大比例反馈回去"。 - 代入 \(\dot x=Ax+Bu\): $\(\dot{x}=(A-BK)x+Bv,\qquad y=Cx\)$ - 怎么用:闭环的系统矩阵从 \(A\) 变成了 \(A-BK\)。极点=特征值,而特征值由矩阵决定,所以调 \(K\) 就是在挪极点。 这就是"极点配置"的全部原理。 - 注:题库 p059 第31题写成 \(u=v-Fx\),只是把 \(K\) 叫成 \(F\),同一件事。若题目要求正反馈,则 \(u=v+Kx\),闭环阵变成 \(A+BK\)(本讲例题3就是正反馈,别照抄负号)。

(2) 输出反馈到状态微分,把测到的输出 \(y\) 乘上一个增益阵 \(H\),不经过 \(u\) 那条路,而是直接加(减)到状态的导数 \(\dot x\) 上: $\(\dot x=Ax+Bu-Hy=Ax+Bu-HCx=(A-HC)x+Bu\)$ - 这式在说什么:反馈信号没有从输入口 \(u\) 进去,而是"插队"直接改写了状态的变化率。 - 符号:\(H\) 是送到状态微分处的反馈增益矩阵(\(n\times m\),\(m\) 是输出个数),它把 \(m\) 维的输出 \(y\) 撑回 \(n\) 维,才能和 \(\dot x\) 相加;\(y=Cx\) 所以 \(Hy=HCx\)。 - 怎么用:闭环系统矩阵从 \(A\) 变成 \(A-HC\)。设计 \(H\) 就是给 \(A-HC\) 配特征值。 - 【难点】注意 \(HC\) 的形状:\(H\) 是 \(n\times m\)、\(C\) 是 \(m\times n\),乘出来是 \(n\times n\),和 \(A\) 同型才能相减。这也解释了为什么这种接法能凑够 \(n\) 个可调方向(下一节要用)。 - 【你可能会以为】这里的 \(A-HC\) 和 4.3 节观测器里的 \(A+GC\) 是两码事。其实是同一个数学问题(只差把 \(G\) 记成 \(-H\)):都是"给 \(A\) 减掉一个 \(\ast C\)",所以两者的条件都是完全可观。观测器就是这条结论最重要的应用。

(3) 输出反馈到参考输入,控制律 $\(u=v-Fy=v-FCx\ \Longrightarrow\ \dot x=(A-BFC)x+Bv,\qquad y=Cx\)$ - 这式在说什么:只把能测到的输出 \(y\) 按比例减回参考输入端,这就是你在第1~6章一直用的那种经典反馈。 - 符号:\(F\) 是输出反馈增益矩阵(\(p\times m\),\(p\) 是输入个数)。 - 要害:闭环阵是 \(A-BFC\),一般不能任意配置极点。理由(题库 p057 第20题原话):"输出反馈不能任意配置极点,因为有可能输出的维数小于状态维数。" 大白话:你要摆布 \(n\) 个极点,手里的旋钮却只有 \(F\) 那 \(p\times m\) 个,而 \(m<n\) 时旋钮数量根本不够,自由度不足。 - 【难点】别把 (2) 和 (3) 的结论串门:"可任意配置极点 ⟺ 完全可观"这条只对 (2) 的 \(A-HC\) 成立,对 (3) 的 \(A-BFC\) 不成立。两式长得像,结论完全不同,这是本节最容易记混的一处。

(4) 状态反馈到状态微分:\(\dot x=Ax+Bu-Hx=(A-H)x+Bu\)。四种接法凑齐,但这一种考试基本不考,不展开(不是省略了什么难点,是它确实不在题库和老师的考点清单里)。

4.2 极点配置的条件与"改变了什么"(高频简答)

据 26BUFF控制简答题库 p055 第13题参考答案并结合本讲:

• "输出反馈到参考输入不能任意配置"的理由(据题库 p057 第20题参考答案原文):"输出反馈不改变系统的能控性和能观测性;输出反馈不能任意配置极点,因为有可能输出的维数小于状态维数。" 即:要独立摆布 \(n\) 个极点,需要足够多的可调参数,而 \(F\) 只有 \(p\times m\) 个自由度,输出维数 \(m<n\) 时旋钮不够用。
• 别记混:表格第二行说的"完全可观"是 \(A-HC\) 那种接法(把 \(Hy\) 加到 \(\dot x\) 上),不是 \(A-BFC\)。

【难点】为什么状态反馈不改变可控性却可能改变可观性? - 难在哪:纯背表格,考场上一慌就写反。 - 正确理解: - 可控性不变:反馈只是把 \(u\) 换了个算法,你原本能推动的状态,现在照样能推动(反馈可逆,\(u=v-Kx\) 能反解出 \(v\))。控制通道的"力量能到哪"没变。 - 可观性可能变:老师给的理由是"状态反馈不改变闭环传递函数的零点",而它把极点挪了。极点动、零点不动,就可能出现新的极点正好撞上原有的零点而对消——一对消,那个模态在输出里就消失了,可观性因此被破坏。 - 反过来记输出反馈:输出反馈动的是"输出这条路",所以可观性保住、可控性可能被破坏。记忆钩子:反馈从哪儿取信息,就保住哪一头的性质。 - 【补前置】模态:上面说的"模态"指系统的一个自由运动分量,即某个特征值 \(\lambda_i\) 对应的那一项 \(e^{\lambda_i t}\)(以及它在状态空间里对应的那个方向)。\(n\) 阶系统有 \(n\) 个模态,系统的自由响应就是这 \(n\) 项的叠加。"模态在输出里消失"=这一项 \(e^{\lambda_i t}\) 在 \(y(t)\) 里的系数变成0,你从输出上再也看不到它,可它在内部照样在跑。

• 题库 p062 第36题与本讲结论不一致,必须摆明。原题:已知 \(G(s)=\frac{(s-1)(s+2)}{(s-3)(s-4)(s-5)}\),判断是否能够通过状态反馈把传递函数变为 \(\frac{s-1}{(s+2)(s+3)}\)。
• 题库参考答案原文照录:"\(\frac{Y(s)}{C(s)}=\frac{s^2+s-2}{s^3+2s^2-5s-6}\),无需极点相消,因此可控,可以任意配置极点"。
• 【存疑·待核】这段答案只回答了"极点能不能任意配"(倾向"能"),并没有正面回答"能不能变成那个目标传函",而且中间的多项式与题干的 \((s-3)(s-4)(s-5)\) 对不上(后者展开是 \(s^3-12s^2+47s-60\)),疑为抄题/排版有误。我不采信这份答案的字面结论。
• 我的判断:做不到,依据两条——① 状态反馈只改变极点、不改变零点,原系统零点是 \(s=1\) 和 \(s=-2\),目标传函只剩零点 \(s=1\),零点被改了;② 状态反馈不改变系统阶数,原系统三阶(分母三次),目标只有两个极点,阶数被降了,而状态反馈闭环阵仍是 \(3\times3\),特征多项式必是三次。表面上"能变成两个极点"只能靠一个新极点恰好与零点 \((s+2)\) 对消——那是破坏可观性换来的表观降阶,不是真的把零点消掉了。
• 考场建议:这类题按"状态反馈不改变零点、不改变阶数"作答并写出理由,理由分比结论分更保险。若你能拿到题库原PDF该页,请自己复核一眼。

【难点·本讲例题3的关键】不可控的极点,状态反馈动不了。 例题3里有个状态 \(x_2\) 满足 \(\dot x_2=-x_2\)(不受 \(u\) 影响),对应极点 \(-1\)。既然输入根本推不动它,再怎么设计 \(K\) 也挪不动这个 \(-1\)。这就是"任意配置极点要求完全可控"这句话的物理来源。 由此引出能稳(可镇定)的概念:系统即使不完全可控,只要不可控的那部分极点本身就在左半平面(如这里的 \(-1\)),整个系统仍可以被状态反馈稳定住。题库 p055 第13题问的"(A,B)能稳的充要条件"答的就是这个:不稳定的极点必须是可控的。

4.3 状态观测器

问题:状态反馈很好用,但 \(x\) 是系统内部的量,很多测不到(你哪来的传感器直接量电感磁链?)。怎么办?

答案:造一个"影子系统"去估计它。 这个影子就是状态观测器(也叫状态重构器)。

结构(题库 p055 第14题给出的形式): $\(\dot{\hat{x}}=(A+GC)\hat{x}+Bu-Gy\)$ - 这式在说什么:观测器内部跑一个和真实系统一样的模型(\(A,B\)),同时不断拿真实输出 \(y\) 与自己估计出来的输出去比对,用差值修正自己。 - 符号:\(\hat x\)(x 上加帽子)是估计的状态,不是真状态;\(G\)(本讲字幕里叫 \(H\) 阵)是观测器增益矩阵,决定"发现估错了以后,修正得多猛"。\(u\)、\(y\) 是被控对象真实的输入和输出——注意观测器只用这两个外部可测量,这正是它可行的原因。 - 怎么用:令估计误差 \(e=x-\hat x\),可推出 \(\dot e=(A+GC)e\)。只要把 \(A+GC\) 的特征值配到左半平面,误差就会自动衰减到0,估计值追上真值。设计 \(G\) 就是给误差系统配极点。

分类: - 全维观测器:观测器状态维数 = 被控对象状态维数(\(n\) 维)。 - 降维观测器:维数更少(因为输出 \(y\) 已经直接告诉你一部分信息,不必全估)。 - 老师明确说:降维观测器不用考虑,考也只考到全维为止。 这是老师针对一般院校的口述,不是851考纲原文。 - 【难点·交叉提示,别整块跳过】本讲开头已把学长题库定为851口径的校正基准,而题库 p054 第11题恰恰考过降维观测器:"谈谈线性系统降维状态观测器设计的必要性。"所以老师这句"不用考虑"只适用于计算题层面(不必会设计),概念层面你仍要会说一句。题库参考答案的要点(原文):"系统的输出矢量 y 总是能够测量的,利用系统的输出矢量 y 来直接产生部分状态变量,从而降低观测器的维数,若系统能观,输出矩阵的秩是 m,则它的 m 个状态分量可由 y 直接获得,那么其余的 n-m 个状态分量便只需用 n-m 维的降维观测器进行重构即可。" - 一句话记法:\(y\) 已经白送了 \(m\) 个状态,再花力气去估计它们是浪费,只需重构剩下的 \(n-m\) 个,观测器就从 \(n\) 维降到 \(n-m\) 维。

存在条件(题库 p055 第14题、p057 第21题参考答案,两处一致):

观测器存在的充要条件是,系统能观测,或者系统虽不能观测但其不能观测的子系统的特征值具有负实部。 (前一半是"能任意配置观测器极点"的条件;后一半宽松版对应"只要求误差能收敛")

\(G\)(\(H\))怎么选:决定状态估计误差衰减的速率。工程经验:让观测器的响应速度比状态反馈回路快 2~10 倍。 - 为什么要快:反馈用的是估计值,如果估计还没追上真值,反馈就是在拿错误信息做决策。所以必须让"看清"远快于"动作"。这一句是本节最实用的一条,简答题可以直接答。

4.4 分离定理(收尾的漂亮结论)

若被控系统完全可控且完全可观,那么用观测器的估值 \(\hat x\) 来构成状态反馈时:

状态反馈的极点配置(设计 \(K\)) 与 观测器的设计(设计 \(G\)),可以分别独立进行,互不影响。

• 设计步骤:第一步,当作 \(x\) 可直接测量,设计 \(K\) 把闭环极点配到位;第二步,如果 \(x\) 实际测不到,再设计观测器的 \(G\);两步凑起来就是最终的控制器。
• 为什么这条定理重要:如果不能分离,你就得同时求 \(K\) 和 \(G\) 这一大堆未知数,难度爆炸。分离定理把一个难问题劈成两个已解决的问题。
• 数学上的说法:整个闭环系统(\(2n\) 阶)的特征值,恰好是"状态反馈那个 \(n\) 阶闭环阵的特征值"加上"观测器误差阵的 \(n\) 个特征值"的并集,两组互不干扰。这一条题库 p059 第26题给了完整推导(注意该页用的是正反馈记法 \(A+BK\)、观测器写作 \(A-GC\)),原文:

  "\(\bar{A}_1=\begin{bmatrix}A+BK & BK \\ 0 & A-GC\end{bmatrix}\)……由于线性变换不改变系统的极点,因此有 \(\det[sI-\bar{A}_1]=\det[sI-(A+BK)]*\det[sI-(A-GC)]\)。表明由观测器构成状态反馈的闭环系统,其特征多项式等于矩阵 \(A+BK\) 与矩阵 \(A-GC\) 的乘积,则系统的状态反馈矩阵 \(K\) 和观测器反馈矩阵 \(G\) 可分别进行设计。"

• 【补前置】那个 \(\bar A_1\) 是分块上三角矩阵(左下角一整块是0)。分块上三角阵的行列式等于两个对角块行列式之积——这正是两组极点能"各算各的"的数学原因。
• 题库 p055 第14题的答案也印证:"(2) 观测器配置不影响状态反馈极点配置""(3) 观测器只用于观测极点,不会改变传递函数""(4) 原输入输出关系不会改变。"——加观测器不改变原系统的输入输出关系。(另:p057 第21题也答"由分离定理可知,原输入输出关系不会改变"。)

【你可能会以为】用估计值 \(\hat x\) 代替真值 \(x\) 做反馈,性能一定会打折。其实在理想模型下(模型准确、无噪声),由于分离定理,闭环的输入输出传递函数与直接用真状态反馈时完全一样,观测器带来的那 \(n\) 个极点在传递函数里被对消掉了(它们是不可控的)。当然,现实中模型有误差,估计误差就真会伤性能——这也是为什么要求观测器"快 2~10 倍"。

五、本讲第九章常考点清单(老师口述,我做了要点转述)

老师在讲完知识点后逐条点了第九章的常见考察方式。以下为要点转述(非老师逐字原话),按他的顺序整理:

1. 状态变量与状态空间的基本概念;传递函数矩阵的实现(由传函反求状态空间);常见规范形式有哪几种;由状态空间求传递函数矩阵;求状态转移矩阵及其性质;线性定常连续状态方程的求解(即运动分析)。
2. 可控性、可观性的判断(常给一个电网络让你建模再判);判据及其应用;可控可观与传递函数的关系(零极点对消)。
3. 非奇异线性变换为什么不改变系统性质(常出证明题);把表达式化成标准型;对偶原理的应用;按可控性/可观性做规范分解成四部分。
4. 用状态反馈配置极点(单输入单输出时即设计 \(K\));输出反馈配置极点(确定 \(H\));全维观测器的设计(降维不考虑——但见 4.3 节的交叉提示:降维观测器的必要性在学长题库 p054 第11题里考过,概念要会说)。
5. 稳定性:李雅普诺夫稳定性的含义;标量函数的定号性;平衡状态如何求解;用李雅普诺夫函数与四条定理判稳;线性定常系统由 \(P\) 求 \(Q\)、由 \(Q\) 验 \(P\),以及 \(A^{T}P+PA=-Q\) 的运用;BIBS、BIBO 稳定性的判据。

再提醒一次:以上是这套课(面向全国考现代控制理论的院校)的通用考点,851 的考纲里没有第九章,请按本讲开头第零节的策略取舍。

六、例题精讲

本节三道题的定位,先说清楚,别被"例题精讲"四个字骗了: - 例题2 是完整可练的真例题:\(A\)、\(C\) 全都有,每一步都能自己动手复算(我也逐步复算过)。要练手就练它。 - 例题1 和 例题3 的原始 \(A,B,C\) 矩阵在字幕里被语音识别打碎、无法还原,所以它们降格为"方法流程演示":看流程怎么走、每步在干什么、结论怎么下,但不能当例题练手,也无法验证中间结论。凡是没有数据支撑的结论,我在下面都明确标了"无数据,不可复算"。 - 你该怎么补:拿胡寿松教材第9章课后题(或任何一本现代控制理论习题集)里的同型题——"给 \(A,B,C\) 求传函/判可控可观/写可控标准型"和"给 \(A,B\) 用状态反馈配极点"各找一道带完整数据和答案的,按下面的流程做一遍。流程是可靠的,缺的只是数据。

例题1(方法流程演示,原始数据缺失,不可当例题练手):状态空间 → 传递函数 → 判可控可观 → 写可控标准型

题目(据字幕转述):已知某单位负反馈系统的状态空间描述(三阶)。(1)求传递函数;(2)判断状态可控性、输出可控性、可观性;(3)求可控标准型。 【存疑·待核】原题的 \(A,B,C\) 具体数字未能从字幕还原(见下方第(1)问的说明),因此本题只演示流程。

第(1)问:由状态空间求传递函数

必背公式: $\(G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\)$ - 这式在说什么:把内部描述"压扁"成外部的输入输出关系。 - 每个符号:\(s\) 是拉氏变换的复变量(【补前置】拉氏变换把微分方程变成代数方程,\(\frac{d}{dt}\to s\),你在第2章学过);\(I\) 是单位阵;\((sI-A)^{-1}\) 是预解矩阵,它承载了系统的全部动态;\(D\) 是直传项,题里 \(D=0\) 就不写。 - 怎么用:先写 \(sI-A\)(用 \(s\) 乘单位阵,再逐项减去 \(A\)),求它的逆,左乘 \(C\)、右乘 \(B\)。 - 为什么它对:对 \(\dot x=Ax+Bu\) 两边取拉氏变换(零初始条件):\(sX(s)=AX(s)+BU(s)\),移项 \((sI-A)X(s)=BU(s)\),得 \(X(s)=(sI-A)^{-1}BU(s)\),再代进 \(Y=CX+DU\) 即得。这个三行推导建议你自己写一遍,比背公式牢。

【补前置】求逆的实用办法(二阶三阶手算通用): $\(M^{-1}=\frac{1}{\det M}\,\mathrm{adj}(M)\)$ - 这式在说什么:先算一个叫"伴随矩阵"的东西,再整体除以行列式,就得到逆。前提是 \(\det M\ne0\)。 - 【补前置】代数余子式 \(A_{ij}\):把 \(M\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列整条划掉,剩下的小矩阵算行列式(三阶划完剩二阶,用 \(ad-bc\)),再乘上符号 \((-1)^{i+j}\)。这个符号按棋盘格排:左上角是 \(+\),然后横竖交替 \(+-+/-+-/+-+\)。 - 【补前置】伴随矩阵 \(\mathrm{adj}(M)\):把所有代数余子式 \(A_{ij}\) 算出来摆成一个矩阵,然后转置——即 \(\mathrm{adj}(M)\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列放的是 \(A_{ji}\)(下标是反的,这个转置最容易忘,忘了结果就全错)。 - 二阶速记(由上面推出来的):\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\)(主对角线对调,副对角线变号)。 - 三阶演示(以求 \(\mathrm{adj}\) 的一个元素为例):对 \(M=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{bmatrix}\),\(A_{11}=(-1)^{1+1}\det\begin{bmatrix}1&4\\6&0\end{bmatrix}=0-24=-24\);\(A_{12}=(-1)^{1+2}\det\begin{bmatrix}0&4\\5&0\end{bmatrix}=-(0-20)=20\)。九个都这么算完、摆好、转置,再除以 \(\det M=1\),就是 \(M^{-1}\)。 - 【难点·并给你一条省力路线】三阶矩阵手算求逆非常费时且极易错(九个代数余子式 + 转置 + 每个元素还带着变量 \(s\))。本讲例题1不建议你走这条路:求 \(C(sI-A)^{-1}B\) 时,更省事的做法是不显式求逆,而是解线性方程组 \((sI-A)X(s)=BU(s)\),或者直接把状态方程做拉氏变换后逐个消元(第2章的老办法)。伴随矩阵法我写在这里是为了让你知道 \((sI-A)^{-1}\) 到底是什么、不是黑箱,但真做题请优先用消元/拉氏变换法。 - 【补前置】预解矩阵:就是 \((sI-A)^{-1}\) 这个东西的专有名字(英文 resolvent)。"预解"是指它是把状态方程"解开"之前的那一步中间产物——你把它做拉氏反变换就得到状态转移矩阵 \(\Phi(t)=e^{At}\)(见例题2)。记住"预解矩阵 = \((sI-A)^{-1}\)"这一句就够了。 - 老师原话也强调:"对于行列式的计算、矩阵的计算要非常熟练地掌握"——这一步是本章计算题最容易翻车的地方。

本题结果(字幕给出): $\(G_B(s)=\frac{5s-1}{s^{3}-4s^{2}+4s}\)$ 【存疑·待核】题目原始的 \(A,B,C\) 具体数字在字幕里被语音识别打碎(听到的是"s-2、-4、-5、0"等零散数字),我无法完整还原矩阵,因此无法独立复算验证这个传递函数。但下面第(3)问用它推出的可控标准型与字幕中老师给的答案自洽,说明这个传函本身在讲课语境下是一致的。要用原始数据请回看 ../02_转录/第21讲_转录.md。

由闭环求开环(单位负反馈): $\(G_B=\frac{G}{1+G}\ \Longrightarrow\ G=\frac{G_B}{1-G_B}=\frac{5s-1}{s^{3}-4s^{2}+4s-(5s-1)}=\frac{5s-1}{s^{3}-4s^{2}-s+1}\)$ - 这一步在说什么:已知闭环传函反求开环传函。做法是把 \(G_B=\frac{G}{1+G}\) 当成关于 \(G\) 的方程解出来(这里用 \(G_B\) 记闭环传函,是为了不和状态转移矩阵 \(\Phi(t)\) 撞名,见 1.4 节)。这一小步我独立验算过,与字幕一致。 - 【补前置】单位负反馈:反馈通道增益为1,即直接把输出减回输入。第2章内容。

第(2)问:三个"可控/可观"的判据,别搞混

• 这些式子在说什么:可控性矩阵一列列地问"输入能把系统推向哪些方向",凑齐 \(n\) 个独立方向就说明哪儿都能推到;可观性矩阵一行行地问"从输出及其各阶变化里能读出哪些方向的信息",凑齐 \(n\) 个就说明内部无死角。
• 符号:\(n\) 是状态维数(几阶系统);\(A^2B\) 表示 \(A\) 自乘两次再乘 \(B\)。
• 为什么只算到 \(A^{n-1}B\) 就够:凯莱-哈密顿定理保证 \(A^{n}\) 可以由 \(I,A,\dots,A^{n-1}\) 线性组合出来,再往后算不会产生新的独立列。这是本章一个被普遍忽略却常被问"为什么"的点。
• 本题字幕给出的结论是:三阶系统,可控性矩阵秩=3(满秩,状态完全可控);可观性矩阵秩=3(完全可观);输出可控性矩阵也满足条件(输出可控)。
• 【存疑·待核·不可复算】这三个"秩=3"是字幕里老师直接报的结论,原始 \(A,B,C\) 没有还原出来,所以既没有中间过程,我也无法复算验证。你不要试图"跟着算"——没有数据可算。 这里唯一该带走的是流程:写出上表那三个判别矩阵 → 求秩 → 和 \(n\)(或输出个数 \(m\))比。练手请用教材上带完整数据的同型题。

【难点】状态可控 ≠ 输出可控。前者说的是"能不能把内部状态推到任意位置",后者说的是"能不能让输出取到任意值"。两者互相不能推出对方,考试会故意放在一起考。

第(3)问:可控标准型

若传递函数为 $\(G(s)=\frac{b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_1 s+b_0}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0}\)$ 则可控标准型为 $\(A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-a_0&-a_1&-a_2\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix},\quad C=[\,b_0\ \ b_1\ \ b_2\,]\)$ - 这组式在说什么:任何一个传递函数,都能直接照抄系数写出一个状态空间表达式,不用做任何推导。 - 每个符号:\(a_i\) 是分母(特征多项式)各次幂的系数,\(b_i\) 是分子各次幂的系数,都按从常数项开始、次数由低到高排。 - 怎么用(记忆口诀):\(A\) 上面几行是"错位的1"(第1行的1在第2列,第2行的1在第3列),最后一行是分母系数从常数项起、由低次到高次、全部取相反数;\(B\) 是"只有最后一个是1,其余全0";\(C\) 是分子系数从常数项起由低到高照抄(不取反)。

本题:分母 \(s^3-4s^2+4s+0\),故 \(a_0=0,\ a_1=4,\ a_2=-4\),取相反数得最后一行 \([\,0\ \ -4\ \ \ 4\,]\);分子 \(5s-1\),即 \(b_0=-1,\ b_1=5,\ b_2=0\),故 \(C=[-1\ \ 5\ \ 0]\)。 这一段我独立复算过,与字幕中老师给的"0、-4、4"和"-1、5、0"完全一致。

最终写成 \(\dot x=Ax+Bu,\ y=Cx\) 即可。

例题2:状态转移矩阵 + 秩判据反用 + 对偶 + 李雅普诺夫第二法

题目:已知 \(A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\)(由字幕中特征方程与后续计算反推确认),\(C=[1\ \ a]\)。(1)求状态转移矩阵;(2)欲使系统可观,\(a\) 取何值;(3)求可观标准型;(4)用李雅普诺夫第二法判稳。

第(1)问:状态转移矩阵 \(\Phi(t)=e^{At}\)

【补前置】什么是状态转移矩阵:它是一个"时间机器"矩阵,把 \(t=0\) 时刻的状态搬到 \(t\) 时刻:\(x(t)=\Phi(t)x(0)\)(无输入时)。记号 \(e^{At}\) 是矩阵的指数函数,定义为级数 \(I+At+\frac{1}{2!}A^2t^2+\cdots\),和你熟悉的 \(e^{at}=1+at+\cdots\) 是同一个套路,只是把数换成了矩阵。

三种求法:幂级数法、拉氏变换法(\(\Phi(t)=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]\))、凯莱-哈密顿法。老师这里特意演示了最不常用的第三种。

凯莱-哈密顿法原理:该定理说"矩阵满足自己的特征方程",推论是 \(A\) 的任意高次幂都能用 \(I,A,\dots,A^{n-1}\) 表示,于是对 \(n=2\): $\(e^{At}=\alpha_0 I+\alpha_1 A\)$ - 这式在说什么:那个吓人的无穷级数,其实能被压缩成"单位阵和 \(A\) 的一个加权和",权重 \(\alpha_0,\alpha_1\) 是时间的函数。 - 符号:\(\alpha_0(t),\alpha_1(t)\) 是待定的两个时间函数(不是常数)。\(n=3\) 时要多加一项 \(\alpha_2A^2\)。 - 怎么定 \(\alpha\):同样的关系对每个特征值也成立(把矩阵换成标量特征值):\(e^{\lambda_i t}=\alpha_0+\alpha_1\lambda_i\)。有几个特征值就有几个方程,正好解出所有 \(\alpha\)。

本题过程(我已独立复算,全部与字幕一致):

特征方程: $\(f(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\det\begin{bmatrix}\lambda&-1\\2&\lambda+3\end{bmatrix}=\lambda(\lambda+3)+2=\lambda^{2}+3\lambda+2=(\lambda+1)(\lambda+2)\)$ 故 \(\lambda_1=-1,\ \lambda_2=-2\)。

列方程: $\(e^{-t}=\alpha_0-\alpha_1,\qquad e^{-2t}=\alpha_0-2\alpha_1\)$ 两式相减得 \(\alpha_1=e^{-t}-e^{-2t}\);回代得 \(\alpha_0=2e^{-t}-e^{-2t}\)。

代回: $\(\Phi(t)=\alpha_0 I+\alpha_1 A=\begin{bmatrix}2e^{-t}-e^{-2t}&e^{-t}-e^{-2t}\\-2e^{-t}+2e^{-2t}&-e^{-t}+2e^{-2t}\end{bmatrix}\)$ 自检小技巧:令 \(t=0\),应当得到单位阵 \(I\)。代入:左上 \(2-1=1\),右上 \(1-1=0\),左下 \(-2+2=0\),右下 \(-1+2=1\) ✓。考场上花五秒做这个检验,能救回一整道题。

第(2)问:秩判据的反用(这是本题最有考试价值的一问)

可观性矩阵: $\(V=\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&a\\-2a&1-3a\end{bmatrix}\)$ (第二行由 \(CA=[1\ \ a]\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}=[\,0-2a,\ \ 1-3a\,]\) 得到,我已复算,与字幕一致)

二阶方阵满秩 \(\Leftrightarrow\) 行列式 \(\ne 0\): $\(\det V=1\cdot(1-3a)-a\cdot(-2a)=2a^{2}-3a+1=(2a-1)(a-1)\)$ 令其 \(\ne0\),得 \(a\ne 1\) 且 \(a\ne \frac{1}{2}\) 时系统可观。与字幕中老师的答案一致。

【难点】正向题是"给数字判可控可观",反向题是"给条件求参数取值范围",本质是同一个判据。 - 难在哪:很多同学会习惯性地"令行列式=0",结果把答案写反。 - 正确做法:先解出让它退化(=0)的那些坏点,再排除掉。 想让系统可观,就是要避开这些点。 - 这一类"反用判据"在考试里比正向判定更常见,因为更能区分是否真懂。

第(3)问:用对偶原理写可观标准型

观察给的表达式发现它已经是可控标准型(\(A\) 上面是错位的1、最后一行是系数)。于是用对偶: $\(A_{o}=A_{c}^{T},\qquad B_{o}=C_{c}^{T},\qquad C_{o}=B_{c}^{T}\)$ 即:A 转置,B 和 C 交换并转置。 本题 \(A_o=\begin{bmatrix}0&-2\\1&-3\end{bmatrix}\)。 【存疑·待核】字幕在念第(3)问的结果时,矩阵数字被语音识别打乱(听到的 "01负二负3" 与转置后的结果对不上,且原题的 \(B\) 未念清),我无法确认老师念出的具体答案。上面写的转换规则是通行且可自证的,请以规则为准,原始说法见 ../02_转录/第21讲_转录.md。

第(4)问:李雅普诺夫第二法(完整示范,重点看这问)

第一步,求平衡状态。 由状态方程: $\(\dot x_1=x_2,\qquad \dot x_2=-2x_1-3x_2\)$ 令两者都为0:由第一式 \(x_2=0\),代入第二式得 \(x_1=0\)。平衡状态唯一,在坐标原点。

第二步,选李雅普诺夫函数。 取 $\(V(x)=2x_1^{2}+x_2^{2}\)$ - 它是正定的(两项都是平方且系数为正,只有原点处为0)。 - 老师强调:选它没有唯一理由,选别的也行,不合适再换,这里有经验成分。

第三步,求导。 $\(\dot V=4x_1\dot x_1+2x_2\dot x_2\)$ 【补前置】这一步用的是链式法则:\(V\) 里含 \(x_1^2\),对时间求导得 \(2\cdot 2x_1\cdot\dot x_1\);含 \(x_2^2\) 得 \(2x_2\dot x_2\)。注意必须乘上 \(\dot x\),这是最容易漏的一步。

把状态方程代进去: $\(\dot V=4x_1x_2+2x_2(-2x_1-3x_2)=4x_1x_2-4x_1x_2-6x_2^{2}=-6x_2^{2}\)$ 我已独立复算,与字幕一致。

第四步,判定。 \(\dot V=-6x_2^2\le 0\),但当 \(x_2=0\) 而 \(x_1\ne0\) 时 \(\dot V=0\),所以 \(\dot V\) 是负半定,不是负定。 → 按四条定理,先得到"至少是李雅普诺夫意义下稳定"。

再往下判渐近稳定,要问:\(\dot V\) 在非零状态处会不会恒为0(注意"某一瞬间为0"和"一直为0"完全不同)? - 假设在 \(t>t_0\) 的一整段时间里 \(x_2\equiv 0\)(恒为0),那么 \(\dot x_2\) 也必须恒为0。 - 但 \(\dot x_2=-2x_1-3x_2\),要它恒为0且 \(x_2\equiv0\),就必须 \(x_1\equiv 0\)。 - 于是 \(x_1=x_2=0\),已经是原点(平衡态)了。也就是说,在非零状态下 \(\dot V\) 不可能恒为0,轨迹只能"路过" \(\dot V=0\) 那条线,不能赖在上面不走。 - 【补前置】上面括号里常说的"等能量曲线":把 \(V(x)=\) 某个固定常数(比如 \(V=1\))的所有状态点连起来得到的一条曲线。本题 \(V=2x_1^2+x_2^2\),所以它们是一圈圈套在一起的椭圆(能量越大椭圆越大),就像地图上的等高线。系统的运动轨迹在这张"能量地图"上跑:\(\dot V<0\) 表示它正在从大椭圆穿向小椭圆(能量在掉);\(\dot V=0\) 表示这一瞬间它没有穿过任何一圈,而是沿着某一圈椭圆的切线方向走——这就是"相切"的意思(两条线在该点方向相同、擦肩而过)。相切只是一瞬,下一瞬又继续往里穿,所以能量照样一路掉到底。 - 再加上 \(\|x\|\to\infty\) 时 \(V=2x_1^2+x_2^2\to\infty\)(径向无界成立)。 → 命中四条定理的情形2,结论:系统在原点是大范围渐近稳定的。

【难点·这是全讲最需要嚼的一段】"不恒为0"的论证方法。 - 难在哪:学生看到 \(\dot V=0\) 就慌,以为完了,不能判渐近稳定。 - 为什么难:它要求你做一个"反证式"的连锁推理——假设它赖着不走,推出它只能是原点。 - 正确理解:\(\dot V=0\) 只是"这一瞬间能量没掉",只要系统不能在那儿停住,能量就会继续掉下去。判断标准不是"能不能等于0",而是"能不能一直等于0"。 - 这个推理套路(设 \(\dot V\equiv0\) → 代回状态方程 → 推出只能是原点)是固定招式,遇到 \(\dot V\) 负半定就照搬。

例题3(方法流程演示,原始数据缺失,不可当例题练手):用状态反馈配置极点(注意是正反馈)

题目(据字幕转述):给定三阶系统,(1)判其可控性、可观性;(2)采用正反馈的状态反馈 \(u=v+Kx\),\(K=[k_1\ k_2\ k_3]\),把闭环极点配置到 \(-1,-2,-2\),求 \(K\)。

第(1)问要点(这一问的教学价值大于计算): 【存疑·待核·不可复算】以下三条全部是字幕里老师直接报的结论,原题 \(A,B\) 的数字被语音识别打碎(见本题末尾),我无法还原矩阵、也无法复算验证,你同样无法跟算。请只看"结论是怎么用的",别把数字当标准答案。 - 可控性矩阵 \([B\ AB\ A^2B]\) 的秩 = 2 < 3,状态不完全可控。 - 老师称由状态方程可看出 \(\dot x_2=-x_2\)——若如此,这个状态完全不受 \(u\) 影响,对应极点 \(-1\),那么 \(-1\) 这个极点是配置不动的。(这一句在缺失原矩阵的情况下无法核对,但它承载的道理是通用且正确的,见下面的【难点】。) - 可观性矩阵秩 = 3 = \(n\),完全可观。(字幕里老师先口误说"是2",随即当场纠正为"算出来是3"。转录原文见 ../02_转录/第21讲_转录.md,这里按他的更正结论写。)

【难点】既然不完全可控,为什么这题还能做? 因为不可控的那个极点 \(-1\) 本身就在左半平面(稳定),而期望极点里也正好含 \(-1\)——目标与现实不冲突。这就是 4.2 节说的"能稳":不完全可控的系统,只要不可控部分自身稳定,仍可镇定。如果题目要你把 \(-1\) 配到 \(-5\),那就无解——这是出题人最爱设的陷阱。

第(2)问方法(这套流程务必掌握): 1. 正反馈,\(u=v+Kx\),故闭环状态矩阵是 \(A+BK\)(不是 \(A-BK\),符号别抄错)。 2. 写实际特征多项式 \(\det\!\big(sI-(A+BK)\big)\),它的系数里含 \(k_1,k_2,k_3\)。 3. 写期望特征多项式:极点 \(-1,-2,-2\) → $\((s+1)(s+2)^{2}=s^{3}+5s^{2}+8s+4\)$ (我已展开验算 ✓) 4. 两个多项式同次幂系数一一对应相等,解方程组得 \(K\)。

字幕给出的实际特征多项式与方程组为: $\(s^{3}-(k_1+k_3+2)s^{2}+(k_1-1)s+(2k_1+k_3+2)\)$ $\(-(k_1+k_3+2)=5,\qquad k_1-1=8,\qquad 2k_1+k_3+2=4\)$ 解得 \(k_1=9,\ k_3=-16\),而 \(k_2\) 在各系数中根本不出现(说明 \(k_2\) 取任何值都不影响极点,老师取 \(k_2=0\))。故 \(K=[\,9\ \ 0\ \ -16\,]\)。 这三个方程互相自洽(我代入验算:\(9-16=-7\),\(-(-7+2)=5\) ✓;\(2\times9-16+2=4\) ✓)。 【存疑·待核】但原题的 \(A,B\) 具体数字在字幕里被语音识别打碎(听到 "110 / 零负10 / 120" 和 \(b=[1\ 0\ 1]^{T}\)),我按这组数字独立复算 \(\det(sI-A-BK)\),得不到上面那个特征多项式。所以:上述方法与流程可靠(且三个方程内部自洽),但矩阵原始数字很可能被字幕识别错了,请以你手上的教材原题为准,不要把这组具体数字当标准答案背。

一个值得知道的技巧(老师提到的"略去乘积项"): 对单输入系统,\(\det(sI-A-BK)\) 的各次幂系数一定是 \(k_1,k_2,\dots,k_n\) 的一次(线性)函数,不会出现 \(k_1k_3\) 这类乘积项。所以手算行列式时若冒出乘积项,必是它们会互相抵消,可以直接略去。 - 为什么成立:\(BK\) 是秩为1的矩阵(一列乘一行),行列式对秩1修正的展开只会产生一次项。严格写法是 \(\det(sI-A-BK)=\det(sI-A)\big[1-K(sI-A)^{-1}B\big]\),方括号里对 \(K\) 明显是线性的。 - 【存疑·待核】"可略去乘积项"是老师口述的计算经验,我上面给的理由是我自己补的数学解释(基于矩阵行列式引理,可自证),不是老师原话。零基础不必掌握推导,记住"出现乘积项就是算错了或会抵消"这个自检信号即可。

七、这一讲的骨架(真正要带走的东西)

1. 非奇异线性变换只换坐标不换事实:特征值、传递函数、可控性、可观性、稳定性全都不变;变换的价值在于把系统化成标准型,让结构一眼可见。
2. 对偶原理:\((A,B,C)\) 与 \((A^T,C^T,B^T)\) 互为对偶,可控↔可观互换。用它可以由可控标准型直接写出可观标准型。
3. 李雅普诺夫稳定 ≠ 渐近稳定:前者只保证"跑不远",后者才保证"回得来";"一致"管起始时刻,"大范围"管起始位置。
4. 第一法看特征值(=回到经典理论的极点判据);第二法看能量函数 \(V\):正定的 \(V\) 配上负定的 \(\dot V\) 就渐近稳定;\(\dot V\) 负半定时,还得追问"在非零状态下会不会恒为0"。
5. 李雅普诺夫方程 \(A^{T}P+PA=-Q\):给定正定的 \(Q\),存在唯一正定对称解 \(P\) ⟺ 渐近稳定。常取 \(Q=I\) 解 \(P\)。
6. 状态反馈任意配极点 ⟺ 系统完全可控;它不改变可控性,可能破坏可观性(因为它挪极点却不动零点)。输出反馈到状态微分配极点 ⟺ 完全可观。
7. 不可控的极点挪不动;若不可控部分本身稳定,系统仍"能稳"。
8. 观测器用可测的 \(u,y\) 重构不可测的 \(x\),设计 \(G\) 即给误差系统 \(\dot e=(A+GC)e\) 配极点,要求比反馈回路快 2~10 倍。
9. 分离定理:系统可控且可观时,\(K\) 和 \(G\) 可分头独立设计,加观测器不改变原有输入输出关系。
10. BIBO 稳定不一定 BIBS 稳定——外部看不见的内部状态可能正在发散。渐近稳定则两者都满足。

八、自测(戳穿假懂版)

1. 有人说:"我把系统做了个非奇异线性变换,发现 \(A\) 矩阵完全变了,所以系统的极点也变了。" 他哪里错了?请用一行数学式说明极点为什么不变。

   要点:\(\det(\lambda I-P^{-1}AP)=\det(P^{-1})\det(\lambda I-A)\det(P)=\det(\lambda I-A)\),特征多项式不变。答不出说明你只背了"不变",没理解相似变换。

2. 理想无摩擦单摆被推了一下,一直等幅摆动。它是李雅普诺夫稳定吗?渐近稳定吗?为什么?

   要点:是李雅普诺夫稳定(幅值有界、跑不远),不是渐近稳定(能量不衰减,永远回不到平衡点)。答"不稳定"或"渐近稳定"都说明 3.2 节那条错误直觉还在。

3. 某二阶系统算得 \(\dot V=-4x_1^2\)。请判断:这是负定还是负半定?能否直接下"渐近稳定"的结论?若不能,你接下来该做什么?

   要点:负半定(当 \(x_1=0,x_2\ne0\) 时为0)。不能直接下结论。接下来:假设 \(x_1\equiv0\) 代回状态方程,看是否推出 \(x_2\) 也必须为0;若是,则非零状态下 \(\dot V\) 不恒为0,可判大范围渐近稳定(还需 \(V\) 径向无界)。答不出这套追问流程,例题2第(4)问就是白看了。

4. 一个三阶系统,可控性矩阵秩为2,其中不可控的那个极点在 \(s=+3\)。现在要求用状态反馈把三个极点都配到左半平面,能做到吗?为什么?

   要点:做不到。不可控的极点状态反馈动不了,而 \(+3\) 在右半平面,系统连"能稳"都做不到。答"能,只要设计合适的K"说明你还没理解"可控"是极点配置的物理前提。

5. 有人做完题说:"这个系统 BIBO 稳定,所以我可以放心用了。" 请给出一个反驳理由。

   要点:BIBO 只保证输出有界,内部可能存在不可控或不可观的发散状态(在传递函数里被零极点对消掉了),从输出上看不出来。渐近稳定才两者都保证。

6. 为什么状态反馈"不改变可控性"却"可能改变可观性"?请说出机理,不要只说结论。

   要点:反馈只是改写 \(u\) 的算法,控制通道能到达的方向没变,故可控性不变;但它移动极点却不改变零点,新极点可能与原零点对消,使某个模态在输出中消失,故可观性可能被破坏。

7. 设计带观测器的状态反馈时,为什么要让观测器比反馈回路快 2~10 倍?为什么这两部分可以分开设计?

   要点:反馈用的是估计值,估计没追上真值时反馈就是拿错信息做决策,所以"看清"必须远快于"动作";可分开设计的依据是分离定理(系统可控且可观时,闭环极点是 \(A-BK\) 与 \(A+GC\) 两组特征值的并集,互不干扰)。

8. 已知 \(C=[1\ \ a]\),\(A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\),请自己动手写出可观性矩阵并求出使系统不可观的 \(a\) 值。

   要点:\(V=\begin{bmatrix}1&a\\-2a&1-3a\end{bmatrix}\),\(\det V=2a^2-3a+1=(2a-1)(a-1)\),故 \(a=1\) 或 \(a=1/2\) 时不可观。注意本题问的是"不可观",与例题2问的"可观"正好互补——看你有没有真读题。

九、知识地图

向前串(这一讲踩在什么之上) - 第2章 拉氏变换与传递函数 → 本讲的 \(G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\) 就是从状态方程做拉氏变换来的;由传函写可控标准型,是"传函 ↔ 状态空间"的双向翻译。 - 第3章 稳定性与极点位置 → 李雅普诺夫第一法说"特征值全在左半平面才渐近稳定",与劳斯判据是同一个结论的两种说法。 - 第4章 根轨迹的"极点决定性能" → 本讲的极点配置是主动把极点放到指定位置,比根轨迹"沿着轨迹挑一个"更强硬(代价是要求系统可控、且要能测到状态)。 - 第6章 校正 → 校正是在传递函数层面串一个装置改性能;状态反馈是在状态层面直接改 \(A\)。目的相同,手段不同层次。 - 第20讲(第9章上半) → 状态空间表达式的建立、可控性/可观性判据、状态转移矩阵,是本讲的直接前置。

横向串(本讲内部怎么连成一张网) - 可控性 —(决定)→ 状态反馈能否任意配置极点 - 可观性 —(决定)→ 观测器能否设计 / 输出反馈能否配置极点 - 可控性 ↔ 可观性:由对偶原理互相翻译,所以上面两条其实是同一条定理的两面 - 可控可观 —(决定)→ 传递函数有没有零极点对消 —(决定)→ BIBO 与 BIBS 是否等价 - 可控 + 可观 —(前提)→ 分离定理 → \(K\) 与 \(G\) 分头设计 - 稳定性:第一法(看特征值,连回经典理论)与第二法(看能量,可推广到非线性)是两条并行的路

向后串(往哪儿去) - 这是全套21讲的最后一讲,课程到此结束。 - 现代控制理论继续往前走就是:最优控制(LQR:用二次型指标自动算出最好的 \(K\))、卡尔曼滤波(带噪声情况下的最优观测器,本质是"会调增益的观测器")、非线性控制(李雅普诺夫第二法在那里才真正大显身手,因为它不要求系统线性)。 - 对851考生:本章的收益点在简答与选择填空,建议把第七节"骨架"里的10条能用嘴说清楚,就已经拿到这一章的绝大部分性价比;矩阵手算不建议再投入时间,把时间还给时域、根轨迹、频域、校正、离散、非线性这六大块和25年新增的电路分析。