题型⑥:离散系统类大题(第7章)
写在最前面:这一章为什么值得你专门啃
851 的大题里,"离散"是几乎年年出现的固定一道(据 ../01_结构化/考点分析/26北方工业大学专业课考点分析_p001.md:"常考大题题型仍然为:时域分析、校正、根轨迹、离散、非线性、Bode 图等")。它一道就是 20 分。
好消息是:这一章要考的东西很窄。同一份考点分析(_p006.md、_p007.md)明说了:
- Z 反变换、用 Z 变换解差分方程 —— 不考察,"这一块学习压力就没那么大";
- 离散系统的瞬态性能指标(要用长除法)—— "这块没有考察过,学有余力的同学可以学一学";
- 真正常考的是三件事:求脉冲传递函数(常结合误差传递函数)、判稳、求稳态误差;
- 并且它点破了难点在哪:"重点是能不能求对闭环传函,这里的闭环传函会比连续那块难一些"。
所以本模块只打这三件事,别的一律不碰(不是漏了,是故意不碰,上面已列明哪些被排除、为什么)。
目标一句话:走完这个模块,2025 年那道 20 分的离散大题,你自己拿笔能做出来。
篇幅长,是因为"离散"对你是全新世界——采样、z 变换、单位圆,你一个都没见过,我得从地面搭梯子。真正的解题动作只有五步,熟了十分钟一道题。别被长度吓到。
1. 先看目标:今天要拿下的这道真题
北方工业大学 2025 年硕士研究生入学考试《自动控制原理》 第八大题:
采样系统结构图如下(原卷是一张方框图,我把它如实还原成文字,还原文本来自
../01_结构化/真题/北方工业大学真题__北方工业大学2025年真题-BUFF控制考研_扫描版_p004.md):输入 \(R(s)\) → 相加点(圆圈带叉,输出记作 \(e(t)\),反馈那一路带负号)→ 采样开关(采样周期 \(T\))→ 环节 \(\dfrac{1}{s(0.1s+1)}\) → 输出 \(C(s)\);\(C(s)\) 经下面那一路直接反馈(放大倍数为 1)回到相加点的负输入端。
(1) 若使系统在 \(r(t)=t\) 时稳态误差为 \(0.1\),试确定采样周期 \(T\) 的值; (2) 求闭环脉冲传递函数并判断系统稳定性(根的分布)。
关于第 (2) 问的措辞,我必须对你说实话:原卷第八题的第 (2) 问文字在我手上的扫描件里被截在页外了(该文件 front-matter 里明写 truncated: true、"第八题采样系统结构图后续内容(第(2)问等)可能延续到下一页")。我上面写的第 (2) 问,是根据两处材料反推出来的:
- 参考解答
_p008.md、_p009.md里第八题(2)的解答内容是"求闭环脉冲传递函数 \(\Phi(z)\) → 写特征方程 \(D(z)\) → 判稳、说明特征根都在单位圆内"; - 考点分析
_p008.md那张 2025 年逐题表里,T8 那一行写的是"离散系统中根据稳态误差求 T,第二问求根的分布情况并求响应"。
所以:题干第 (1) 问是原文,第 (2) 问是我按参考解答和考点分析回填的措辞,不是原卷逐字。 内容方向是可靠的,但别当成原卷原话背。("并求响应"那半句涉及动态响应,考点分析同时说瞬态指标没考过,参考解答对这半句也只写了一句"系统在单位阶跃信号下响应最终趋于稳定值",所以本模块不展开它——不是漏了,是它既非重点、材料也没给完整解答。)
关于图:这道题原本有结构图,但我用的这份材料本身就把方框图还原成了文字(见上面引用),所以我们全程不依赖图片也能做。这是我特意挑它的原因之一。
现在你大概一个词都不认识:什么叫"采样开关"?什么叫"脉冲传递函数"?什么叫"根在单位圆内"?没关系,那正是第 3 节要补的。看完第 2、3、4 节回头再看这道题,它会变得可做。
2. 这类题到底在考什么
一句话:给你一个"信号被每隔 T 秒采样一次"的控制系统,让你把它的传递函数写成 \(z\) 的式子,然后拿这个式子去判稳、去算稳态误差。
它考的其实是连续系统那套本事的平移:
| 你已经会的(连续系统) | 这一章的对应物 |
|---|---|
| 拉氏变换,\(s\) 域 | z 变换,\(z\) 域 |
| 传递函数 \(G(s)\) | 脉冲传递函数 \(G(z)\) |
| 闭环 \(\Phi(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)}\) | 闭环 \(\Phi(z)=\dfrac{G(z)}{1+G(z)}\) |
| 稳定 ⟺ 闭环极点全在左半平面 | 稳定 ⟺ 闭环极点全在单位圆内 |
| 判稳用劳斯判据 | 用"w 变换 + 劳斯"或"朱利判据" |
| 稳态误差用终值定理 + 静态误差系数 | 一模一样,只是换成 \(z\) 的版本 |
看懂这张表,这一章就去掉一半恐惧了:它不是全新的一门课,是把你学过的东西换了个坐标系重讲一遍。真正全新的只有两样:"采样"这个物理动作,和"单位圆"这个新边界。
【顺带说清,免得你以为题型只有这一种】 第 7 章的大题还有几种出法,本模块只做"误差采样的单位反馈系统"这一种(就是开场那道 2025 真题的样子,也是最常见的): - 前向通道里带零阶保持器的(2001 真题、06-14 真题里都出现过)——只多一道工序,我在 §3.4 会把这道工序讲清楚,但例题不选它,免得一上来就两个新东西叠加; - 反馈通道里也有环节、或采样开关位置古怪的(闭环离散系统的结构不唯一,这是 PPT 幻灯片 45 明确说的)——这类要现推,属于进阶,本模块不展开; - 单纯给一个差分方程求脉冲传递函数(选择题里出现过)——小题,不占大题。
这些不是漏掉了,是故意分开,先把最主干的一条路走通。
3. 做这道题需要的最小基础(只补这七块)
这一节只给你做这道题真正用得上的东西。第 7 章还有一大堆内容(采样定理、频谱、Z 反变换、差分方程、长除法……),这道题一个都用不上,而且上面已经说了考点分析明确讲它们不考或极少考。用到哪补哪。
3.1 离散系统到底是什么(先讲物理图景,别急着上公式)
先忘掉数学。想象一个用电脑来控制的系统,比如空调:
- 温度传感器测出来的房间温度,是连续的——每一个瞬间都有一个值,画出来是一条不断线的曲线;
- 但电脑不会看连续信号。电脑只能每隔一小段时间"睁眼看一次"(读一次传感器),看完闭眼算,算完输出一个控制量,然后再等下一次。
"每隔 \(T\) 秒睁眼看一次"这个动作,就叫采样(sampling);\(T\) 就叫采样周期。 结果是:原来那条连续曲线,变成了一串孤零零的点:\(e(0),\ e(T),\ e(2T),\ e(3T),\dots\) 中间发生了什么,系统压根不知道。
- \(T\)(采样周期):相邻两次"睁眼"之间隔多久,单位是秒。\(T=0.1\) 就是每 0.1 秒采一次。
- \(e(nT)\):第 \(n\) 次采样时刻测到的那个数。\(n\) 取 \(0,1,2,3,\dots\)。
- "离散" 这个词的意思就是"一颗一颗分开的、不连成线的"。所以离散系统 = 信号在某处被打成一串点的系统。
结构图里那个采样开关(通常画成一个斜着的开关符号,旁边标 \(T\)),就代表这个"每隔 \(T\) 秒接通一瞬间"的动作。开关闭合的一瞬,信号通过;其余时间断开,什么都不过去。
【你可能会以为】 采样只是"取几个点看看",对系统没什么影响,是个纯记账动作。 但其实采样是真的丢信息——两次采样之间系统干了什么,控制器永远不知道,只能"猜"。所以采样周期 \(T\) 越大(睁眼越少),系统越容易出问题。PPT 幻灯片 56 明确写着:"K 一定时,采样周期 \(T\) 越长,丢失系统信息越多,对稳定性和动态特性均不利。" 因为这个,\(T\) 在离散系统里不是一个无关紧要的参数,而是会直接影响稳不稳、误差多大的关键量。开场那道真题第 (1) 问"由稳态误差反求 \(T\)",考的就是这件事。
3.2 z 变换和 z 域是什么(拿拉氏变换来对照)
你在第 2 章已经接受了一个说法:拉氏变换是一台"翻译机",把"关于时间 \(t\) 的函数"翻译成"关于 \(s\) 的式子",目的是把难算的微分方程变成好算的代数方程(不熟的话回 第02讲 或 预备知识 §4)。
z 变换是同一台翻译机的"离散版"。
| 连续世界 | 离散世界 | |
|---|---|---|
| 原料 | 连续函数 \(f(t)\) | 采样点序列 \(f(0),f(T),f(2T),\dots\) |
| 翻译机 | 拉氏变换 \(\mathcal{L}\) | z 变换 \(\mathcal{Z}\) |
| 译文所在的世界 | \(s\) 域 | \(z\) 域 |
| 译文 | \(F(s)\) | \(F(z)\) |
一句话:\(z\) 域之于离散系统,就等于 \(s\) 域之于连续系统。
\(z\) 到底是什么?它和 \(s\) 之间有一条唯一需要记住的桥:
- \(z\):一个复数(和 \(s\) 一样,是个"带方向的数",复数不熟见 预备知识)。你现在只需要把它当成一个普通字母来做加减乘除,能算就行。
- \(e\):自然常数,约 2.718。\(e^{sT}\) 就是"\(e\) 的 \(sT\) 次方"。
- \(T\):还是那个采样周期。
这条桥现在你先记着,§3.6 讲"为什么稳定边界从直线变成了圆"时全靠它,那是这一章最值得懂的一个"为什么"。
【难点·诚实说】 "z 变换到底怎么算出来的"(定义式是 \(F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)z^{-n}\),即把每个采样值 \(f(nT)\) 乘上 \(z^{-n}\) 再全部加起来)——这个定义你看一眼知道有这么回事就行。考研做题时从来不用定义式硬算,全是查表。这一点和拉氏变换一模一样:你也不是用积分定义去求 \(\mathcal{L}[\sin t]\),你是查表。 第一遍看不懂 \(z=e^{sT}\) 很正常,卡点通常在"为什么偏偏是 \(e\) 的指数"。真要一句话交代来由:采样把信号切成一串间隔 \(T\) 的脉冲,做拉氏变换后每延迟一个 \(T\) 就多乘一个 \(e^{-sT}\),于是式子里到处是 \(e^{-sT}\);干脆令 \(z=e^{sT}\),把这团东西换成一个字母,式子立刻变清爽。z 变换的本质就是"给 \(e^{sT}\) 起个名字"。
3.3 做这道题唯一要用的 z 变换表(就三行)
考研题里,要么题目直接给你 z 变换提示,要么用下面这几条最常见的。本模块从头到尾只用到这三行:
| 时间函数 \(f(t)\) | 拉氏变换 \(F(s)\) | z 变换 \(F(z)\) |
|---|---|---|
| 单位阶跃 \(1(t)\) | \(\dfrac{1}{s}\) | \(\dfrac{z}{z-1}\) |
| 单位斜坡 \(t\) | \(\dfrac{1}{s^2}\) | \(\dfrac{Tz}{(z-1)^2}\) |
| \(e^{-at}\) | \(\dfrac{1}{s+a}\) | \(\dfrac{z}{z-e^{-aT}}\) |
由第三行可以推出一条极其常用的组合(几乎每道离散大题都要用它,包括我们这道):
这个式子在说什么:如果连续环节的传递函数长成 \(\dfrac{1}{s(s+a)}\) 这个样子,那它对应的 \(z\) 域式子就是右边这一坨。 每个符号是什么:\(a\) 是你从分母 \(s+a\) 里读出来的那个正数;\(T\) 是采样周期;\(e^{-aT}\) 是一个具体数字(比如 \(a=10,T=0.1\) 时 \(e^{-aT}=e^{-1}\approx0.368\))。 怎么用:把你的环节整理成 \(\dfrac{1}{s(s+a)}\) 的形状,读出 \(a\),直接套。
它是怎么来的(不要背结论,推一遍你就不会记错了):先做部分分式分解(不熟见 预备知识),
然后逐项查上面那张表:\(\dfrac{1}{s}\to\dfrac{z}{z-1}\),\(\dfrac{1}{s+a}\to\dfrac{z}{z-e^{-aT}}\),于是
中间那步只是通分、然后把分子里的 \(z\) 消掉:\((z-e^{-aT})-(z-1)=1-e^{-aT}\)。全程只有小学分数运算。
【难点·必须点破,这是本章第一大坑】 \(G(z)\) 不是把 \(G(s)\) 里的 \(s\) 换成 \(z\)!也不是"对 \(G(s)\) 做一次什么变换"。正确理解是:\(G(z)\) 是"\(G(s)\) 所对应的那个时间函数 \(g(t)\),按周期 \(T\) 采样后,再做 z 变换"的结果。所以路径是 \(G(s)\to g(t)\to g(nT)\to G(z)\),查表其实就是把这条路径打包好了。 这也解释了为什么 \(G(z)\) 里会冒出 \(e^{-aT}\) 这种带 \(T\) 的东西——\(T\) 是采样带进来的,\(G(s)\) 里根本没有 \(T\)。看到答案里有 \(T\) 别慌,那是对的。 记号约定:材料里常把它写成 \(\mathcal{Z}[G(s)]\) 或 \(G(z)=\mathcal{Z}\{G(s)\}\),是同一个意思的简写,不是又一种新变换。
3.4 零阶保持器是什么、干嘛用的
我们这道例题没有零阶保持器,但真题里带保持器的版本非常多(1999、2001、06-14 都出现过),所以必须给你讲清楚,不然你看到别的题会懵。
问题背景:采样把连续信号打成了一串孤立的点。可是被控对象(电机、加热器)是个实实在在的物理东西,它要的是连续的电压/电流,你不能只在采样瞬间给它一下、其余时间什么都不给。所以必须有个东西把离散的点重新"填"回成连续信号。
零阶保持器(记作 \(G_h(s)\))就是干这个的,它的做法最笨也最实用:采到一个值,就把这个值原封不动保持住,一直保持到下一次采样。 于是输出是一条阶梯状的曲线(PPT 幻灯片 22 原话:"在一个采样间隔内能保持采样瞬刻的值不变")。"零阶"的意思是"用零次多项式(也就是常数)去外推",所以 PPT 把它叫"按常值外推的保持器"。
它的传递函数(PPT 幻灯片 23):
- 这个式子在说什么:输入一个瞬时脉冲,输出是一个"从 0 到 \(T\) 之间高度为 1、之后归零"的方块。
- 怎么来的:那个方块可以写成"\(t=0\) 起跳的阶跃"减去"\(t=T\) 起跳的阶跃",即 \(1(t)-1(t-T)\)。查拉氏变换表:\(1(t)\to\dfrac{1}{s}\),延迟 \(T\) 秒就多乘 \(e^{-Ts}\),所以 \(1(t-T)\to\dfrac{e^{-Ts}}{s}\)。相减即得。
- 怎么用:如果前向通道是"零阶保持器 + 连续环节 \(G_p(s)\)",那么开环脉冲传递函数不是分别变换再相乘,而是套 PPT 幻灯片 44 的这个固定公式:
意思是:把 \(G_p(s)\) 先除以 \(s\)、查表变到 \(z\) 域,再乘上 \(\left(1-z^{-1}\right)\)(其中 \(z^{-1}=\dfrac1z\))。为什么能这么合并:因为 \(G_h(s)G_p(s)=\dfrac{G_p(s)}{s}-e^{-Ts}\dfrac{G_p(s)}{s}\),而 \(e^{-Ts}\) 正好就是"延迟一个采样周期",在 \(z\) 域里就是乘 \(z^{-1}\)。
- 它带来什么代价:保持器输出是阶梯,天然比真信号"慢半拍",相当于引入了相位滞后,会降低稳定性、减小相角裕度(06-14 那份真题的红笔批注和 06-14 答案里都写了这一点:"零阶保持器产生的滞后相移会对闭环系统稳定性产生不利影响")。这句话在简答/定性题里可以直接用。
3.5 脉冲传递函数、闭环脉冲传递函数、误差脉冲传递函数
脉冲传递函数 = 离散系统版的传递函数。 定义方式和连续的一模一样:
- \(C(z)\):输出采样序列的 z 变换;\(R(z)\):输入采样序列的 z 变换。
- 名字里带"脉冲"两个字,是因为采样后的信号在数学上被当成一串脉冲(每隔 \(T\) 出现一个),不是说它只对脉冲输入有效。你就把它当"传递函数"读。
对于开场那道题这种误差采样的单位反馈结构(采样开关在偏差 \(e(t)\) 处,反馈系数为 1),有(PPT 幻灯片 53):
- \(\Phi(z)\)(读作"phi z"):闭环脉冲传递函数,输出比输入。
- \(\Phi_e(z)\):误差脉冲传递函数,偏差比输入。这就是考点分析里说的"求脉冲传递函数会结合求误差传函考察"的那个东西。
- \(G(z)\):开环脉冲传递函数(从相加点出发、绕一圈回到相加点之前经过的所有环节的 \(z\) 域乘积)。本题反馈系数是 1,所以绕一圈就只有前向那一个环节。
和连续系统对照着记:连续系统里 \(\Phi(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)}\)、\(\Phi_e(s)=\dfrac{1}{1+G(s)}\),形状一模一样,只是把 \(s\) 换成 \(z\)(不熟的话回 题型01 和 第02讲)。
【难点·本章真正的坑,考点分析点名的那个】 考点分析
_p007.md原话:"重点是能不能求对闭环传函,这里的闭环传函会比连续那块难一些。"难在哪?难在采样开关的位置决定了式子长什么样。PPT 幻灯片 45 明说:"采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能,所以闭环离散系统没有唯一的结构形式。" 具体地:两个环节之间有没有采样开关隔着,结果完全不同—— - 中间有采样开关:\(\mathcal{Z}[G_1G_2]=G_1(z)G_2(z)\),可以各变各的再相乘; - 中间没有采样开关:必须先把两个连续环节乘起来再整体变换,记作 \(G_1G_2(z)\),一般 \(G_1G_2(z)\ne G_1(z)G_2(z)\)。这就是为什么"对系统的前向环节和反馈环节分别进行 z 变换即可得到脉冲传递函数"是一句错话——它正是 06-14 某年选择题的错误选项(见
../01_结构化/真题/北方工业大学真题__北方工业大学真题及其答案__06--14，17，19--21真题及答案__06-14真题__扫描全能王_2024-07-10_13.13_023.md第 5 题,答案选 B 即"这句是错的")。 本模块的例题里,前向通道只有一个环节,所以完全绕开了这个坑;但你要知道坑在那儿,做别的题时第一件事就是看每个环节两边有没有采样开关。
3.6 判稳:为什么边界从"左半平面"变成了"单位圆"
连续系统你已经会了:稳定 ⟺ 所有闭环极点都在 \(s\) 平面的左半平面(实部为负)。
离散系统的结论是(PPT 幻灯片 53):
- "单位圆":\(z\) 平面上以原点为圆心、半径为 1 的那个圆。
- \(|z_j|\):复数 \(z_j\) 的模,就是它到原点的距离。\(|z_j|<1\) 就是"这个根离原点不到 1"。
- \(|z_j|=1\)(落在圆周上)是临界稳定;\(|z_j|>1\)(跑到圆外)是不稳定。
为什么是圆?这里必须讲透,不许你背。 全靠 §3.2 那条桥 \(z=e^{sT}\)。设 \(s=\sigma+j\omega\)(\(\sigma\) 是实部,\(\omega\) 是虚部),那么
(用到一条复数事实:\(e^{j\theta}\) 这种"纯转角"的数,模永远等于 1,它只管方向不管长短。)于是:
- \(\sigma<0\)(在左半平面)→ \(e^{\sigma T}<1\) → \(|z|<1\),在单位圆内;
- \(\sigma=0\)(在虚轴上)→ \(e^{0}=1\) → \(|z|=1\),正好在单位圆周上;
- \(\sigma>0\)(在右半平面)→ \(e^{\sigma T}>1\) → \(|z|>1\),在单位圆外。
结论:\(z=e^{sT}\) 这个映射,把 \(s\) 平面的整个左半平面"卷"成了 \(z\) 平面的单位圆内部,把那条作为边界的虚轴卷成了单位圆周。 所以判稳的规则没变(还是"根要待在稳定区里"),只是稳定区换了个形状。
【你可能会以为】 既然规则一样,那我把离散系统的特征方程直接拿去列劳斯表不就行了? 但其实不行。 PPT 幻灯片 54 原话:"离散系统是以单位圆为边界,不是虚轴,不能直接引用劳斯判据。" 因为劳斯判据这个工具从设计上就只会回答一件事:"有没有根跑到虚轴右边去"。它根本不认识"圆"这种边界。你把 \(z\) 的多项式扔进劳斯表,算出来的东西没有任何意义。
于是有了两种合法的判稳方法(考点分析 _p007.md 明确列了这两种:"有非线性加劳斯和朱利判据两种方法" —— 这里"非线性"应为"双线性变换的笔误/OCR 误,PPT 幻灯片 54 用的正是"双线性变换"一词,特此标注,我按 PPT 为准):
方法 A:w 变换(双线性变换)+ 劳斯判据
思路特别直白:既然劳斯只认虚轴,那我就把圆掰直成虚轴。 用这个换元(PPT 幻灯片 54):
它的效果是:\(z\) 平面的单位圆内部 ⟼ \(w\) 平面的左半平面。于是"根在单位圆内"就变成了"根在左半平面",劳斯判据立刻可用。
完整步骤(五步,一步都别跳): 1. 写出闭环特征方程 \(D(z)=1+G(z)=0\),整理成 \(z\) 的多项式 \(=0\)(分母乘过去); 2. 把每个 \(z\) 都换成 \(\dfrac{w+1}{w-1}\); 3. 两边同乘 \((w-1)^n\)(\(n\) 是多项式最高次)把分母清掉,展开、合并同类项,得到一个 \(w\) 的多项式 \(=0\); 4. 对这个 \(w\) 多项式列劳斯表(和第 3 章完全一样的做法,回 第05讲); 5. 劳斯表第一列全部同号(通常是全正)⟺ 稳定;有几次变号就有几个根在右半 \(w\) 平面,也就是几个根在单位圆外。
考点分析对这个方法的评价原话是:"比较喜欢非线性(按 PPT 应为双线性)加劳斯,但这种做法计算量较大,需要用到转化很容易因为步骤出错"。所以它可靠但费手,适合带参数 \(K\) 求范围的题。
方法 B:朱利(Jury)判据 —— 直接在 \(z\) 域上判
朱利判据不用换元,直接看 \(D(z)\) 的系数。完整版要构造一张"\(2n-3\) 行、\(n+1\) 列的朱利阵列"(PPT 幻灯片 56,并注明"见 p352",即教材第 352 页)。
但考研里绝大多数题是二阶(\(n=2\)),而二阶时下面三条既必要又充分,三条全过就是稳定。设
则稳定的充要条件是:
- \(D(1)\):把 \(z=1\) 代进去算出来的数;\(D(-1)\):把 \(z=-1\) 代进去算出来的数;
- \(a_0\):常数项(即 \(D(0)\));\(a_2\):最高次项系数(首项归一化成 1 时,第三条就是 \(|a_0|<1\))。
- 前两条的几何含义:\(z=1\) 和 \(z=-1\) 是单位圆和实轴的两个交点,这两点上多项式不变号,说明根没"越过"这两处边界;第三条控制根的模的乘积(二次方程两根之积 \(=a_0/a_2\)),\(|a_0/a_2|<1\) 才可能两根的模都小于 1。
【诚实边界,不许我糊弄你】 上面这三条是二阶情形的完整充要条件。对更高阶(\(n\ge3\)),这三条只是必要条件(不满足一定不稳定,满足了还不一定稳定),必须再补朱利阵列里的其余行才严谨。2025 年真题那道恰好是二阶,参考解答用的正是这三条(见
_p009.md)。遇到三阶及以上,老实用 w 变换 + 劳斯,这也是为什么考点分析里说很多人偏爱 w 变换法。
根的分布怎么答:题目问"根的分布情况",标准答法是——求出特征根(或用判据),然后说"\(|z_1|=|z_2|<1\),特征根均位于 \(z\) 平面的单位圆内,故系统稳定"。这就是 2025 参考解答 _p009.md 的原话形式。
3.7 稳态误差:公式和连续系统一一对应
稳态误差 \(e(\infty)\) 的意思:时间足够长以后,系统的输出还差目标多少(差值稳定下来的那个数)。不熟回 第05讲。
唯一的计算工具是 z 域的终值定理(PPT 幻灯片 29、57):
- 这个式子在说什么:想知道"时间趋于无穷时误差是多少",不用真去求出误差随时间怎么变,只要把 \(E(z)\) 乘上 \((z-1)\)、然后令 \(z\to1\) 即可。
- 为什么是 \(z\to1\):因为 \(z=e^{sT}\),而连续系统的终值定理是 \(s\to0\);\(s=0\) 对应 \(z=e^{0}=1\)。又是那条桥。
- \(E(z)=\Phi_e(z)R(z)=\dfrac{R(z)}{1+G(z)}\),就是 §3.5 的误差脉冲传递函数乘上输入。
注意前提:终值定理只有在系统稳定时用才有意义(不稳定的系统误差是发散的,算出来的"终值"是假的)。所以严格的做题顺序是先判稳、再算稳态误差——但考试时题目往往按自己的顺序问,照答即可。
由此可以像连续系统那样定义静态误差系数,并得到一张表(PPT 幻灯片 60-64,逐条核对):
| 输入 | \(R(z)\) | 误差系数定义 | 稳态误差 |
|---|---|---|---|
| 单位阶跃 \(1(t)\) | \(\dfrac{z}{z-1}\) | \(K_p=\lim\limits_{z\to1}\left[1+G(z)\right]\)(静态位置误差系数) | \(e(\infty)=\dfrac{1}{K_p}\) |
| 单位斜坡 \(t\) | \(\dfrac{Tz}{(z-1)^2}\) | \(K_v=\lim\limits_{z\to1}(z-1)G(z)\)(静态速度误差系数) | \(e(\infty)=\dfrac{T}{K_v}\) |
| 单位加速度 \(\tfrac12t^2\) | \(\dfrac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}\) | \(K_a=\lim\limits_{z\to1}(z-1)^2G(z)\)(静态加速度误差系数) | \(e(\infty)=\dfrac{T^2}{K_a}\) |
系统"型别"怎么数(PPT 幻灯片 59):看开环脉冲传递函数 \(G(z)\) 里有几个 \(z=1\) 的极点(也就是分母里有几个 \((z-1)\) 因子)。0 个叫 0 型,1 个叫 Ⅰ 型,2 个叫 Ⅱ 型。这和连续系统"数分母里有几个 \(s\)"是同一个套路,只是把"\(s=0\)"换成了"\(z=1\)"——还是那条桥。
对应的误差表(PPT 幻灯片 64,逐格核对):
| 系统类型 | 位置误差 \(r=1(t)\) | 速度误差 \(r=t\) | 加速度误差 \(r=\tfrac12t^2\) |
|---|---|---|---|
| 0 型 | \(1/K_p\) | \(\infty\) | \(\infty\) |
| Ⅰ 型 | 0 | \(T/K_v\) | \(\infty\) |
| Ⅱ 型 | 0 | 0 | \(T^2/K_a\) |
【难点·最容易被忽略的一点】 注意速度误差那格是 \(\dfrac{T}{K_v}\),分子上有个 \(T\),连续系统里是 \(\dfrac{1}{K_v}\) 没有 \(T\)。这个 \(T\) 是采样带来的,而且它意味着一件很重要的事:采样周期越大,稳态误差越大(PPT 幻灯片 63 明确列了"与采样周期 \(T\) 有关,\(T\) 增大则 \(e(\infty)\) 增大")。 开场那道 2025 真题第 (1) 问能"由稳态误差反求 \(T\)",靠的就是这个 \(T\)。 如果你把公式记成连续版的 \(1/K_v\),这道题你根本无从下手——这就是它设的考点。
4. 套路:五步拿下(记死这五步)
这类题的解法固定就这五步。顺序可以按题目问的调整,但动作永远是这几个:
- 第一步 · 看结构,写出开环脉冲传递函数 \(G(z)\)。 先看采样开关在哪、前向通道上有几个环节、有没有零阶保持器。
- 没有保持器、前向只有一个环节 \(G_p(s)\):直接查表得 \(G(z)=\mathcal{Z}[G_p(s)]\);
- 有零阶保持器:套 §3.4 的公式 \(G(z)=(1-z^{-1})\mathcal{Z}\left[\dfrac{G_p(s)}{s}\right]\);
-
查表前先把 \(G_p(s)\) 整理成表里有的形状(常见是化成 \(\dfrac{1}{s(s+a)}\))。
-
第二步 · 写闭环 / 误差脉冲传递函数。 单位反馈误差采样:\(\Phi(z)=\dfrac{G(z)}{1+G(z)}\),\(\Phi_e(z)=\dfrac{1}{1+G(z)}\)。通分整理成 \(z\) 的多项式之比,不要留复合分式。
-
第三步 · 写特征方程 \(D(z)=0\)。 \(D(z)\) 就是 \(\Phi(z)\) 的分母,也就是 \(1+G(z)=0\) 通分后的分子。按 \(z\) 的降幂排好。
-
第四步 · 判稳(二选一)。 二阶且系数是数字 → 用朱利三条件(\(D(1)>0\)、\(D(-1)>0\)、\(|a_0|<a_2\)),最快; 三阶以上、或带未知参数 \(K\) 要求范围 → 用 w 变换 + 劳斯。 结论落笔要写成"根均在单位圆内 ⟹ 稳定"。
-
第五步 · 求稳态误差。 先判断系统型别(数 \(G(z)\) 分母里 \((z-1)\) 的个数)→ 按输入类型选 \(K_p/K_v/K_a\) → 查 §3.7 那张表得 \(e(\infty)\)。 或者不背表,直接用终值定理 \(e(\infty)=\lim\limits_{z\to1}(z-1)\dfrac{R(z)}{1+G(z)}\) 硬算(更保险,推荐)。
每一步为什么这么做,下面例题里边做边说。
5. 例题手把手:就用开场那道 2025 真题
单位反馈误差采样系统,采样开关周期 \(T\) 位于偏差 \(e(t)\) 处,前向通道连续环节 \(G_p(s)=\dfrac{1}{s(0.1s+1)}\),反馈系数 1。 (1) 若 \(r(t)=t\) 时稳态误差为 \(0.1\),求 \(T\); (2) 求闭环脉冲传递函数并判稳(根的分布)。
第一步:求开环脉冲传递函数 \(G(z)\)
先把 \(G_p(s)\) 整理成表里有的形状。分母里的 \(0.1s+1\) 不好查表,提出 \(0.1\):
(把 \(0.1s+1\) 写成 \(0.1(s+10)\),再把 \(\dfrac{1}{0.1}=10\) 提到分子上。)
现在它是 \(10\times\dfrac{1}{s(s+a)}\) 的形状,\(a=10\)。套 §3.3 那个公式:
前面那个 \(10\) 和 \(\dfrac1a=\dfrac1{10}\) 正好抵消,式子很干净。这一步的结果和参考解答 _p008.md 上写的一字不差,你可以对照。
为什么第一步做这个:后面所有东西(\(\Phi(z)\)、\(D(z)\)、误差)全是从 \(G(z)\) 长出来的。\(G(z)\) 错了,整道题全错。所以这一步慢一点、把 \(a\) 读准。
注意:题目没给 \(T\) 的数值,所以 \(G(z)\) 里就带着 \(T\) 走——这很正常,第 (1) 问要求的就是它。
第二步(对应第 (1) 问):由稳态误差反求 \(T\)
先判型别:看 \(G(z)\) 的分母 \((z-1)(z-e^{-10T})\),里面有一个 \((z-1)\) 因子,即一个 \(z=1\) 的极点 ⟹ Ⅰ 型系统。
输入是 \(r(t)=t\)(单位斜坡),查 §3.7 的表:Ⅰ 型系统 + 斜坡输入 ⟹ \(e(\infty)=\dfrac{T}{K_v}\),其中
算 \(K_v\):
前面乘上的 \((z-1)\) 和分母里的 \((z-1)\) 约掉了——这就是为什么要乘它:\(G(z)\) 在 \(z=1\) 处本来是"分母为 0、值为无穷",乘掉这个因子才能取到有限值。
现在放心地令 \(z=1\):
分子分母的 \(\left(1-e^{-10T}\right)\) 整个约掉,\(K_v=1\),不管 \(T\) 等于多少。于是
题目要求 \(e(\infty)=0.1\),所以
为什么这么做:这道题的巧妙之处在于 \(K_v\) 恰好把 \(T\) 全约掉了,于是"稳态误差 \(=T\)",一眼反求。这正是 §3.7 那个【难点】说的:离散系统斜坡误差公式分子上那个 \(T\),是这道题唯一的抓手。 如果你写成 \(1/K_v=1\),就会得出"误差恒为 1"的荒谬结论,题目直接做不下去。
第三步(对应第 (2) 问):求闭环脉冲传递函数
把 \(T=0.1\) 代回 \(G(z)\)。先算那个指数:\(-10T=-10\times0.1=-1\),所以
(考卷通常会像 2023 年那样在题末注明"\(e^{-1}=0.368\)";没注明就写成 \(e^{-1}\) 保留符号也算对。)
(\(1-0.368=0.632\)。)
套 §3.5 的闭环公式:
通分技巧(必须掌握,不然式子会乱):上下同乘 \(G(z)\) 的分母 \((z-1)(z-0.368)\),可以一步到位:
——分子就是 \(G(z)\) 的分子,分母是"\(G(z)\) 的分母 + \(G(z)\) 的分子"。
展开分母: $\((z-1)(z-0.368)=z^2-0.368z-z+0.368=z^2-1.368z+0.368\)$ $\(z^2-1.368z+0.368+0.632z=z^2+(-1.368+0.632)z+0.368=z^2-0.736z+0.368\)$
顺手把误差脉冲传递函数也写出来(考点分析说这两个常一起考,而且它一分钱力气都不用多花):
——分母和 \(\Phi(z)\) 完全一样(闭环和误差传函永远共用同一个分母,这就是特征方程),分子换成了 \(G(z)\) 的分母。
核对:参考解答 _p008.md 写的是 \(\Phi(z)=\dfrac{(1-e^{-1})z}{z^2-2e^{-1}z+e^{-1}}\)。检查一下:\(2e^{-1}=2\times0.368=0.736\) ✓,\(e^{-1}=0.368\) ✓,分子 \(1-e^{-1}=0.632\) ✓。完全一致。
第四步:写特征方程并判稳
特征方程就是闭环的分母令为零:
这是二阶、系数全是数字,直接用朱利三条件(§3.6):
- \(D(1)=1-0.736+0.368=0.632>0\) ✓
- \(D(-1)=(-1)^2-0.736\times(-1)+0.368=1+0.736+0.368=2.104>0\) ✓
- \(|a_0|=|0.368|=0.368<a_2=1\) ✓
三条全过 ⟹ 系统稳定。按"根的分布"来回答:
\(|z_1|=|z_2|<1\),两个特征根均位于 \(z\) 平面的单位圆内,故闭环系统稳定。
(参考解答 _p009.md 的落笔就是这句。为什么能直接说两根的模相等:\(D(z)\) 的判别式 \(\Delta=0.736^2-4\times0.368=0.542-1.472<0\),两根是一对共轭复数,共轭复数的模天然相等,且两根之积 \(=0.368\),故 \(|z_1||z_2|=0.368\)、\(|z_1|=|z_2|=\sqrt{0.368}\approx0.607<1\)。这一步不写也不扣分,写了更漂亮。)
第五步(加练,不是本题要求):用 w 变换 + 劳斯再验一遍
考点分析说很多人偏爱这个方法,所以我在这道题上把它完整走一遍给你看,你以后遇到"求 \(K\) 范围"的题就照抄流程。
把 \(z=\dfrac{w+1}{w-1}\) 代入 \(D(z)=z^2-0.736z+0.368=0\):
两边同乘 \((w-1)^2\) 清分母(\(n=2\) 所以乘 2 次方):
逐项展开(用 \((w+1)^2=w^2+2w+1\)、\((w+1)(w-1)=w^2-1\)、\((w-1)^2=w^2-2w+1\)):
- \((w+1)^2 = w^2+2w+1\)
- \(-0.736(w^2-1)=-0.736w^2+0.736\)
- \(0.368(w^2-2w+1)=0.368w^2-0.736w+0.368\)
合并同类项: - \(w^2\) 项:\(1-0.736+0.368=0.632\) - \(w^1\) 项:\(2+0-0.736=1.264\) - 常数项:\(1+0.736+0.368=2.104\)
列劳斯表(二阶的劳斯表就是把系数摆两列):
| 第一列 | 第二列 | |
|---|---|---|
| \(w^2\) | \(0.632\) | \(2.104\) |
| \(w^1\) | \(1.264\) | |
| \(w^0\) | \(2.104\) |
第一列 \(0.632,\ 1.264,\ 2.104\) 全为正、无变号 ⟹ 无根在右半 \(w\) 平面 ⟹ 无根在单位圆外 ⟹ 稳定。
和朱利判据结论一致 ✓。 两种方法互为验算,考场上时间够的话可以这么保险。
顺带说个小规律:上面那三个数其实就是 \(D(1)\) 的相关量——\(w^2\) 系数 \(0.632=D(1)\),常数项 \(2.104=D(-1)\)。这不是巧合:\(w\) 平面多项式的首项系数恒等于 \(D(1)\)、常数项恒等于 \(D(-1)\)(把 \(w\to\infty\) 对应 \(z\to1\)、\(w=0\) 对应 \(z=-1\) 代进去就看出来了)。这也解释了朱利判据里为什么偏偏要查 \(D(1)>0\) 和 \(D(-1)>0\)——两种判据本质是同一件事的两种写法。
本题最终答案汇总
停一下,回头看第 1 节那道题。 20 分的大题,你刚刚从头到尾走完了。
6. 你来做:一道结构完全一样的变式题(带详细答案)
练习题(自编,仿真题难度)——特此说明:这道题是我按 2025 真题同等难度自己编的,不是任何一年的真题原题,别当真题记。 数字我特意换过,不能靠记答案蒙混。
单位反馈误差采样系统:输入 \(r(t)\) → 相加点(反馈取负)→ 采样开关(采样周期 \(T=1\) s)→ 连续环节 \(G_p(s)=\dfrac{1}{s(0.5s+1)}\) → 输出 \(c(t)\);\(c(t)\) 经单位反馈(系数为 1)接回相加点负端。前向通道无零阶保持器。
已知 \(e^{-2}=0.135\)。求: (1) 开环脉冲传递函数 \(G(z)\); (2) 闭环脉冲传递函数 \(\Phi(z)\) 和误差脉冲传递函数 \(\Phi_e(z)\); (3) 判断系统稳定性(说明根的分布); (4) 输入 \(r(t)=t\) 时的稳态误差 \(e(\infty)\)。
先自己拿笔做,再看答案。 卡住了,对照下面提示回看对应位置:
- 不知道 \(G(z)\) 怎么来 → 回看 §3.3 那个 \(\dfrac{1}{s(s+a)}\) 的公式 和 §5 第一步(重点是把 \(0.5s+1\) 整理成 \(0.5(s+2)\));
- 不知道闭环怎么通分 → 回看 §5 第三步的"分母 = \(G\) 的分母 + \(G\) 的分子"那个技巧;
- 不会判稳 → 回看 §3.6 朱利三条件 和 §5 第四步;
- 不会算稳态误差 → 回看 §3.7 那张表(注意分子上有 \(T\))和 §5 第二步。
第2章 拉氏变换 / 传递函数
│ (同一套思路,换个坐标系)
▼
采样(每隔T看一次) ──► z变换 ──► z域 桥: z = e^{sT}
│
┌───────────────┼────────────────┐
▼ ▼ ▼
脉冲传递函数 稳定性判据 稳态误差
G(z)=Z[G_p(s)] |z|<1 单位圆内 终值定理 z→1
带保持器则 │
(1-z^{-1})Z[G_p/s] ┌────┴────┐ 静态误差系数
│ │ │ K_p,K_v,K_a
▼ w变换+劳斯 朱利判据 e(∞)=T/K_v (Ⅰ型斜坡)
Φ(z)=G/(1+G) (把圆掰成虚轴) (直接在z域)
Φ_e(z)=1/(1+G) │
│ └── 桥的对应: s左半平面 ⟷ z单位圆内
└── 分母 D(z)=1+G(z) = 特征方程 ── 根的分布