(3) 系统(3)的开环传递函数
\[G(s)H(s)=\frac{K^*}{s(s+4)(s^2+2s+2)}=\frac{K^*}{s(s+4)(s+1\pm j)}\]
① 实轴上的根轨迹：\([-4,0]\)。
② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{-4-1-1}{4}=-1.5\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{4}\)，\(\pm\dfrac{3\pi}{4}\)。
③ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d+4}+\frac{1}{d+1-j}+\frac{1}{d+1+j}=0\]
经计算可得 \(d_1=-3.09\) 或 \(d_{2,3}=-0.7\pm j0.39\)（舍去），故根轨迹的分离点为 \(d=-3.09\)。
图4-38 系统(3)概略根轨迹图
④ 根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程为
\[D(s)=s(s+4)(s^2+2s+2)+K^*$$
$$=s^4+6s^3+10s^2+8s+K^*=0\]
令 \(s=j\omega\)，将其代入上式可得
\[(j\omega)^4+6(j\omega)^3+10(j\omega)^2+8(j\omega)+K^*=0\]
即
\[\begin{cases}\omega^4-10\omega^2+K^*=0\\-6\omega^3+8\omega=0\end{cases}\]
由于 \(\omega\neq 0\)，故可解得
\[\omega=\pm1.16,\quad K^*=11.65\]
则当 \(K^*<11.65\) 时，闭环系统稳定。
根据以上几点，可以画出概略根轨迹图如图4-38所示。
仿真曲线如图4-39～图4-41所示。
MATLAB程序：exe412.m
G1=zpk([], [0 -1 -4], 1); figure(1), rlocus(G1);
G2=zpk([-1], [0 0 -4 -6], 1); figure(2), rlocus(G2);
G3=zpk([], [0 -4 -1+i -1-i], 1); figure(3), rlocus(G3);
图4-39 系统(1)的 \(1+\dfrac{K^*}{s(s+1)(s+4)}=0\) 根轨迹图(MATLAB)以及系统临界稳定点与根轨迹分离点信息
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