题海 · 题海 · p.247

5-11

概略绘制下列开环传递函数的概略幅相特性曲线：

(1) \(G(s)=\dfrac{K}{s(16s^2+6.4s+1)}\)；

(2) \(G(s)=\dfrac{Ks^3}{(s+0.31)(s+5.06)(s+0.64)}\)；

(3) \(G(s)=\dfrac{K(s+1)}{s(s^2+8s+100)}\)；

(4) \(G(s)=\dfrac{K(\tau_1 s+1)(\tau_2 s+1)}{s^3}\)，\(\tau_1,\tau_2>0\)；

(5) \(G(s)=\dfrac{K}{s(Ts-1)}\)，\(T>0\)；

(6) \(G(s)=\dfrac{K(1+s)}{s^2}\)。

解

(1) 系统(1)的频率特性为

\[G(j\omega)=\dfrac{K}{j\omega(-16\omega^2+j6.4\omega+1)}\]

\[=-\dfrac{6.4K}{(1-16\omega^2)^2+(6.4\omega)^2}-j\dfrac{(1-16\omega^2)K}{\omega[(1-16\omega^2)^2+(6.4\omega)^2]}\]

开环幅相特性曲线的起点：\(G(j0_+)=-6.4K-j\infty\)；终点：\(G(j\infty)=0\)。

与实轴的交点：令 \(\mathrm{Im}[G(j\omega)]=0\)，解得

\[\omega_x=0.25，\quad G(j\omega_x)=\mathrm{Re}[G(j\omega)]=-2.5K\]

其中，\(\omega_x\) 为 \(G(j\omega)\) 与实轴交点处的频率。概略开环幅相特性曲线在第Ⅱ和第Ⅲ象限间变化，如图5-14(a)所示。

(2) 系统(2)的频率特性为

\[G(j\omega)=\dfrac{-j\omega^3K}{(j\omega+0.31)(j\omega+5.06)(j\omega+0.64)}\]

\[=\dfrac{K\omega^4(\omega^2-5)}{(1-6\omega^2)^2+\omega^2(5-\omega^2)^2}-j\dfrac{K\omega^3(1-6\omega^2)}{(1-6\omega^2)^2+\omega^2(5-\omega^2)^2}\]

开环幅相特性曲线的起点：\(G(j0_+)=0\)；终点：\(G(j\infty)=K\)。

与实轴的交点：令 \(\mathrm{Im}[G(j\omega)]=0\)，解得

\[\omega_x=0.41，\quad G(j\omega_x)=\mathrm{Re}[G(j\omega)]=-0.035K\]

其中，\(\omega_x\) 为 \(G(j\omega)\) 与实轴交点处的频率。

与虚轴的交点：令 \(\mathrm{Re}[G(j\omega)]=0\)，解得

\[\omega_y=2.24，\quad G(j\omega_y)=\mathrm{Im}[G(j\omega)]=0.067K\]

其中，\(\omega_y\) 为 \(G(j\omega)\) 与负虚轴交点处的频率。概略开环幅相特性曲线在第Ⅰ、第Ⅱ和第Ⅲ象限间变化，如图5-14(b)所示。

(3) 系统(3)的频率特性为

\[G(j\omega)=\dfrac{K(j\omega+1)}{j\omega(100+j8\omega-\omega^2)}\]

\[=\dfrac{K(92-\omega^2)}{(100-\omega^2)^2+64\omega^2}-j\dfrac{K(100+7\omega^2)}{\omega[(100-\omega^2)^2+64\omega^2]}\]

开环幅相特性曲线的起点：\(G(j0_+)=0.0092K-j\infty\)；终点 \(G(j\infty)=0\)。

与虚轴的交点：令 \(\mathrm{Re}[G(j\omega)]=0\)，解得

\[\omega_y=9.59，\quad G(j\omega_y)=\mathrm{Im}[G(j\omega)]=-0.013K\]

其中 \(\omega_y\) 为 \(G(j\omega)\) 与负虚轴交点处的频率。概略开环幅相特性曲线在第Ⅲ和第Ⅳ象限间变化，如图5-14(c)所示。

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