题型模块（练做题）

题型④:频域分析(奈奎斯特判稳 + Bode 图求裕度)

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写在最前面

你已经做出了三类题:求传递函数、时域分析、根轨迹。这一个模块,我们进第 5 章——频域分析。

先给你打个预防针,也给你吃颗定心丸:

预防针:第 5 章是整门课里"换了个世界观"的一章。前四章你一直在看"输入一个阶跃,输出怎么随时间跑";这一章突然改成"输入正弦波,看输出的大小和快慢怎么变"。这个转弯是第 5 章最大的坎,大部分人卡的不是计算,是"这到底在干嘛"。我会用一整节从零把这个坎讲平。
定心丸:一旦转过这个弯,这类大题的动手部分是全书最套路化的之一——五步走,每步都是死流程。考点分析里学长的原话是"这种题出的比较基础,也是按套路做题"(来源见文件顶部)。

目标一句话:这个模块走完,下面那道 20 分的大题,你自己拿笔能写出来。

篇幅长,是因为频域的名词特别多(幅频、相频、分贝、对数坐标、奈氏图、包围、穿越、裕度……),我一个都不打算让它裸奔。真正的解题动作只有五步。

1. 先看目标:今天要拿下的这道题

北方工业大学《控制理论基础》阶段考试卷(2) 二、(20分): 已知线性系统开环传递函数为 $$G(s)=\frac{4}{s(s+1)^2}$$ (1) 绘制系统的开环幅相曲线,计算并标注与坐标轴相交点的值; (2) 根据绘制的 Nyquist 曲线,判断该反馈控制系统的稳定性。注意增补曲线的绘制。

关于这道题的来源,我要说实话(免得你把它当成考研真题去记):

它来自学校的阶段考试卷(期末性质),不是北方工业大学 851 考研真题的原题。文件路径见本文顶部。
我为什么挑它:因为它题干是纯文字——给你一个传递函数,图要你自己画。频域这类题很多是"给你一张图,从图上读参数",而我们手上的真题扫描件里,那些图在转成文字的过程中大量丢失了。挑纯文字题,能保证你看到的题是完整的、能真做的。
它和考研真题是不是一路货?是。考点分析里白纸黑字写着 851 的常考大题包含"频域分析:已知开环传递函数绘制 bode/Nyquist 图,判断稳定性"(来源见顶部)。2025 年考研第六大题就是同一个套路,只不过把数字换成了抽象字母(那道题原文在 ../01_结构化/真题/北方工业大学真题__北方工业大学2025年真题-BUFF控制考研_扫描版_p004.md,是"单位负反馈开环传函 $G(s)=\dfrac{k(\tau s+1)}{s^2(Ts+1)}$,画出 Nyquist 曲线图,用奈氏判据判稳")。先用数字版把套路练熟,抽象版只是把数字换成字母,我在最后一节会点破它多出来的那一层难点。

现在你可能连"幅相曲线"四个字都不认识。正常。看完第 3、4 节回头再看这道题,它会变小。

2. 这类题到底在考什么(一句话)

给你一个开环传递函数,让你画出它的奈奎斯特曲线(幅相曲线),然后判断闭环系统稳不稳定。

这里有四个词你八成还不认识,先各给一句大白话(后面第 3 节再展开):

开环传递函数:信号从输入走一圈到反馈回来、但还没接上那个减号时,整条通路的传递函数,常记作 $G(s)H(s)$ 或 $G(s)$。你可以想成"把反馈线剪断,量一量这条链子的加工配方"。
闭环系统:把反馈线接回去、真正在工作的那个系统。我们真正关心稳不稳的是闭环。
奈奎斯特曲线 / 幅相曲线 / 极坐标图 / Nyquist 图:这四个词在考研里指的是同一个东西(不同教材叫法不同,别被吓到)。它是一条画在平面上的曲线,第 3 节会讲清它每个点是什么意思。
判稳:回答"闭环系统稳定还是不稳定"。稳定的意思在第 3 章你已经见过——受到扰动后能自己回到平衡,而不是越晃越大。

【你可能会以为】 第 3 章已经有劳斯判据能判稳、第 4 章根轨迹也能判稳,为什么还要再学一个奈氏判据? 但其实,它们的适用场合和"附赠品"不一样,因为: ① 奈氏判据只需要开环的东西(开环传递函数,甚至只需要一张实验测出来的曲线),不需要去解闭环特征方程的根。工程上系统的数学模型常常不精确,但频率特性可以拿仪器实测出来——给设备输入不同频率的正弦波,量输出,曲线就有了。这是频域法最大的实用价值(PPT《第5章频域分析h-1》开篇讲的第一条优点就是"频率特性具有明确的物理意义,可以用实验的方法……",此处为大白话转述,非逐字)。 ② 劳斯判据只回答"稳/不稳"这个是非题;奈氏判据顺带能告诉你"离不稳还有多远"(就是本模块副线要讲的相角裕度、幅值裕度)。这个"还有多远"是第 6 章校正设计的地基。 ③ 含延迟环节 $e^{-\tau s}$ 这类系统,劳斯判据根本用不了(它不是多项式),奈氏判据照用不误。

3. 最小基础:只补做这道题真正用得上的东西

第 5 章还有一大堆内容(典型环节的频率特性、Bode 图详细画法、闭环频率特性、谐振峰值、带宽……)。做这道题用不到那些,这一节我一个都不补,用到哪补哪。(这不是"略掉了不重要的",而是这道题确实不需要;Bode 图那一块我在第 7 节副线里会补它需要的最小量。)

3.1 最大的坎:频域分析到底在干嘛

这一小节不讲公式,只讲"世界观"。这是全章最该慢慢看的地方。

前四章你研究系统的方式是:给它一个信号(阶跃、脉冲),看输出随时间怎么跑。 这叫时域分析——"域"就是"看问题的场地","时域"就是"在时间这条轴上看"。

频域分析换了个玩法:我给系统输入一个正弦波,而且是各种不同频率的正弦波,一个一个试过去,看输出变成什么样。

【补课】正弦波是什么、频率是什么 正弦波就是 $r(t)=A\sin(\omega t)$ 这种上下来回均匀摆动的信号(把它想成秋千、心电图那种规则波浪)。 - $A$:幅值,波浪的高度(摆多大)。 - $\omega$(读作"欧米伽"):角频率,单位是 rad/s(弧度每秒),表示摆得多快。$\omega$ 大 = 抖得快 = 高频;$\omega$ 小 = 晃得慢 = 低频。 - $t$:时间。你完全不用会推正弦的性质,只要接受"正弦波有两个特征:多高(幅值)、多快(频率)"就够了。

对线性定常系统(就是我们这门课研究的这种系统:线性 = 输入放大 2 倍输出也放大 2 倍;定常 = 系统本身的参数不随时间变),有一条极其漂亮的事实:

\[\boxed{\text{输入一个正弦波} \Longrightarrow \text{稳态时输出还是同频率的正弦波,只是"高度"变了、"时间上错开了"}}\]

【补课】"稳态":刚给信号的头一段时间,输出会乱晃一阵(叫暂态),晃过去之后进入的那个稳定重复的状态,叫稳态。这里说的输出,指的是晃过去以后的那段。

也就是说,输入 $A\sin(\omega t)$,稳态输出长这样:

\[c(t)=A\cdot A(\omega)\cdot\sin\big(\omega t+\varphi(\omega)\big)\]

频率没变:还是 $\omega$。系统改不了频率,这是线性系统的特权。
高度变了:乘上了一个倍数 $A(\omega)$。这个倍数叫 幅频特性——"输出幅值 ÷ 输入幅值"。它是 $\omega$ 的函数,意思是频率不同,放大倍数不同。
时间上错开了:多了一个 $\varphi(\omega)$(读作"斐"),叫 相频特性——输出比输入超前或滞后了多少角度。也是 $\omega$ 的函数。$\varphi<0$ 表示输出落后于输入(最常见),$\varphi>0$ 表示超前。

用生活例子把这两个量坐实:想象你推秋千。

你慢慢地来回推(低频),秋千跟得上你,幅度大,而且几乎跟你同步 → $A(\omega)$ 大、$\varphi(\omega)$ 接近 0。
你飞快地来回推(高频),秋千根本来不及反应,只能小幅抖动,而且明显"慢半拍" → $A(\omega)$ 小、$\varphi(\omega)$ 负得厉害。

这就是频域分析的全部直觉:同一个系统,对不同快慢的信号,反应的"力度"和"拖延"是不一样的。把每个频率下的"力度"和"拖延"都记下来,就完整刻画了这个系统。

【难点·这个坎难在哪】 难在你会问:"我关心的是阶跃响应,你给我讲正弦干嘛?" 正确理解:任何一个实际信号(包括阶跃、包括各种干扰),在数学上都能拆成一大堆不同频率的正弦波叠加(这叫傅里叶的思想,本模块不展开推导,考研也不考这个推导)。所以只要你知道系统对每个频率的正弦怎么反应,你就等于知道了它对任何信号怎么反应。频域不是另起炉灶,它是把同一个系统换个角度看,信息一点没少。 这一段第一遍看不懂很正常,卡点通常在"为什么正弦这么特殊"。你现在可以先按"这是这门课的一个约定玩法"接受下来,不影响你把题做对;等第 6 章校正时你会自己感觉到它的好用。

3.2 频率特性怎么算:一个替换动作 $s \to j\omega$

上面说的 $A(\omega)$ 和 $\varphi(\omega)$,怎么从传递函数算出来?规则简单到过分:

\[\boxed{\text{把传递函数 } G(s) \text{ 里的 } s \text{ 全部换成 } j\omega,\ \text{得到的 } G(j\omega) \text{ 就叫系统的频率特性}}\]

这是 PPT《第5章频域分析h-1》给的定义(幻灯片对应文字为"……为系统的频率特性",此处按教材做了大白话展开)。

【补课】$j$ 是什么 $j$ 是虚数单位,满足 $j^2=-1$。工科用 $j$,数学书里写 $i$,是同一个东西(电工怕跟电流 $i$ 混,才改用 $j$)。 一个复数长这样:$z=a+jb$。$a$ 叫实部,$b$ 叫虚部。你可以把它当成平面上的一个点:横坐标 $a$、纵坐标 $b$。你现在只需要三条运算规矩: ① $j\cdot j=-1$;② 复数加减 = 实部跟实部加、虚部跟虚部加;③ 复数乘法照普通乘法展开,遇到 $j^2$ 就换成 $-1$。想从零补复数,看预备知识。

一个复数有两个"长相"描述:

模(读作 mó,写作 $|z|$):这个点离原点多远,$|a+jb|=\sqrt{a^2+b^2}$(就是勾股定理)。
幅角(写作 $\angle z$):从正实轴(横轴正方向)转到这个点的方向,转过多少度。第一象限里 $\angle z=\arctan\frac{b}{a}$。

【补课】$\arctan$ 是什么:$\tan\theta$ 是"对边比邻边";$\arctan x$ 就是反过来问"正切值等于 $x$ 的那个角是多少度"。例如 $\arctan 1=45^\circ$、$\arctan 0=0^\circ$、$\arctan\infty=90^\circ$。考试常用的就这几个特殊值,以及"$x$ 越大角越大、上限 $90^\circ$"这个趋势。25 年起考场禁用计算器,所以真题里的数字一般都凑成特殊角,或者只要求你写表达式。

于是:

\[A(\omega)=|G(j\omega)| \quad\text{(幅频特性,就是频率特性的模)}$$ $$\varphi(\omega)=\angle G(j\omega)\quad\text{(相频特性,就是频率特性的幅角)}\]

这两行正是 PPT《第5章频域分析h-1》幻灯片上写的 $A(\omega)=|G(j\omega)|$、$\varphi(\omega)=\angle G(j\omega)$(公式一致,文字说明为我补的)。

用大白话再说一遍这两行公式:把 $s$ 换成 $j\omega$ 之后,你手里是一个复数(它随 $\omega$ 变);这个复数的长度就是放大倍数,这个复数的方向角就是相位滞后。 一个复数,同时装下了"多大"和"多拖"两条信息——这就是为什么频率特性非要用复数不可。

一个能省一半计算量的实用公式(考研里天天用):

\[\left|\frac{N_1 N_2}{D_1 D_2}\right|=\frac{|N_1||N_2|}{|D_1||D_2|},\qquad \angle\frac{N_1N_2}{D_1D_2}=\angle N_1+\angle N_2-\angle D_1-\angle D_2\]

大白话:求模时,分子分母各自的模照乘照除;求角时,分子的角相加、分母的角相减。
$N$ 指分子上的因子,$D$ 指分母上的因子。
用处:$G(j\omega)=\dfrac{4}{j\omega(j\omega+1)^2}$ 这种式子,不用先通分成 $a+jb$,直接一块一块算模和角,快得多。

3.3 奈奎斯特曲线(幅相曲线)是什么:一条"画出来的档案"

现在你手上有 $G(j\omega)$:每给一个 $\omega$,它就是一个复数,也就是平面上的一个点。

那么让 $\omega$ 从 $0$ 一直增加到 $+\infty$,这些点连起来,就画出一条曲线。这条曲线就是奈奎斯特曲线(= 幅相曲线 = 极坐标图 = Nyquist 图)。

这张平面图的坐标:横轴叫 Re(实轴,Real),纵轴叫 Im(虚轴,Imaginary)。曲线上每个点:

它离原点的距离 = 该频率下的放大倍数 $A(\omega)$;
它相对于正实轴的方向角 = 该频率下的相位 $\varphi(\omega)$;
曲线上一般要标一个箭头,表示 $\omega$ 增大的方向。这个箭头非常重要,判稳全靠它。

【你可能会以为】 奈氏图的横轴是频率 $\omega$。 但其实不是。 横轴是实部、纵轴是虚部,$\omega$ 藏在曲线上,它是"沿着曲线走"的那个参数,不占任何一根坐标轴。这是零基础最常见的误解,一旦搞混,整张图就画不对了。你可以这样理解:$\omega$ 像时间,曲线像一只蚂蚁爬过的轨迹——纸上看不见时间,但箭头告诉你它往哪边爬。

3.4 为什么盯着 $(-1,j0)$ 这个点

奈氏判据的所有戏,都围着复平面上一个点转:$(-1,\,j0)$,即实部 $=-1$、虚部 $=0$ 的那个点(横轴上 $-1$ 的位置)。

为什么偏偏是它? 讲透这一层,你就不用死记了:

闭环系统的稳定性,由闭环特征方程 $1+G(s)H(s)=0$ 的根决定(这条你在第 3、4 章见过:特征方程的根就是闭环极点,根只要有一个跑到复平面右半边,系统就不稳定)。

把 $1+G(s)H(s)=0$ 挪一下:

\[G(s)H(s)=-1\]

而 $-1$ 这个数,写成复数就是 $-1+j0$,也就是点 $(-1,j0)$。

大白话:开环特性一旦等于 $-1$,意味着"信号绕一圈回来,大小一模一样(模=1)、方向正好反了 $180^\circ$",再经过反馈处那个减号一减,就变成了正反馈自我循环——系统卡在临界状态,再多一点就发散。所以 $(-1,j0)$ 是临界点,曲线跟它的相对位置(绕不绕它、从它哪边过)就决定了稳定性。

【难点】 这里最容易糊的是:曲线画的是开环的 $G(j\omega)H(j\omega)$,判的却是闭环稳不稳。 正确理解:两者的桥梁就是上面那个式子——闭环特征方程 $1+GH=0$ 里含着开环的 $GH$。奈氏判据的全部本事,就是从开环曲线绕 $(-1,j0)$ 的圈数,反推出闭环有几个根在右半平面。所以千万别说成"曲线包围 $(-1,j0)$ 说明开环不稳定"——那是错的,开环稳不稳是另一回事($P$ 就是描述它的)。

3.5 奈氏判据:三个符号必须讲清

判据有两种等价写法,考研两种都可能用,我都给你,并且每个符号都交代。

写法一(圈数版,PPT《第5章频域分析h-2》幻灯片18的原意):

\[Z=P-R\]

$Z$:闭环传递函数在 s 右半平面的极点个数。$Z=0$ 就是闭环稳定;$Z$ 是几,就有几个不稳定的根。这是我们最终要回答的东西。
"s 右半平面"= 复平面上实部大于 0 的那一半。根落在那儿意味着响应里有 $e^{+at}$ 这种越来越大的成分 → 发散 → 不稳定(这一条第 3 章讲过)。
$P$:开环传递函数在 s 右半平面的极点个数。这个你直接从开环表达式上数:把分母因式分解,看有几个根实部为正。
注意:$s=0$(原点上的极点,也就是积分环节)不算右半平面极点,它在虚轴上,单独处理(见 3.6 的"增补")。
$R$:奈氏曲线逆时针包围 $(-1,j0)$ 点的圈数。逆时针记正,顺时针记负(PPT 幻灯片18原话即"逆时针包围为正,顺时针包围为负")。

写法二(穿越版,考研做题最常用):

\[Z=P-2N,\qquad N=N^+-N^-\]

$N^+$(正穿越次数):曲线从下往上穿过实轴上 $(-1,j0)$ 左边那一段(即从 $-\infty$ 到 $-1$ 这一段)的次数。
$N^-$(负穿越次数):曲线从上往下穿过那一段的次数。
$N$:两者之差。
判稳还是看 $Z=0$ 则闭环稳定。

等一下,"正穿越"到底是从下往上还是从上往下?这里必须小心。 PPT《第5章频域分析h-2》幻灯片27 的文字是:"正穿越:逆时针包含(-1,j0)点时,必然是从上到下穿越,伴随着相角的增大;负穿越:顺时针包含(-1,j0)点时,必然是从下到上穿越,伴随着相角的减小。" 这段 PPT 文字与国内主流教材(胡寿松《自动控制原理》)的表述方向相反——教材是"负穿越:相角减小,曲线自上而下穿过 $-1$ 左侧负实轴"。我判断这是 PPT 文字在制作时把"上/下"写反了(它自己后面幻灯片36的算例 $N^-=1,\ N=-1,\ Z=P-2N=2$ 不稳定,与教材口径一致)。 给你的安全做法(记这一条就够,不会错): $$\boxed{\text{相角"增大"(往逆时针方向转)}=\text{正穿越};\ \text{相角"减小"(往顺时针方向转)}=\text{负穿越}}$$ 相角增减这个判断永远不会被上下之争坑到,而且和"逆时针包围为正"完全自洽。这一条我标 【存疑·待核】——存疑的是 PPT 那句话的上下方向,不是判据本身;判据本身(正穿越对应逆时针/相角增大)是确定的。做题时你按上面框里那句走。

两种写法为什么等价? 因为"逆时针绕一整圈"必然要从 $(-1,j0)$ 左侧的负实轴上穿过去两次(上去一次、下来一次)。所以 1 圈 = 2 次净穿越,$R=2N$。半闭合曲线(只画 $\omega:0\to+\infty$ 那一半)时数圈数不方便,数穿越次数才方便——这就是考研为什么爱用 $Z=P-2N$。

【补课】"最小相位系统":开环传递函数的所有零点和极点都在 s 左半平面(且不含延迟环节)的系统。对最小相位系统,$P=0$,判据立刻简化成: $$Z=-2N,\quad\text{所以}\ \boxed{N=0\ (\text{正负穿越次数相等,含都为0})\Longleftrightarrow \text{闭环稳定}}$$ 这正是 PPT 幻灯片28 那句"最小相位系统,正负穿越之差=0时,系统稳定"。851 的题绝大多数是最小相位系统,即 $P=0$,所以实战中你多半只需要判断"曲线有没有绕过/穿过 $(-1,j0)$ 左边那段"。名字里"最小相位"的由来:同样的幅频特性下,这种系统的相位滞后是所有可能系统里最小的。这个由来考研不考,知道有这么回事即可。

3.6 "增补"是什么(题目里点名要求的那一步)

题目第(2)问原文写着"注意增补曲线的绘制"。这五个字不解释清楚,这道题拿不到满分。

问题出在哪:我们这道题的 $G(s)=\dfrac{4}{s(s+1)^2}$ 分母有一个 $s$,也就是在原点 $s=0$ 处有一个极点(叫积分环节,物理上表示系统里有"累加/积分"作用,比如电机的角度是转速的积分)。

后果:当 $\omega\to 0^+$ 时,$|G(j\omega)|=\left|\frac{4}{j\omega(\cdots)}\right|\to\infty$——曲线的起点跑到无穷远去了,这条曲线是"断"的、不闭合的。而奈氏判据要数"包围圈数",曲线不闭合就没法数圈(PPT 幻灯片19 说的"s 平面的闭合曲线通过原点时,其映射不再封闭,这时判据不成立"就是这个意思)。

解决办法(这就是"增补"):人为在无穷远处补一段圆弧,把曲线接成闭合的。规则是:

\[\boxed{\text{设开环有 }\nu\text{ 个原点极点(即 }G\text{ 分母含 }s^\nu),\ \text{则从 }\omega=0^+\text{ 那一点起,以无穷大半径,顺时针补 }\nu\times 90^\circ\text{ 的圆弧}}\]

$\nu$(读作"纽"):分母里 $s$ 的幂次,也叫系统型别($\nu=0$ 叫 0 型,$\nu=1$ 叫 I 型,$\nu=2$ 叫 II 型)。本题 $G=\frac{4}{s(s+1)^2}$,分母的 $s$ 是一次方,所以 $\nu=1$,I 型系统。
顺时针补 $\nu\cdot 90^\circ$:本题就是补 $90^\circ$。这段弧在无穷远处,从正虚轴方向($+90^\circ$)顺时针转到 $\omega=0^+$ 处曲线的出发方向($-90^\circ$)。
这段弧整个待在右半平面(实部为正的一侧),所以它不会穿过 $(-1,j0)$ 左边的负实轴 → 它对 $N$ 没有贡献。
PPT《第5章频域分析h-2》幻灯片24/25 写的是"从 $\omega=0^-$ 到 $0^+$ 以无穷大半径顺时针补;由于对称性可以补一半……一般只需绘制半闭合开环幅相曲线"。我这里给的是只画 $\omega:0^+\to+\infty$ 半条曲线时的实用版本(考研标准做法),不是逐字照抄。

【难点】为什么补的是顺时针、不是逆时针? 一句话原因:这段弧是在 s 平面上用一个小半圆绕过原点极点映射过来的,绕行方向定死了它的转向。完整的复变函数论证(幅角原理)PPT 幻灯片10-17 有,考研不会让你证它,只会让你用它。所以这里我明写:这一步的"为什么"我不展开,因为它需要复变函数的幅角原理,属于超纲的推导;你需要掌握的是"$\nu$ 个原点极点 → 顺时针补 $\nu\cdot 90^\circ$"这条操作规则,以及"这段弧在右半平面、不影响穿越计数"这个结论。

4. 套路:五步拿下(记死这五步)

第一步 · 把 $s$ 换成 $j\omega$,写出 $G(j\omega)$。 顺手数两件事:$P$(开环右半平面极点数)和 $\nu$(原点极点数/型别)。
第二步 · 定起点和终点。 算 $\omega\to 0^+$ 时的模和相角(起点)、$\omega\to+\infty$ 时的模和相角(终点)。这两头定了,曲线的大致走向就定了。
第三步 · 求与实轴、虚轴的交点。 令虚部 $=0$ 解出 $\omega$,回代求实部 → 与实轴的交点(这是本类题的核心得分点,题目明确要求"计算并标注")。同理令实部 $=0$ 求与虚轴的交点(有些题不要求)。
第四步 · 画图 + 增补。 把起点、终点、交点标上,连成曲线,标 $\omega$ 增大的箭头;若 $\nu\ge 1$,在无穷远处顺时针补 $\nu\cdot 90^\circ$ 圆弧。
第五步 · 用判据算 $Z$,下结论。 数穿越次数 $N$,代入 $Z=P-2N$;$Z=0$ 稳定,否则不稳定并说明有几个右半平面闭环极点。

每一步为什么这么做,下面例题里边做边说。

5. 例题手把手:就用开场那道 20 分大题

已知开环传递函数 $G(s)=\dfrac{4}{s(s+1)^2}$。(1) 画开环幅相曲线,标出与坐标轴交点;(2) 判断闭环稳定性,注意增补。

第一步:换 $s\to j\omega$,数 $P$ 和 $\nu$

\[G(j\omega)=\frac{4}{j\omega\,(j\omega+1)^2}\]

数 $P$:开环极点就是分母 $s(s+1)^2$ 的根,即 $s=0$(一个)、$s=-1$(两重)。$s=-1$ 在左半平面,$s=0$ 在虚轴上——右半平面一个都没有,所以 $\boxed{P=0}$。(顺带:零点没有,极点都不在右半平面,所以这是个最小相位系统。)
数 $\nu$:分母含 $s^1$,所以 $\boxed{\nu=1}$,I 型系统,后面必须增补 $90^\circ$。

为什么先做这步:$P$ 是判据公式里的输入量,$\nu$ 决定要不要增补。这两个数不先定死,后面全是白算。

第二步:定起点($\omega\to0^+$)和终点($\omega\to+\infty$)

用 3.2 那条"模照乘除、角照加减"的规矩,先把幅频、相频写出来:

\[A(\omega)=|G(j\omega)|=\frac{4}{|j\omega|\cdot|j\omega+1|^2}=\frac{4}{\omega\,\big(\sqrt{1+\omega^2}\big)^2}=\frac{4}{\omega(1+\omega^2)}\]

拆解给你看:$|j\omega|=\sqrt{0^2+\omega^2}=\omega$(取 $\omega>0$);$|j\omega+1|=|1+j\omega|=\sqrt{1^2+\omega^2}$,因为是平方所以整体再平方。

\[\varphi(\omega)=\angle G(j\omega)=\underbrace{0^\circ}_{\text{分子常数4}}-\underbrace{90^\circ}_{\angle j\omega}-\underbrace{2\arctan\omega}_{\angle(1+j\omega)\text{的两倍}}=-90^\circ-2\arctan\omega\]

拆解:分子是正实数 4,方向就是正实轴,角度 $0^\circ$;$j\omega$ 是纯虚数、在正虚轴上,角度 $90^\circ$,在分母所以减掉;$1+j\omega$ 的角是 $\arctan\frac{\omega}{1}=\arctan\omega$,平方就是角度乘 2,也在分母所以减掉。
(这一行 $\varphi(\omega)=-90^\circ-2\arctan\omega$ 和原卷手写解答里的 "$\varphi(\omega)=-90^\circ-2\tan^{-1}\omega$" 一致;$\tan^{-1}$ 是 $\arctan$ 的另一种写法,同一个东西。)

现在代两头:

起点 $\omega\to0^+$:$A\to\dfrac{4}{0\cdot 1}\to+\infty$;$\varphi\to-90^\circ-2\arctan 0=-90^\circ$。 → 起点在无穷远处,方向是 $-90^\circ$(正下方,负虚轴方向)。
终点 $\omega\to+\infty$:$A\to\dfrac{4}{\infty}\to 0$;$\varphi\to-90^\circ-2\times 90^\circ=-270^\circ$。 → 终点回到原点,进入方向是 $-270^\circ$(等价于 $+90^\circ$,即从正上方切进原点)。

(原卷手写解答写的"起于 $-90^\circ$,终于 $-270^\circ$"就是这个意思,我们自己算出来了。)

为什么先定两头:奈氏图不要求你逐点描 100 个点,考研只要定性画对形状。而形状是由"从哪来、到哪去、中间穿没穿轴"决定的。两头一定,你就知道曲线要从第三/四象限的无穷远,一路扫到原点。

第三步:求与实轴的交点(本题的核心得分点)

"与实轴相交"的数学含义:虚部 $=0$。所以要先把 $G(j\omega)$ 化成 $a+jb$ 的形式。

先算分母: $$j\omega(j\omega+1)^2$$ 先展开 $(j\omega+1)^2=(j\omega)^2+2j\omega+1=-\omega^2+2j\omega+1=(1-\omega^2)+2j\omega$ (用了 $j^2=-1$。)

再乘 $j\omega$: $$j\omega\big[(1-\omega^2)+2j\omega\big]=j\omega(1-\omega^2)+2j^2\omega^2=-2\omega^2+j\,\omega(1-\omega^2)$$

所以 $$G(j\omega)=\frac{4}{-2\omega^2+j\,\omega(1-\omega^2)}$$

分母有 $j$,不能直接看虚部,要"有理化"——分子分母同乘分母的共轭(共轭就是把虚部的符号取反:$a+jb$ 的共轭是 $a-jb$;这么做的好处是 $(a+jb)(a-jb)=a^2+b^2$ 变成实数):

\[G(j\omega)=\frac{4\big[-2\omega^2-j\,\omega(1-\omega^2)\big]}{(2\omega^2)^2+\big[\omega(1-\omega^2)\big]^2}\]

分母现在是个正实数,记作 $M=4\omega^4+\omega^2(1-\omega^2)^2$。于是:

\[\text{实部}=\frac{-8\omega^2}{M},\qquad \text{虚部}=\frac{-4\omega(1-\omega^2)}{M}\]

令虚部 $=0$:$-4\omega(1-\omega^2)=0$ → $\omega=0$ 或 $\omega^2=1$ 即 $\omega=1$($\omega$ 取正)。$\omega=0$ 是起点(在无穷远,不算交点),所以真正的交点在

\[\boxed{\omega=1}\]

回代求实部(直接用原式更快):$\omega=1$ 时分母 $=-2(1)^2+j\cdot 1\cdot(1-1)=-2$,所以

\[G(j1)=\frac{4}{-2}=-2\]

\[\boxed{\text{与负实轴的交点为 }(-2,\,j0)}\]

(这与原卷手写的"与负实轴交点 $(-2,0j)$"一致。)

与虚轴的交点:令实部 $\dfrac{-8\omega^2}{M}=0$ → 只有 $\omega=0$,而 $\omega=0$ 时曲线在无穷远。所以除了起点跑向无穷远之外,曲线不与虚轴相交(答题时这么写一句即可,别空着)。

为什么这步最重要:因为判稳的全部信息就是"曲线跟 $(-1,j0)$ 的相对位置"。而曲线跟负实轴的交点在 $-2$ —— $-2$ 比 $-1$ 更靠左,这就意味着曲线是从 $(-1,j0)$ 的外侧扫过去的,它把这个点圈进去了。答案基本已经出来了。

第四步:画图 + 增补

考场上你要画一张草图。我用文字把它精确描述给你(这里不引用任何图片文件,因为我们手上真题扫描件里的这张图不保证清晰完整;文字描述足以让你自己画出来):

                    Im (虚轴)
                     |
                     |        ↖ 终点:ω→∞ 时曲线从上方切入原点
                     |         (方向 -270°,即正上方)
   ----(-2,j0)-------+------------------- Re (实轴)
        ●   (-1,j0)  原点
        |     ×
        |     ↑ 临界点
   曲线在 ω=1 处穿过负实轴于 -2
        |
        |   ω 增大方向:从下往上(相角从 -90° 单调减到 -270°,
        |   即顺时针转;曲线由第三象限下方无穷远处上来)
        ↓
     起点:ω→0+ 时在无穷远,方向 -90°(正下方)

用语言把形状说清楚(考场按这个画):

从下方无穷远处出发($\omega\to0^+$,相角 $-90^\circ$,即负虚轴方向的无穷远);
随着 $\omega$ 增大,相角从 $-90^\circ$ 单调地减小到 $-270^\circ$(因为 $\varphi=-90^\circ-2\arctan\omega$,$\arctan\omega$ 随 $\omega$ 单调增),模从 $\infty$ 单调减到 $0$;
途中在 $\omega=1$ 处穿过负实轴于 $-2$ 点;
最后从正上方($-270^\circ$ 方向)切入原点;
增补:$\nu=1$,在无穷远处从 $\omega=0^+$ 那一点(方向 $-90^\circ$)逆着 $\omega$ 方向往回、以无穷大半径顺时针补 $90^\circ$ 圆弧,即这段弧扫过 $-90^\circ\to 0^\circ\to +90^\circ$ 这个范围(整段都在右半平面),把曲线接闭合。

【难点·画图时最容易错的地方】 很多人把这条曲线画成"从右边过来",或者忘了标箭头。 记住两条保命规则:① 起点方向 $=-\nu\cdot 90^\circ$(本题 $\nu=1$,起点 $-90^\circ$);② 终点方向 $=-(n-m)\times 90^\circ$,其中 $n$ 是分母最高次、$m$ 是分子最高次(本题分母 $s(s+1)^2$ 展开最高次 $n=3$,分子是常数 $m=0$,所以终点 $=-270^\circ$,和我们算的一致)。这两条规则能让你不算极限也能秒定两头。

第五步:判据算 $Z$,下结论

数穿越次数:我们关心的是曲线穿过实轴上 $(-\infty,-1)$ 这一段(即 $(-1,j0)$ 左边)的情况。

唯一的穿越发生在 $\omega=1$、位置 $-2$ —— $-2$ 确实在 $-1$ 的左边,算数。
穿越方向:相角 $\varphi$ 从 $-90^\circ$ 减小到 $-270^\circ$,是减小的 → 按 3.5 那个框:相角减小 = 负穿越。
(对照几何图像:曲线此处是从下半平面走到上半平面,也就是"自下而上"穿过 $-1$ 左侧的负实轴,这与教材"负穿越"的图像一致。)
增补的那段无穷大圆弧全在右半平面,不穿越,不计。

所以: $$N^+=0,\quad N^-=1,\quad N=N^+-N^-=-1$$

代入判据: $$Z=P-2N=0-2\times(-1)=2$$

结论:$Z=2\ne 0$,闭环系统不稳定,并且有 2 个闭环极点位于 s 右半平面。

(用另一种写法验算:曲线顺时针包围 $(-1,j0)$ 一圈,所以逆时针圈数 $R=-1$,$Z=P-R=0-(-1)\cdot 2$……注意这里要小心:$Z=P-R$ 用的是完整曲线($\omega:-\infty\to+\infty$)的圈数,完整曲线顺时针绕 1 整圈对应 $R=-2$?不要在这里绕。考研统一用 $Z=P-2N$ 这一套,把半闭合曲线的穿越数数清楚即可,不要两套混着用——混用是这类题最大的翻车点。原卷手写解答那行 "$Z=P-R=0-2(0-1)=2$" 其实写的就是 $Z=P-2N$ 的算法,结果 $Z=2$ 与我们一致。)

这道 20 分的大题做完了。 答案: - (1) 幅相曲线起于无穷远($-90^\circ$方向)、终于原点($-270^\circ$方向),在 $\omega=1$ 处与负实轴交于 $(-2,j0)$,与虚轴无交点;$\nu=1$ 需在无穷远处顺时针增补 $90^\circ$ 圆弧。 - (2) $P=0$,$N=-1$,$Z=P-2N=2$,闭环不稳定,有 2 个右半平面闭环极点。

停一下,回头看第 1 节那道题。 你刚刚把它做出来了。

6. 你来做:变式题(带详细答案)

练习题(自编,仿真题难度——特此说明:下面这道题是我按同等难度自己编的,不是任何一年的真题原题,别当真题记):

已知单位负反馈系统的开环传递函数为 $$G(s)=\frac{1}{s(s+1)^2}$$ (1) 求幅频特性 $A(\omega)$ 和相频特性 $\varphi(\omega)$,定出幅相曲线的起点和终点; (2) 求曲线与负实轴的交点; (3) 用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。 (4) 进阶(想挑战再做):若把分子的 1 换成 $K>0$,即 $G(s)=\dfrac{K}{s(s+1)^2}$,求使闭环系统稳定的 $K$ 取值范围。

注意:这道题和例题只差一个系数(4 变成 1)。这不是偷懒,是我故意的——你会看到结论翻了个个儿,从而亲眼看见"增益 $K$ 怎么把一个系统从稳定推向不稳定"。这正是第 6 章校正的全部动机。

自己先做。卡住了对照回看:

不会把 $s$ 换成 $j\omega$、不会算模和角? → 回看 3.2 节
不知道起点终点怎么定? → 回看 第 5 节第二步,或用那两条"保命规则"(起点 $-\nu\cdot90^\circ$、终点 $-(n-m)\cdot90^\circ$)
不会求交点(通分、共轭那一步)? → 回看 第 5 节第三步
不会用判据、不知道 $P$ 怎么数? → 回看 3.5 节

**详细答案:** **第一步(换 $j\omega$,数 $P$、$\nu$):** $$G(j\omega)=\frac{1}{j\omega(j\omega+1)^2}$$ 开环极点:$s=0$、$s=-1$(二重)。右半平面一个都没有 → $P=0$(最小相位系统)。分母含 $s^1$ → $\nu=1$,I 型,需增补 $90^\circ$。 **第二步(幅频、相频、起点终点):** $$A(\omega)=\frac{1}{\omega(1+\omega^2)},\qquad \varphi(\omega)=-90^\circ-2\arctan\omega$$ - **相频和例题一模一样**——因为相位只跟极点零点有关,跟前面那个常数增益无关(常数是正实数,角度 $0^\circ$)。**这是个很有用的结论:改变 $K$ 不改变相频特性,只把整条曲线按比例缩放。** - 起点 $\omega\to0^+$:$A\to\infty$,$\varphi\to-90^\circ$ → 无穷远处、正下方。 - 终点 $\omega\to\infty$:$A\to0$,$\varphi\to-270^\circ$ → 从正上方切入原点。 **第三步(与负实轴交点):** 令虚部为零。分母同例题:$j\omega(j\omega+1)^2=-2\omega^2+j\omega(1-\omega^2)$,虚部为零要 $\omega(1-\omega^2)=0$ → $\omega=1$。回代:$\omega=1$ 时分母 $=-2$,所以 $$G(j1)=\frac{1}{-2}=-0.5$$ $$\boxed{\text{与负实轴交于 }(-0.5,\,j0)}$$ **第四步(判稳):** 交点 $-0.5$ 在 $(-1,j0)$ 的**右边**(离原点更近),**曲线没有跨到 $-1$ 的左侧** → 曲线**没有穿越** $(-\infty,-1)$ 这一段。增补的圆弧在右半平面也不穿越。 $$N^+=0,\quad N^-=0,\quad N=0$$ $$Z=P-2N=0-0=0$$ $$\boxed{Z=0,\ \text{闭环系统稳定}}$$ **第四问进阶($K$ 的范围):** 把 1 换成 $K$,相频不变,所以**穿越负实轴的频率仍是 $\omega=1$**;交点值按比例变成 $$G(j1)=\frac{K}{-2}=-\frac{K}{2}$$ 要让闭环稳定,就要求这个交点**落在 $-1$ 的右边**(即不包围临界点): $$\left|-\frac{K}{2}\right|<1\ \Longrightarrow\ \frac{K}{2}<1\ \Longrightarrow\ \boxed{02$ 时交点跑到 $-1$ 左边 → 出现一次负穿越 → $Z=2$,不稳定。 - **验算一下**:例题里 $K=4>2$,结论正是不稳定;本题 $K=1<2$,结论正是稳定。两边对上了。 - (顺带:你在第 3 章用劳斯判据判 $\frac{K}{s(s+1)^2}$ 的闭环稳定范围,答案也是 $0 --- ## 7. 另一半:Bode 图、截止频率与相角裕度考点分析里(26北方工业大学专业课考点分析_p006.md 第20条)学长写着 Bode 图"很喜欢考,但考察的比较基础","求相角裕度和幅值裕度考察的也挺多"。所以这一节把这一半也给你打通。**它和上面是同一个知识体系的两种画法**,不是新东西。 ### 7.1 Bode 图是什么:把一条曲线拆成两条奈氏图把"模"和"角"塞进一张图(一条曲线),优点是判稳直观,缺点是画起来费劲。**Bode 图(读作"波德图",也叫对数频率特性曲线)换个办法:拆成上下两张图。** - **上图:对数幅频特性 $L(\omega)$**,纵轴是 $L(\omega)=20\lg A(\omega)$,单位 **dB(分贝)**;横轴是 $\omega$,用**对数刻度**。 - **下图:相频特性 $\varphi(\omega)$**,纵轴是角度(度),横轴同样是 $\omega$ 的对数刻度。 (这两个定义与 PPT《第5章频域分析h-1》幻灯片中"对数幅频特性 $20\log|G(j\omega)|$ dB,记 $L(\omega)$;对数相频特性 $\angle G(j\omega)$,记 $\varphi(\omega)$"一致。) > **【补课】$\lg$ 是什么、$20\lg$ 又是什么** > $\lg x$ 是**以 10 为底的对数**,读作"log x",意思是"**10 的几次方等于 $x$**"。例如 $\lg 1=0$、$\lg 10=1$、$\lg 100=2$、$\lg 0.1=-1$。 > 你考试真正要背的就四个值:$\lg 2\approx0.301$、$\lg 3\approx0.477$、$\lg 5\approx0.699$、$\lg 10=1$。 > **$20\lg A$ 就是把倍数 $A$ 换算成"分贝"这个单位。** 常用换算: > - $A=1$(不放大不衰减)→ $0$ dB > - $A=2$ → $20\lg2\approx6$ dB;$A=10$ → $20$ dB;$A=100$ → $40$ dB > - $A=0.5$ → $-6$ dB;$A=0.1$ → $-20$ dB > **记住:0 dB 就是"放大倍数正好等于 1"。** 这一条后面判稳直接要用。 > **【难点】为什么非要取对数、非要用对数坐标?不是自找麻烦吗?** > 三条实打实的好处,不是形式主义: > ① **把乘法变加法**。传递函数是一堆环节相乘,取对数后 $20\lg(A_1A_2)=20\lg A_1+20\lg A_2$ —— **各环节的曲线直接上下叠加就行**,不用做乘法。这是 Bode 图能"手画"的根本原因。 > ② **把巨大的范围压缩到一张纸上**。实际系统的频率跨度动辄从 0.01 到 1000,线性坐标下根本画不下;对数坐标下 0.01、0.1、1、10、100 是等间距的。 > ③ **曲线变成直线**。取对数后,典型环节的幅频曲线可以用**折线(渐近线)**近似,斜率都是 $\pm20$ dB/dec 的整数倍(dec = decade = 十倍频程,即频率变成 10 倍)。画图变成了"连折线",这是考研能考手绘 Bode 图的前提。 > **这个"为什么"第一遍不用完全消化**,但请别把它当成随意的规定——它是为了让人能用笔算。 ### 7.2 截止频率、相角裕度、幅值裕度:各是什么,为什么能衡量稳定性回想 3.4 节:临界点是"模 = 1 且相角 = $-180^\circ$"。**稳定裕度就是在问:我离这两个条件还差多远?** 于是分两头问,得到两个裕度。 **(一)截止频率 $\omega_c$(也叫开环剪切频率、穿越频率)** $$|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1,\quad\text{等价地}\quad L(\omega_c)=20\lg 1=0\ \text{dB}$$ - **大白话**:让开环放大倍数**正好等于 1** 的那个频率。 - **在 Bode 图上**:就是上图那条曲线**穿过 0 dB 横线**的那一点的横坐标。 - (定义与 PPT《第5章频域分析h-2》幻灯片39"系统的截止频率(开环剪切频率)$\omega_c$:$|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1$"一致。) **(二)相角裕度 $\gamma$(读作"伽马")** $$\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)$$ - **每个符号**:$\varphi(\omega_c)$ 是**在截止频率处**的相角(通常是负数);$180^\circ$ 是临界相角 $-180^\circ$ 的绝对值。 - **大白话**:在"放大倍数正好是 1"的那个频率上,系统的相位离 $-180^\circ$ **还差多少度**。差得越多越安全。 - **判据**:$\boxed{\gamma>0 \Rightarrow \text{稳定};\ \gamma<0 \Rightarrow \text{不稳定};\ \gamma=0 \Rightarrow \text{临界}}$(PPT 幻灯片40 写作"$\gamma>0$ 系统稳定,$\gamma<0$ 系统不稳定")。 - **工程上一般要求 $\gamma$ 在 $30^\circ\sim60^\circ$**,太小则振荡剧烈,太大则响应迟钝。(这条是工程经验值,常见于教材;**我没有在本项目材料里找到 851 明确考过这个区间的证据**,当常识了解即可。) **(三)幅值裕度 $K_g$(有的书写 $h$)** 先要有 **相位穿越频率 $\omega_g$**:使 $\varphi(\omega_g)=-180^\circ$ 的那个频率(相角正好转到临界值的地方)。然后 $$K_g=\frac{1}{|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|}$$ - **大白话**:在"相位正好到 $-180^\circ$"的那个频率上,开环增益**还能再放大多少倍才会到临界**。 - **判据**:$\boxed{K_g>1 \Rightarrow \text{稳定};\ K_g<1 \Rightarrow \text{不稳定}}$(与 PPT 幻灯片41 一致)。 - 用 dB 表示时:$K_g(\text{dB})=-20\lg|G(j\omega_g)|$,于是判据变成 **$K_g(\text{dB})>0$ 稳定**。 > **【你可能会以为】** 相角裕度和幅值裕度是两个独立的新判据。 > **但其实它们就是奈氏判据在临界点附近的"局部特写"。** 看回第 5 节那道例题: > - 曲线与负实轴交点在 $\omega=1$ 处,值为 $-2$。"与负实轴相交"意思正是相角 $=-180^\circ$ → **所以 $\omega_g=1$**; > - $|G(j\omega_g)|=2$ → $K_g=\frac{1}{2}=0.5<1$ → **不稳定**。 > - 和第 5 节用穿越计数得到的 $Z=2$ 不稳定,**完全一致**。 > 两套语言,同一件事。变式题里 $K=1$ 那个:交点 $-0.5$,$K_g=\frac{1}{0.5}=2>1$ → 稳定,也对上了。**这就是为什么 $K<2$ 是稳定边界:$K_g=2/K>1$。** ### 7.3 Bode 图求裕度的最小套路(三步) - **第一步 · 把 $G(s)$ 化成"尾一型"(时间常数形式)。** 就是把每个因子整理成 $(Ts+1)$ 这种"常数项为 1"的样子。 - 为什么必须化:因为 Bode 图的转折频率、低频段高度都是按尾一型读的,不化会全错。**考点分析 p006 第20条学长专门强调:"$G(s)$ 需要化成尾一型,这种小知识点,考试的时候一定要注意(不管是幅频还是相频都需要化成尾一型)"**(此处为原文引用)。 - 例:$\dfrac{10}{s(s+2)}$ 要化成 $\dfrac{10}{s\cdot 2(0.5s+1)}=\dfrac{5}{s(0.5s+1)}$。注意 $K$ 也跟着变了(10 变 5)。 - **第二步 · 求 $\omega_c$。** 令 $A(\omega_c)=1$ 解方程;若在 $\omega_c$ 附近只有低频段起作用,可用渐近线近似(见下例)。 - **第三步 · 代入 $\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)$。** 写清每一项相角的来源。 **例题(自编,仿真题难度;非真题原题):** > 已知单位负反馈系统开环传递函数 $G(s)=\dfrac{5}{s(0.1s+1)}$,求截止频率 $\omega_c$ 和相角裕度 $\gamma$,并判断闭环稳定性。 **第一步(尾一型)**:$0.1s+1$ 已经是尾一型,$s$ 是积分环节不用动。$K=5$,转折频率 $\omega_1=\dfrac{1}{0.1}=10$ rad/s。 > **【补课】转折频率**:$(Ts+1)$ 这个环节在 $\omega=\frac1T$ 处,Bode 图的渐近线要"拐弯"(斜率从 0 变成 $-20$ dB/dec),这个频率就叫转折频率。$T$ 越大转折越早。 **第二步(求 $\omega_c$)**: $$A(\omega)=\frac{5}{\omega\sqrt{1+(0.1\omega)^2}}$$ 先**猜** $\omega_c$ 落在转折频率 10 的左边(低频段)。在低频段 $0.1\omega\ll1$,根号 $\approx1$,于是 $$A(\omega)\approx\frac{5}{\omega}=1\ \Longrightarrow\ \omega_c\approx 5\ \text{rad/s}$$ **验证猜测**:$5<10$,确实在转折频率左边,猜对了,可以用。(如果算出来的 $\omega_c$ 跑到 10 右边,说明近似段选错了,要换段重算——**这一步的自检不能省**。) - **为什么可以这么近似**:在低频段 $G\approx\frac{5}{s}$,是纯积分环节,Bode 图上是一条斜率 $-20$ dB/dec 的直线,它与 0 dB 线的交点正好是 $\omega=K=5$。**这条"$-20$ dB/dec 段上 $\omega_c\approx K$"的结论非常好用**,25 年起禁用计算器,考题基本都设计成能这么近似。 **第三步(求 $\gamma$)**: $$\varphi(\omega)=\underbrace{-90^\circ}_{\text{积分环节}1/s}\underbrace{-\arctan(0.1\omega)}_{\text{惯性环节}(0.1s+1)}$$ 代入 $\omega_c=5$: $$\varphi(\omega_c)=-90^\circ-\arctan(0.5)\approx-90^\circ-26.6^\circ=-116.6^\circ$$ $$\gamma=180^\circ+(-116.6^\circ)=\boxed{63.4^\circ}$$ **结论**:$\gamma\approx63.4^\circ>0$ → **闭环稳定**,而且裕度落在 $30^\circ\sim60^\circ$ 附近,属于比较健康的状态。 - (顺带说清幅值裕度:本系统 $\varphi(\omega)=-90^\circ-\arctan(0.1\omega)$,只有 $\omega\to\infty$ 时才趋于 $-180^\circ$,**永远到不了**,所以 $\omega_g$ 不存在、**幅值裕度为无穷大**。这类"积分+一个惯性环节"的二阶系统对任何 $K>0$ 都稳定。这不是我漏算,是这个系统本身的性质。) - (关于 $\arctan 0.5\approx26.6^\circ$:考场禁用计算器时,题目一般会凑成 $\arctan1=45^\circ$、$\arctan\frac{1}{\sqrt3}=30^\circ$、$\arctan\sqrt3=60^\circ$ 这类特殊角,或者**只要求写表达式**——真题原文里就出现过"写出该系统相角裕量的表达式(不用计算)"这样的问法,见 ../01_结构化/真题/北方工业大学期末试题__2016-06-22_183210.md 三、(3)。) **变式题(自编,仿真题难度;非真题原题):** > 已知单位负反馈系统开环传递函数 $G(s)=\dfrac{4}{s(0.1s+1)}$。求 $\omega_c$ 和 $\gamma$,判断闭环稳定性。

**答案:** 尾一型已满足,$K=4$,转折频率 $=10$。猜 $\omega_c$ 在低频段:$\frac{4}{\omega}=1\Rightarrow\omega_c=4$,验证 $4<10$ ✓。 $$\varphi(4)=-90^\circ-\arctan(0.4)\approx-90^\circ-21.8^\circ=-111.8^\circ$$ $$\gamma=180^\circ-111.8^\circ\approx 68.2^\circ>0\ \Rightarrow\ \text{闭环稳定}$$ **对比上一题**:$K$ 从 5 降到 4,$\omega_c$ 从 5 降到 4,$\gamma$ 从 $63.4^\circ$ 升到 $68.2^\circ$。 **这个规律要记住:增益 $K$ 越大 → $\omega_c$ 越大(响应越快)→ 相角裕度越小(越容易振荡)。"快"和"稳"是一对矛盾**,第 6 章校正干的活,就是想办法在这对矛盾里找平衡。

--- ## 8. 收尾:你刚做出了第 5 章的头号大题 **认真说一句:你刚才做出来的,是一道 20 分的频域大题(奈氏判稳全套),外加一道判稳变式、一道求 $K$ 范围、两道相角裕度题。** 第 5 章那个"换世界观"的坎,你已经翻过去了:**给系统喂不同频率的正弦波,看它放大多少、拖后多少,把这些点连成一条曲线,再看这条曲线跟 $(-1,j0)$ 的关系**——就这么一件事。 ### 这类题在真题里怎么考、有哪些变形和坑依据考点分析(../01_结构化/考点分析/26北方工业大学专业课考点分析_p006.md 第18、20条,p008 表格 T6/T7 行): - **正着考(本模块主线)**:给开环传递函数,画奈氏图 + 判稳。考点分析原文:"最近出过绘制奈奎斯特的题……这种题出的比较基础都,也是按套路做题"。 - **反着考**:**给你一张奈氏曲线,反求传递函数**,或**由奈氏曲线求稳态误差**(p008 表格里 T6 行,2023 年考过"根据奈奎斯特曲线图求稳态误差")。 - **这一类我在本模块里没有出题,原因如实说明**:这类题的题面核心是那张图,而我们手上的真题扫描件转成文字后,图大量丢失,**我不愿意凭空编一张图冒充真题**。等你把正着做的套路练熟,反着做的关键其实就是"从图上读起点方向定型别 $\nu$、读终点方向定 $n-m$、读与实轴交点定 $K$",思路是同一套。 - **Bode 图那一族**(本模块副线):给表达式画图、给图求传函、求截止频率/相角裕度/稳态误差。p008 表格 T7 行显示 2023-2025 连续三年都在考这一族。 - **抽象字母版(2025 年第六大题)**:$G(s)=\dfrac{k(\tau s+1)}{s^2(Ts+1)}$,附加条件 $T$ 与 $\tau$ 的大小关系,判稳。 - **它比本模块的题难在哪(如实说,不抹平)**:① $\nu=2$,增补要补 $180^\circ$,这段弧**会扫过负实轴**,穿越计数要格外小心;② 交点位置里全是字母,**你得靠 $T$ 和 $\tau$ 的大小关系去判断交点落在 $-1$ 的左边还是右边**,而不是算出一个数直接比大小。这是一层真实的难度台阶。**本模块不做这类题,是因为你现在需要先把数字版走顺**——但你要知道这个台阶在那儿,别以为练完本模块就万事大吉。 **最容易丢分的五个坑:** 1. **忘了增补**。凡是分母含 $s$(I 型及以上),不增补就不闭合,判据用不了。题目常常明写"注意增补",那就是白送的提醒。 2. **穿越正负搞反**。守住"相角增大 = 正穿越、相角减小 = 负穿越",别去背"上/下"。 3. **只看曲线穿没穿负实轴,忘了看是不是在 $-1$ 左边**。穿在 $-0.5$ 处不算穿越(那一段不是临界段)。 4. **$P$ 数错**:$P$ 是**开环**右半平面极点数,原点上的极点($s=0$)**不算**。 5. **Bode 题没化尾一型**就去读转折频率和 $K$,一步错步步错。 **下一步该干嘛**:这类题的手感需要重复。建议你把第 6 节和第 7 节的变式题,过两天**不看答案再做一遍**;能一次做对,这个题型就算真的握在手里了。 --- ## 这个模块的骨架(真正要带走的) 1. **频域 = 给系统喂各种频率的正弦波,记录"放大多少($A(\omega)$)、滞后多少($\varphi(\omega)$)"。** 算法就是把 $s$ 换成 $j\omega$,取模得幅频、取幅角得相频。 2. **奈氏曲线 = 让 $\omega$ 从 0 跑到 $\infty$,把复数 $G(j\omega)$ 在复平面上画出的轨迹。** 横轴实部、纵轴虚部,$\omega$ 靠箭头体现。 3. **临界点是 $(-1,j0)$**,因为闭环特征方程 $1+GH=0$ 就是 $GH=-1$。 4. **判据 $Z=P-2N$**:$Z$ 闭环右极点数(=0 才稳)、$P$ 开环右极点数、$N=N^+-N^-$ 是对 $(-1,j0)$ 左侧负实轴的净穿越数。最小相位系统 $P=0$,于是"不穿越 = 稳定"。 5. **增补**:$\nu$ 个原点极点 → 无穷远处顺时针补 $\nu\cdot90^\circ$。 6. **裕度是判据的局部特写**:$\omega_c$ 是 $|G|=1$($L=0$ dB)处的频率,$\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)>0$ 稳定;$\omega_g$ 是 $\varphi=-180^\circ$ 处的频率,$K_g=1/|G(j\omega_g)|>1$ 稳定。 7. **五步套路**:换 $j\omega$ 数 $P,\nu$ → 定起终点 → 求交点 → 画图增补 → 算 $Z$ 下结论。 ## 自测(戳穿假懂版) 1. 有人说:"奈氏曲线包围了 $(-1,j0)$,说明**开环**系统不稳定。"这句话错在哪? - **答案要点**:错在"开环"。曲线画的是开环特性,判的是**闭环**稳定性;开环稳不稳由 $P$ 描述,是判据的**输入**而不是结论。答不出说明 3.4 那层"开环曲线→闭环结论"的桥梁没建起来。 2. 某最小相位系统的奈氏曲线与负实轴交于 $-0.25$,问闭环稳定吗?若把开环增益放大 8 倍呢? - **答案要点**:$-0.25$ 在 $-1$ 右边,不穿越,$N=0$,$P=0$,$Z=0$ **稳定**;放大 8 倍后交点变成 $-2$,跑到 $-1$ 左边,一次负穿越,$Z=2$ **不稳定**。答错说明没抓住"改 $K$ 只缩放不转向"这条。 3. $G(s)=\dfrac{K}{s^2(Ts+1)}$,不算任何数,能不能立刻说出幅相曲线的起点方向和终点方向? - **答案要点**:$\nu=2$ → 起点 $-180^\circ$;$n=3,m=0$ → 终点 $-270^\circ$。答不出说明第 5 节那两条"保命规则"没吃进去。 4. 某系统 $L(\omega)$ 在 $\omega=10$ 处穿过 0 dB 线,该处相角为 $-200^\circ$。求相角裕度,判稳。 - **答案要点**:$\omega_c=10$,$\gamma=180^\circ+(-200^\circ)=-20^\circ<0$ → **不稳定**。答成 $+20^\circ$ 或算成 $180-200$ 的绝对值,说明公式里的正负号没理解(相角是负数,直接加)。 5. 为什么 Bode 图要用对数坐标和 dB?说出至少两条实打实的理由。 - **答案要点**:乘法变加法(环节可叠加);大范围压缩到一张纸;曲线变折线可手绘。只会说"课本这么规定"= 没懂。 ## 知识地图 - **向前串**: - 传递函数 $G(s)$(第 2 章)→ 把 $s$ 换成 $j\omega$ 就是频率特性。**没有第 2 章就没有这一章。** - "闭环特征方程 $1+G(s)H(s)=0$ 的根决定稳定性"(第 3 章)→ 直接推出临界点为什么是 $(-1,j0)$。 - 劳斯判据(第 3 章)→ 和奈氏判据必须给出同一个 $K$ 范围,可互相验算(第 6 节进阶题已验)。 - 复数、模与幅角、$\arctan$、对数(预备知识)→ 本章天天用。 - **横向串(本章内部)**: - **奈氏图**(一条曲线,含模和角)和 **Bode 图**(两张图,分别画模和角)是**同一批数据的两种画法**; - **穿越计数**(奈氏)和 **相角裕度/幅值裕度**(Bode)是**同一个判据的两种读法**——例题里 $\omega_g=1$、$K_g=0.5$ 和 $Z=2$ 说的是同一件事。 - **向后串**: - **第 6 章校正**:整章都建立在"看 Bode 图、调 $\omega_c$ 和 $\gamma$"上。超前校正就是"给 $\gamma$ 补角度",滞后校正就是"把 $\omega_c$ 拉低换裕度"。**你这一模块学的 $\omega_c$、$\gamma$,就是第 6 章的操作对象。** - **第 8 章非线性**:描述函数法判自振,本质是把奈氏曲线和负倒描述函数曲线 $-1/N(A)$ 放在一起看交点——**判稳逻辑完全照搬本模块**(考点分析 p007 原文:"非线性:本质上还是奈奎斯特")。所以这一模块是后面两章的地基,值得多花时间。

本页涉及的知识点（点进去看它还在哪儿讲过 / 考过）

穿越频率（截止频率）相角裕度与幅值裕度对数坐标图（Bode 图）频率特性（幅频/相频）奈奎斯特图（幅相曲线）传递函数奈奎斯特稳定判据最小相位系统转折频率与渐近线绘制零点与极点