题海 · 题海 · p.250
图 5-15 系统开环幅相特性曲线(MATLAB)
5-13 已知振荡环节的传递函数
\[G(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\]
试求：(1) 在交接频率处，对数幅频特性曲线与其渐近特性曲线的差值，并由此求阻尼比 \(\zeta\)；(2) \(\omega=2\omega_n\) 处，对数幅频特性曲线与其渐近特性曲线的差值。
解 将振荡环节的传递函数化为典型环节形式，得
\[G(s)=\dfrac{1}{s^2/\omega_n^2+2\zeta s/\omega_n+1}\]
故其频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\dfrac{1}{(1-\omega^2/\omega_n^2)^2+\mathrm{j}2\zeta\omega/\omega_n}\]
其对数幅频特性为
\[L(\omega)=20\lg|G(\mathrm{j}\omega)|=-10\lg[(1-\omega^2/\omega_n^2)^2+(2\zeta\omega/\omega_n)^2]\]
\[L_a(\omega)=\begin{cases}0, & \omega\leqslant\omega_n \\ -40\lg(\omega/\omega_n), & \omega>\omega_n\end{cases}\]
(1) 当 \(\omega=\omega_n\) 时，\(L(\omega_n)=-20\lg2\zeta\)。
由振荡环节的对数幅频渐近特性曲线可知
\[L_a(\omega_n)=0\]
故差值为 \(\Delta L(\omega_n)=L(\omega_n)-L_a(\omega_n)=-20\lg2\zeta\)
由上式可得
\[\zeta=\dfrac{1}{2}\times10^{-\frac{1}{20}L(\omega_n)}\]
(2) 当 \(\omega=2\omega_n\) 时，\(L(2\omega_n)=-10\lg(9+16\zeta^2)\)。
由振荡环节的对数幅频渐近特性曲线可知
\[L_a(2\omega_n)=-40\lg2\]
则差值为
\[\Delta L(2\omega_n)=L(2\omega_n)-L_a(2\omega_n)=-10\lg(9+16\zeta^2)+40\lg2\]
5-14 试分别作出下列三个传递函数的幅相特性曲线和对数频率特性曲线（\(T_1>T_2>0\)）：
(1) \(G(s)=\dfrac{T_1s+1}{T_2s+1}\)； (2) \(G(s)=\dfrac{T_1s-1}{T_2s+1}\)； (3) \(G(s)=\dfrac{-T_1s+1}{T_2s+1}\)。
解 (1) 系统(1)的频率特性为
\[G(\mathrm{j}\omega)=\dfrac{1+\mathrm{j}T_1\omega}{1+\mathrm{j}T_2\omega}=\dfrac{1+T_1T_2\omega^2}{1+T_2^2\omega^2}+\mathrm{j}\dfrac{(T_1-T_2)\omega}{1+T_2^2\omega^2}\]
开环幅相特性曲线的起点：\(G(\mathrm{j}0_+)=1\)；终点：\(G(\mathrm{j}\infty)=T_1/T_2\)。显然
\[\left\{\mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega)]-\dfrac{T_1+T_2}{2T_2}\right\}^2+\{\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega)]\}^2=\left(\dfrac{T_1-T_2}{2T_2}\right)^2\]
开环幅相特性曲线为圆心在 \(\left(\dfrac{T_1+T_2}{2T_2},\mathrm{j}0\right)\)，半径为 \(\dfrac{T_1-T_2}{2T_2}\) 的圆，且在第Ⅰ象限内变化，如
· 244 ·