第16讲　第七章：离散系统——从"连续的世界"跳到"一格一格的世界"

读法建议：这一讲是第七章的开章课，老师前半节在"画地图"（整章有哪些东西），后半节才开始细讲（概念、采样、保持器、Z变换、脉冲传递函数、判稳）。稳态误差和暂态性能他明确说留到下一讲。 这一讲我标了 11 处【难点】。最狠的两处是 5.3 节"有没有采样开关，公式完全不同"和 5.5 节"闭环脉冲传递函数有时候根本求不出来"——这两处是北方工大 T8 大题的命门（据《26北方工业大学专业课考点分析》p008 表，2023/2024/2025 三年 T8 全是离散题）。 第 0 节不能跳。 这一章会把前六章的词全部再用一遍（传递函数、极点、稳定、稳态误差、根轨迹、劳斯判据），同时又塞进一堆全新的词（采样、Z变换、差分方程、脉冲传递函数、单位圆）。你如果对旧词已经模糊，新词会直接压垮你。所以我先把旧词翻译一遍。

0. 开讲前：把这一章要用的"旧词"和"新词"先各摆一排

0.1 你必须还记得的旧词（记不清就先看这一段，不许硬撑）

• 传递函数 \(G(s)\)：在"零初始条件"（系统一开始静止、没存能量）下，输出的拉氏变换除以输入的拉氏变换。它是一个系统的身份证，只跟系统本身有关，跟你给什么输入无关。
• 拉氏变换：一台"翻译机"。把时间域里难解的微分方程（含导数的方程），翻译成 \(s\) 的代数方程（只有加减乘除、乘方），解完再翻译回去。\(s\) 是一个复数变量（形如 \(s=\sigma+j\omega\)，\(j\) 是虚数单位，\(j^2=-1\)）。
• 极点：传递函数分母等于零的那些 \(s\) 值。物理意义是"系统天然会怎么动"——每个极点对应输出里的一项运动模式。
• 稳定：给系统一个扰动，扰动过去之后系统能自己回到原状态，不会越晃越大。连续系统稳定的充要条件是：所有闭环极点都在 \(s\) 平面左半边（实部为负）。为什么？因为极点 \(s=-a\) 对应的运动是 \(e^{-at}\)，\(a>0\) 时它随时间衰减到 0；若 \(a<0\) 则 \(e^{+|a|t}\) 越来越大，发散。
• 劳斯判据：不解方程，只看特征方程系数排出的一张表，就能判断"有没有根跑到右半平面"。
• 稳态误差 \(e(\infty)\)：时间足够长以后，输出跟不上输入而剩下的那点差值。连续系统用终值定理 \(e(\infty)=\lim_{s\to 0}sE(s)\) 求。
• 根轨迹：某个参数（通常是开环增益 \(K\)）从 0 变到无穷时，闭环极点在复平面上走出来的轨迹。
• 特征方程 / 特征多项式：把闭环传递函数的分母令为零得到的那个方程，就叫特征方程；分母那个多项式叫特征多项式，本讲统一记作 \(D(z)\)。它的根就是闭环极点（也叫特征根）。单位反馈式的写法是 \(1+G(s)H(s)=0\)（离散里是 \(1+HG(z)=0\)）。为什么它这么重要？因为判稳只看极点在哪，而极点就是特征方程的根——所以一切判稳方法（劳斯、朱利、双线性）操作的对象都是它。
• 相角裕度 \(\gamma\)（第五章）：衡量系统"离不稳定还有多远"的一个安全余量。做法是找到开环幅频特性等于 1（0 dB）的那个频率，看此处的相角比 \(-180^\circ\) 还高出多少度，高出的度数就是相角裕度。\(\gamma\) 越大越稳、越小越危险，\(\gamma<0\) 就不稳定了。所以任何"额外的相角滞后"都会把 \(\gamma\) 吃掉一块，这就是后面说零阶保持器损害稳定性的原因。
• 暂态（动态）性能指标（第三章，本讲和下一讲反复出现）：都是在单位阶跃输入下从输出曲线上读的：
• 超调量 \(\sigma\%\)：输出冲过最终稳态值的最大幅度占稳态值的百分比，衡量"冲过头有多狠"。
• 峰值时间 \(t_p\)：第一次冲到最高点所用的时间，衡量"冲得多急"。
• 调节时间 \(t_s\)：输出进入并从此不再跳出稳态值 \(\pm5\%\)（或 \(\pm2\%\)）误差带所需的时间，衡量"多久才安定下来"。
• 振荡次数 \(N\)：在调节时间内输出来回摆动的次数，衡量"晃了几个来回"。
• 阻尼比 \(\zeta\)（第三章二阶系统）：一个无量纲的数，衡量系统"被阻尼压住的程度"。\(\zeta=0\) 等幅振荡不停；\(0<\zeta<1\) 是衰减振荡（晃着停下来），\(\zeta\) 越大晃得越少、超调量越小；\(\zeta\ge1\) 就不振荡了，单调地趋于稳态。
• 系统型别 \(\nu\) 与静态误差系数（第三章，本讲第 7 节预告要用）：把开环传递函数里积分环节（\(\frac1s\)）的个数记作 \(\nu\)，称为系统的"型别"（0 型、Ⅰ 型、Ⅱ 型）。等价说法是"\(s=0\) 处开环极点的个数"。型别决定了系统对阶跃/斜坡/加速度输入的稳态误差是零、是常数还是无穷大。对应的三个衡量指标叫静态误差系数：位置误差系数 \(K_p\)（对付阶跃输入）、速度误差系数 \(K_v\)（对付斜坡输入）、加速度误差系数 \(K_a\)（对付加速度输入）——系数越大，稳态误差越小。
• 拉氏变换算符 \(\mathscr{L}\) 和 \(\mathscr{L}^{-1}\)：这个花体大写字母就是"对它做拉氏变换"这个动作的记号，\(\mathscr{L}[f(t)]=F(s)\)；带 \(-1\) 的 \(\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=f(t)\) 表示反过来（拉氏反变换，从 \(s\) 域变回时域）。它只是个记号，不是什么新东西。本讲同理用 \(Z[\ \cdot\ ]\) 表示"做 Z变换"。

【补前置】"零初始条件"是什么意思？就是在你把输入加进去之前，系统里所有储能元件（电容上的电压、电感里的电流、弹簧的形变、物体的速度）都是零。为什么定义传递函数一定要它？因为如果系统一开始就带着能量，输出里会混进"跟输入无关的那部分运动"，那"输出/输入"这个比值就不再是系统的身份证了，它还含着初始状态的信息。

0.2 这一讲会冒出来的新词（先扫一眼，正文会逐个大白话讲）

离散信号、采样、采样周期 \(T\)、采样开关、采样定理、零阶保持器、Z变换、Z反变换、差分方程、脉冲传递函数、单位圆、朱利判据、双线性变换。

一个都不许你"看着眼熟就跳过去"。

1. 为什么要有第七章：连续系统的一整套工具，突然不好使了

1.1 什么叫离散系统（用大白话）

前六章讲的所有东西，信号都是连续的：温度 \(c(t)\) 在任何一个时刻 \(t\) 都有值，画出来是一条不断线的曲线。

现在换一种系统：里面某个地方的信号，只在一个个孤立的时刻才有值，中间是空的。比如你用计算机控制炉温：计算机不可能"时时刻刻"读温度，它每隔 0.1 秒读一次，读到的是 \(e(0),\ e(0.1),\ e(0.2),\dots\) 这样一串数。这一串数就是离散信号。

据 PPT 幻灯片 4 的定义（用词照抄）：

• 离散信号：脉冲序列和数字信号统称为离散信号。
• 离散系统：控制系统中有一处或多处信号是脉冲序列或数字信号的系统。
• 采样（脉冲）控制系统：离散信号是脉冲序列形式的离散系统。
• 数字控制系统：离散信号是数字序列形式的离散系统。

老师在课上强调了一个判定要点（要点转述）：只要系统里有某一个环节出现了离散信号，整个系统就不再是连续系统，而是离散系统——不是"大部分连续就算连续"。

【补前置】"脉冲序列"和"数字信号"差在哪？老师的说法是：只在时间上离散、幅值上仍然连续（即每个采样点的数值可以是任意实数，比如 3.14159…）的，叫离散（采样）控制系统；如果连幅值也被量化成有限位二进制码（比如 8 位只能表示 256 个档），那叫数字系统。数字系统是离散系统的一种。在本课程的考试里，这两者基本当等价处理（老师原话大意："在控制里边基本上是等价的"）。

【你可能会以为】离散系统 = 里面有台计算机。 但其实：判据是信号形态，不是有没有计算机。哪怕是纯机械的、每隔一段时间才闭合一次的开关，只要它把连续信号切成了一串点，系统就是离散的。反过来，计算机之所以让系统变离散，也正是因为它只能一格一格地取值和算数。

1.2 为什么要专门用离散系统（不是没事找事）

PPT 幻灯片 5-8 给了一个炉温的例子，值得看懂，因为它回答了"为什么工程上非要采样"：

炉温连续控制系统里，增益 \(K\) 调大就灵敏但容易振荡超调，\(K\) 调小就有死区、误差大——控制精度和动态性能矛盾，因为炉子是大惯性、大滞后的对象（热起来慢、凉下去也慢，数千秒级）。改成采样控制以后（幻灯片 7），电动机时停时转，调节过程超调量大为减小，即使用大开环增益也能保证稳定，甚至炉温调节无超调。

【补前置】"惯性"在控制里指什么？指系统对输入的响应要"拖一会儿"才跟上，不能瞬间变化。物理上是因为储能：热容要慢慢吸热、电容要慢慢充电、物体有质量不能瞬间改速度。"大滞后"则更进一步：输入变了之后要过一段死时间才开始有反应。这两者都是让系统容易振荡的元凶——你的动作还没见效你就又动一次，就会来回过冲。时停时转恰好给了系统"等它反应过来"的时间，所以超调反而小了。

1.3 老工具为什么全部失效（这一节是全章的动机）

老师在开头讲得很清楚，我按逻辑链条重述：

1. 连续系统时域模型是微分方程。但微分是"变化率"，需要信号在一个时刻的邻域内连续可导；离散信号只在孤立的点上有值，中间没有东西，导数无从谈起。所以要换一个时域模型 → 差分方程（用"这一拍和上一拍的差"代替"导数"）。
2. 传递函数是建立在拉氏变换上的，而离散信号不方便直接做拉氏变换（做出来是一个含 \(e^{-nTs}\) 的无穷级数，是 \(s\) 的超越函数，不是有理分式，没法用前面所有基于"分子分母多项式"的方法）。所以要换一种变换 → Z变换。
3. 有了 Z变换，就能在 \(z\) 域里定义一个"长得像传递函数"的东西 → 脉冲传递函数 \(G(z)\)。

【难点 1】"微分对离散信号不适用"这句话，零基础容易滑过去，其实它是整章存在的理由。 - 难在哪：你可能觉得"那我把离散点连成折线，不就能求导了吗"。 - 为什么难：连成折线是你人为添的信息，原信号并没有说两点之间发生了什么。控制系统里计算机确实只知道那几个采样值，任何"中间怎么走"的假设都是额外假设，会算出假的结论。 - 正确理解：离散世界里能诚实使用的"变化"只有 差分：\(\nabla e(k)=e(k)-e(k-1)\)（后向差分，PPT 幻灯片 34）。它就是"这一拍比上一拍多了多少"。导数是差分在 \(T\to 0\) 时的极限；反过来，差分是导数在离散世界的"够用替代品"。

【重要的安慰，也是串联】老师同时说了另一半：这一章的知识点和前面几章关联不算太大，但前面的分析方法在这里仍然能用。 稳定性、稳态误差、暂态性能、根轨迹这四条线，在离散系统里一条不少，只是换了舞台（从 \(s\) 平面搬到 \(z\) 平面）。所以你学第七章的正确姿势是：每学一个新东西，先问它对应连续系统的哪一个。

2. 整章地图（老师的"知识架构"，我按考试重要性重排）

考试事实（有出处）：据《26北方工业大学专业课考点分析》p008 的历年题型表，T8 三年分别考的是"离散系统判稳和求稳态误差""离散系统求闭环误差传递函数和闭环脉冲传递函数""离散系统中根据稳态误差求 T，并求根的分布情况与响应"。同资料 p007 第 5 条说："离散系统的稳态误差：经常考的一个重点……重点是能不能求对闭环传函，这里的闭环传函会比连续那块难一些。" p006 第 1 条还给了一条减负信息："像反变换、Z变换求差分方程这些都是不考察的。"

我的建议（这是我的判断，不是资料原文）：Z反变换和差分方程求解按"看得懂、会最基本的"要求即可，把时间砸在"求脉冲传递函数"和"判稳+稳态误差"上。但注意 p006 同时提醒"一直在创新，还是学的全面点好"，所以别把 Z反变换完全丢掉——长除法那一招在求暂态响应时还要用。

3. 采样与保持：信号是怎么被切碎的，又怎么被拼回去

3.1 采样：把连续曲线切成一串带权重的针

采样：把连续信号转变成脉冲序列的过程；干这事的装置叫采样器（也叫采样开关），符号是一个每隔 \(T\) 秒闭合一瞬的开关。\(T\) 叫采样周期（单位秒），\(f_s=1/T\) 叫采样频率，\(\omega_s=2\pi/T\) 叫采样角频率。

理想化的数学描述（据 PPT 幻灯片 15-16）：

这式子在说什么：采样后的信号 \(e^*(t)\)，是一串"针"的叠加：第 \(n\) 根针出现在时刻 \(nT\)，针的"强度"等于原信号在那一刻的值 \(e(nT)\)。 每个符号是什么： - \(e(t)\)：采样前的连续信号（比如误差信号）。 - \(e^*(t)\)：采样后的离散信号，星号 \(*\) 就是"已采样"的记号。 - \(T\)：采样周期，两次采样之间隔多久。 - \(\delta(t-nT)\)：单位脉冲函数（下面马上解释）平移到 \(nT\) 处。 - \(n\)：第几拍，从 0 数起。

【补前置】\(\delta(t)\) 是什么？它叫单位脉冲函数（狄拉克函数）：除了 \(t=0\) 这一点以外处处为零，而在 \(t=0\) 处"无穷高、无穷窄"，但它下面的面积恰好等于 1。你可以把它想成"一根宽度趋于零、面积保持为 1 的针"。为什么要用这么怪的东西？因为真实采样开关闭合的时间 \(\tau\) 非常短（PPT 幻灯片 15 的条件："\(\tau\) 远小于采样周期 \(T\) 和连续部分时间常数，认为 \(\tau\to0\)"），我们不关心那一瞬内部的细节，只关心"取到了多大的值"，用面积（强度）代表数值最省事。 它最有用的性质是取样性质：\(e(t)\delta(t-nT)=e(nT)\delta(t-nT)\)——一个函数乘上位于 \(nT\) 的针，等于"那一点的函数值"乘那根针。上面那条采样公式就是从 \(e^*(t)=e(t)\delta_T(t)\) 一路用这个性质得来的（\(\delta_T(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT)\) 叫理想脉冲序列）。

这个模型怎么用：它是后面一切的起点。把它做拉氏变换（PPT 幻灯片 17，用到位移定理 \(\mathscr{L}[f(t-\tau)]=e^{-\tau s}F(s)\)）得到

这式子在说什么：采样信号的拉氏变换，是一堆"采样值 × \(e^{-nTs}\)"的和。\(e^{-nTs}\) 在拉氏世界里就是"延迟 \(nT\) 秒"这个动作。 为什么它很关键：注意它不是 \(s\) 的有理分式（分子分母都是多项式的那种），而是含 \(e^{-nTs}\) 的无穷级数。前六章所有方法（分解零极点、劳斯表、根轨迹）都依赖有理分式，所以这里必须换工具——这就直接引出了下一节的 Z变换。

【难点 2】"采样后拉氏变换不是有理分式，所以要换 Z 变换"这件事，很多人背下了"Z变换是什么"，却不知道为什么非要它。 - 难在哪：\(e^{-nTs}\) 长得也不吓人，为什么就不能用了？ - 为什么难：因为它是超越函数（【补前置】"超越函数"就是不能用有限次加减乘除乘方开方写出来的函数，它"超越"了代数运算的表达能力，\(e^x\)、\(\sin x\)、\(\ln x\) 都是；与之相对的"代数函数"就是多项式、分式那一类），\(e^{-Ts}=0\) 没有解、\(e^{-Ts}\) 不是多项式，你没法说"分母有几个根、根在哪"。而稳定性判据、根轨迹全靠数根、找根。 - 正确理解：Z变换干的事情非常简单粗暴——令 \(z=e^{Ts}\)，把那个讨厌的 \(e^{-nTs}\) 换成 \(z^{-n}\)，于是无穷级数变成了 \(z^{-1}\) 的幂级数，通常能求和成一个 \(z\) 的有理分式，一切老方法就复活了。PPT 幻灯片 26 原话："Z变换仅是一种在采样拉氏变换中取 \(z=e^{sT}\) 的变量置换。"

3.2 采样定理（香农定理）：\(T\) 不能想取多大就取多大

据 PPT 幻灯片 20（用词按 PPT，符号按 PPT 的 \(\omega_h\)）：

如果 \(f(t)\) 是一个有限带宽的信号，即该信号的频率分量具有某个最高频率 \(\omega_h\)（rad/s），若以 \(\omega_s\ge 2\omega_h\) 的采样频率对 \(f(t)\) 采样，则 \(f(t)\) 可以唯一地由其样本值 \(f(kT)\)（\(k=0,1,2,\dots\)）确定。

等价写法：\(T\le \dfrac{1}{2f_h}=\dfrac{2\pi}{\omega_h}\cdot\dfrac{1}{2}\)，PPT 上写作 \(T\le\frac{1}{2f_h}\)，\(f_h=\frac{\omega_h}{2\pi}\)。

这式子在说什么：采样要够快——至少要快到信号里最高频成分的两倍，否则采样后的那串数就不足以还原原信号了。 每个符号是什么：\(\omega_h\) 是原信号包含的最高角频率（rad/s，"信号变化最快的那个成分有多快"）；\(\omega_s=2\pi/T\) 是采样角频率；\(f_h\)、\(f_s\) 是对应的普通频率（Hz，每秒多少次）。 怎么用：考试里主要是概念题（选择/简答）：给你信号最高频率，问最大允许采样周期；或者问"采样频率过低会怎样"。

【补前置】"频谱"和"带宽"是什么？任何信号都可以看成很多个不同频率的正弦波叠加（这是傅里叶的观点）。把"每个频率成分有多强"画成一张图，就是频谱。如果一个信号里最高只到 \(\omega_h\)，再往上没有成分了，就说它是有限带宽的，带宽是 \(\omega_h\)。

【补前置】记号 \(E(j\omega)\) 是什么？就是上面说的"频谱"这张图的数学写法：把信号 \(e(t)\) 拆成各种频率的正弦叠加后，\(E(j\omega)\) 这个复数告诉你频率为 \(\omega\) 的那个正弦成分有多强（模长）、相位偏多少（幅角）。它正式的名字叫傅里叶变换。和你已经学过的拉氏变换什么关系？把拉氏变换 \(E(s)\) 里的 \(s\) 换成 \(j\omega\)，得到的就是 \(E(j\omega)\)——这正是第五章"频率特性 \(G(j\omega)\)"的来路，同一个套路。所以你不需要新学一门变换，只要记住"\(E(j\omega)\) = 令 \(s=j\omega\) 的 \(E(s)\) = 信号的频谱"。

为什么是两倍（这是理解，不是背）：PPT 幻灯片 18-19 给了原因。采样以后的频谱是原频谱每隔 \(\omega_s\) 复制一份的无穷多份叠加：

这式子在说什么：采样把原来的一份频谱变成了一排等间距（间距 \(\omega_s\)）的副本，每份都缩小为原来的 \(1/T\)。 每个符号是什么： - \(E(j\omega)\)：采样前连续信号 \(e(t)\) 的频谱（见上一段【补前置】）。 - \(E^*(j\omega)\)：采样后那串脉冲序列 \(e^*(t)\) 的频谱，星号仍表示"已采样"。 - \(n\)：副本的编号，取遍所有整数（\(\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\)），所以副本是往左右两边无限延伸的；\(n=0\) 那一份就是原始频谱本身。 - \(\omega_s=2\pi/T\)：副本之间的间距（= 采样角频率）。 - \(\frac{1}{T}\)：一个统一的缩放系数，来自"用面积为 1 的脉冲去代表采样值"这个理想化模型（脉冲序列 \(\delta_T(t)\) 本身展开成傅里叶级数时每项系数就是 \(1/T\)）。它只是把整张频谱等比例缩小，不影响形状，因此对采样定理的结论毫无影响。 - 要求边界（诚实说明）：这条式子的完整推导（把 \(\delta_T(t)\) 展成傅里叶级数再逐项变换）超出本课程要求，你只需要看结论：采样 = 频谱按 \(\omega_s\) 周期性复制。考试不会让你推它。

怎么用：想还原原信号，就得能用一个低通滤波器（只让低频通过、把高频挡掉的装置）把中间那份原始副本单独切出来。相邻两份副本的边界分别在 \(\omega_h\) 和 \(\omega_s-\omega_h\)（老师课上说的 \(\omega_0-\omega_m\) 就是这个，只是符号不同）。要不重叠，就要 \(\omega_s-\omega_h>\omega_h\)，即 \(\omega_s>2\omega_h\)。重叠了叫频率混叠，一旦混叠，高频成分会伪装成低频混进来，信息永久丢失，再高明的算法也救不回来。

【你可能会以为】采样周期越小越好，那就取到最小呗。 但其实：工程上 \(T\) 太小会带来计算负担、量化噪声放大等问题（【补前置】"量化噪声"：计算机只能用有限位二进制表示数值，比如 8 位只有 256 个档，真实值 3.14159 必须被"四舍五入"到最近的那个档上，丢掉的那点零头就相当于给信号掺进了一点随机误差，这就叫量化噪声。采样越快、每拍相邻两个数差得越小，这点固定大小的误差在差值里占的比重就越大，所以 \(T\) 太小反而让噪声显得更突出），PPT 幻灯片 20 明说"采样定理只给出了选择采样周期 \(T\) 或采样频率 \(f_s\) 的指导性原则，即最大采样周期或最小采样频率"。而且 \(T\) 会直接影响稳定性和稳态误差——PPT 幻灯片 56 给了两条要背的结论： - \(T\) 一定时，加大 \(K\) 会使系统稳定性降低，乃至不稳定（和连续系统一个道理）； - \(K\) 一定时，\(T\) 越长，丢失系统信息越多，对稳定性和动态特性均不利。 这两条经常出简答/选择。

3.3 零阶保持器（ZOH）：把一串针拼回成阶梯

采样以后系统拿到的是一串"针"，持续时间趋于零。可执行机构（电机、阀门）没法被一根针驱动，它需要一个在整个采样间隔内持续存在的信号。于是要加保持器：把这一拍的采样值一直保持到下一拍。

零阶保持器（ZOH）：按常值外推的保持器，PPT 幻灯片 22 写作

这式子在说什么：从采样时刻 \(nT\) 起，接下来一整个周期内输出都保持等于 \(e(nT)\) 这个值，直到下一次采样再跳到新值。结果就是一条阶梯状的曲线。 【补前置】为什么叫"零阶"？因为它用零次多项式（常数）来外推。如果用一次多项式（直线）外推就叫一阶保持器。名字里的"阶"是外推多项式的次数，不是"阶跃"的阶。

传递函数（PPT 幻灯片 23）：ZOH 的单位脉冲响应是"一个高度 1、宽度 \(T\) 的方波"，即 \(g_h(t)=1(t)-1(t-T)\)，所以

这式子在说什么：一个宽度为 \(T\) 的矩形，等于"从 0 时刻开始的阶跃"减去"延迟 \(T\) 后开始的同样阶跃"。\(\frac{1}{s}\) 是单位阶跃 \(1(t)\) 的拉氏变换；\(e^{-Ts}\) 是"延迟 \(T\) 秒"。 每个符号是什么：\(T\) 采样周期；\(s\) 拉氏变量。 怎么用：这是本章出现频率最高的一个式子，第 4.5 节求含 ZOH 的开环脉冲传递函数时要用它，几乎每年都会用到。

频率特性（令 \(s=j\omega\)，PPT 幻灯片 23）：

【补前置】欧拉公式（下面这两步要用，第 6.1 节还会再用一次）。一个复数除了写成 \(a+jb\)（横坐标 \(a\)、纵坐标 \(b\)），还能写成 \(|z|e^{j\theta}\)（离原点多远、朝哪个方向）。两者的桥梁就是欧拉公式 $\(e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta\)$ 它说明 \(e^{j\theta}\) 这个复数模长恒等于 1（因为 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)），只管"方向"，方向角就是 \(\theta\)。由它立刻得到一条本讲要用的恒等式： $\(e^{jx}-e^{-jx}=(\cos x+j\sin x)-(\cos x-j\sin x)=2j\sin x\)$ （用到 \(\cos(-x)=\cos x\)、\(\sin(-x)=-\sin x\)。）

中间两步（原式怎么变成上面那两个结论，不许跳）： 第一步，从分子里提出"半拍延迟"这个公因子 \(e^{-j\omega T/2}\)： $\(1-e^{-j\omega T}=e^{-j\omega T/2}\left(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}\right)\)$ （把 \(e^{-j\omega T/2}\) 乘进括号验证一下：\(e^{-j\omega T/2}\cdot e^{j\omega T/2}=e^0=1\)，\(e^{-j\omega T/2}\cdot(-e^{-j\omega T/2})=-e^{-j\omega T}\)，正好还原。） 第二步，用上面那条恒等式（取 \(x=\omega T/2\)）把括号换掉： $\(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}=2j\sin\frac{\omega T}{2}\)$ 于是 $\(G_h(j\omega)=\frac{e^{-j\omega T/2}\cdot 2j\sin(\omega T/2)}{j\omega}=\frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega}\,e^{-j\omega T/2}=T\cdot\frac{\sin(\omega T/2)}{\omega T/2}\cdot e^{-j\omega T/2}\)$ （最后一步只是把 \(\frac{2}{\omega}\) 写成 \(T\cdot\frac{1}{\omega T/2}\)，为的是凑出 \(\frac{\sin x}{x}\) 的标准形状。） 写成"模长 × 方向"的形式，模长就是 \(T\left|\frac{\sin(\omega T/2)}{\omega T/2}\right|\)（加绝对值是因为 \(\sin\) 会变号，而模长不能为负；变号的部分并进相角里），方向角就是 \(-\frac{\omega T}{2}\)。上面那两个结论就是这么来的。 （若你时间紧：这一步推导考试不单独考，结论必须记；但看懂它能让你明白"半拍滞后"是从哪冒出来的，下面【难点 3】就靠它。）

这式子在说什么：ZOH 的幅频特性长得像 \(\frac{\sin x}{x}\) 那种形状——主瓣高、旁瓣迅速衰减（【补前置】把 \(\frac{\sin x}{x}\) 的曲线画出来：中间 \(x=0\) 附近有一个又高又宽的鼓包，这个是主瓣；两侧还有一串越来越矮的小鼓包，这些叫旁瓣。"瓣"就是"一个鼓包"的意思。主瓣在低频、旁瓣在高频且很矮，所以低频过得去、高频被压住——这就是"低通"），本质上是个低通滤波器；相频特性是一条斜率为负的直线，也就是频率越高、相位滞后越多。 每个符号是什么：\(\omega\) 是输入正弦的角频率；\(|G_h|\) 是"输出正弦幅值/输入正弦幅值"；\(\angle G_h\) 是"输出比输入落后多少角度"（负号=落后）。 怎么用：结论化成三条特点（PPT 幻灯片 24 原文列的就是这三条）：低通特性、相角滞后、时间滞后。这三条是简答题的标准答案。

【补前置】为什么"相角滞后 \(-\omega T/2\)"等于"时间延迟 \(T/2\)"？因为一个纯延迟 \(\tau\) 秒的环节，其频率特性是 \(e^{-j\omega\tau}\)，相角为 \(-\omega\tau\)。对照可知 \(\tau=T/2\)。直觉上也说得通：阶梯信号相当于把真值"平均往后拖了半拍"。

【难点 3】ZOH 是"好东西"还是"坏东西"？ - 难在哪：一方面没它系统没法工作（执行机构没法被一根宽度为零的针驱动），另一方面它引入了半拍的纯滞后，而滞后是稳定性的杀手（第五章学过：相角滞后会吃掉相角裕度 \(\gamma\)，见 0.1 节词表）。这就成了"必须加，可加了又变差"的两难，零基础会不知道该记它是好是坏。 - 为什么难：因为这里要同时握住两条来自不同章节的线索——"信号形态"（第七章：针→阶梯，是能不能工作的问题）和"相角裕度"（第五章：滞后→裕度减少，是稳不稳定的问题）。两条线索指向相反的评价，学生习惯了"一个器件要么好要么坏"的单值判断，遇到这种"两头都成立"的结论就会记混，考场上常把两条结论张冠李戴。 - 正确理解：它是必要的代价——功能上不可或缺，性能上确实有害，两句话都要记，不是二选一。PPT 幻灯片 72 给的定性结论要记（原文全是"略有减小/加长/增加"这类方向性描述，没有任何数值，所以只需记住"变大还是变小"，不要指望有公式算出具体数）："采样器使峰值时间和调节时间略有减小，超调量增大，稳定性降低（但在大滞后系统中反而会提高稳定程度）；零阶保持器使峰值时间和调节时间加长，超调量和振荡次数增加。"

【你可能会以为】加了采样器和保持器，系统的开环极点会变。 但其实：老师明确讲了一条易错点——采样器、保持器的引入不改变系统开环传递函数的极点，但会改变它的零点。【存疑·待核】这句话我在本章 PPT 中没找到对应文字，是老师课上口述的结论，理解上可以这样看：ZOH 的 \(\frac{1-e^{-Ts}}{s}\) 中，分子 \(1-e^{-Ts}\) 在 \(s=0\) 处也为零，与分母的 \(\frac1s\) 相消，因此它不往系统里加新的极点；而它带来的 \(1-z^{-1}\) 因子会改变 \(z\) 域中零点的位置。考试若考此结论，按"极点不变、零点改变"记，但建议你在教材上再核一次原文。

4. Z变换：离散世界的"拉氏变换"

4.1 定义（这是本节唯一必须真懂的式子）

据 PPT 幻灯片 26：由 \(E^*(s)=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)e^{-nTs}\)，令 \(z=e^{sT}\)，得

这式子在说什么：把采样值一个一个"挂"在 \(z^{-1}\) 的各次幂上，排成一个无穷级数。第 \(n\) 拍的值就挂在 \(z^{-n}\) 上。 每个符号是什么： - \(e(nT)\)：第 \(n\) 个采样时刻的信号值（一个普通实数）。 - \(z\)：新引入的复变量，定义为 \(z=e^{sT}\)。 - \(z^{-n}\)："延迟 \(n\) 拍"这个动作的代号。这是理解 Z变换最重要的一句话：\(z^{-1}\) 就是"往后推一拍"。 怎么用：给你一串采样值，直接往上套就得到 \(E(z)\)；反过来，给你一个 \(E(z)\)，把它展开成 \(z^{-1}\) 的幂级数，各项系数就是各拍的采样值（这就是后面"长除法"的原理）。

PPT 幻灯片 26 还有一句必须注意的话："注意只能取采样信号的 Z变换"，记作 \(E(z)=Z[e^*(t)]=Z[e(t)]\)。

【难点 4】"阶跃信号的 Z变换"这种说法其实是不严谨的。 - 老师专门花了一段讲这件事：连续信号本身不存在 Z变换。我们说"阶跃信号的 Z变换"，实际含义是：先把这个连续信号离散化（采样），再对得到的离散序列求 Z变换。 - 难在哪：这直接导致一个考试重灾区——\(Z[G_1(s)G_2(s)]\ne Z[G_1(s)]\cdot Z[G_2(s)]\)。因为"先相乘再采样"和"先各自采样再相乘"是两件不同的事。第 4.4 节整节都在处理这件事。 - 正确理解：写 \(Z[\cdot]\) 时心里要念一句"先采样，再变换"。

4.2 求 Z变换的两种方法

方法一：级数求和法（直接用定义，PPT 幻灯片 27） 把 \(f(0),f(T),f(2T),\dots\) 一个个算出来代进定义，再把这个无穷级数求和成闭式。

例（PPT 幻灯片 27 例 1 的思路，我把过程补全）：单位阶跃 \(1(t)\) 采样后每一拍都是 1，所以 $\(F(z)=1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots\)$ 这是首项为 1、公比为 \(z^{-1}\) 的等比级数，当 \(|z^{-1}|<1\)（即 \(|z|>1\)）时收敛，求和公式给出 $\(F(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}\)$

【补前置】等比级数求和：\(1+q+q^2+\cdots=\frac{1}{1-q}\)（仅当 \(|q|<1\) 时成立，否则发散）。这是本章唯一必须会的级数公式。

同理（PPT 幻灯片 32），若 \(e(nT)=a^n\)，则 \(E(z)=\sum (a/z)^n=\frac{1}{1-az^{-1}}=\frac{z}{z-a}\)，收敛条件 \(|z|>|a|\)。这个 \(\frac{z}{z-a}\) 是全章用得最多的一条，务必记住。

局限：老师说得很直白——除了少数特殊级数，无穷级数求和往往很困难，所以此法只适用于简单函数。

方法二：部分分式法（查表法）（PPT 幻灯片 27） 思路：已知连续信号的拉氏变换 \(F(s)\) → 把 \(F(s)\) 做部分分式展开，拆成一堆简单项 → 每个简单项对应一个简单时间函数，它离散后的 Z变换是已知的（查表） → 加起来。

老师给的例子（我把他口述里被 ASR 打乱的式子按标准形式复原）：设 $\(F(s)=\frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\)$ 对应时间函数 \(f(t)=1-e^{-t}\)，离散化得序列 \(f(nT)=1-e^{-nT}\)，于是 $\(F(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-T}}=\frac{z(1-e^{-T})}{(z-1)(z-e^{-T})}\)$

每一步在干什么：第一步是纯代数的拆分（部分分式）；第二步是查拉氏表把每项翻回时间函数；第三步是采样（把 \(t\) 换成 \(nT\)）；第四步是查 Z变换表。第三步是最容易被跳过、也最本质的一步——它就是 4.1 节说的"先离散再变换"。

【补前置】部分分式展开是什么？就是把一个分式拆成几个更简单分式的和，比如 \(\frac{1}{s(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}\)，通分对比系数解出 \(A=1,B=-1\)。这是第二章解拉氏反变换时就用过的老工具，这里只是再用一次。

必背的 Z变换对照表（老师原话大意："这些 Z变换大家必须要记住它，因为很多学校的考研试题中不会给你"）：

表中前四行的 \(R(z)\) 与 PPT 幻灯片 60-62 中稳态误差推导所用的 \(R(z)=\frac{z}{z-1}\)、\(\frac{Tz}{(z-1)^2}\)、\(\frac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}\) 一致；\(\frac{z}{z-e^{-aT}}\) 与幻灯片 70 中 \(Z[\frac{1}{s(s+1)}]=\frac{0.632z}{(z-1)(z-0.368)}\)（取 \(T=1\)，\(e^{-1}=0.368\)）一致。其余行是教材标准表中的常用条目，我按同样规则补齐，建议你在教材 Z变换表上再对一次。

【你可能会以为】这几行公式，考前背一下就行。 但其实：你会在每一道离散大题的第一步就用到它们，而且往往是"给你 \(G(s)\) 让你求 \(G(z)\)"。背不熟等于整道题做不动。这是本章性价比最高的记忆任务，没有之一。

方法三：留数法（反演积分法）。老师明说考试中很少见到，不做详细讲解。我这里也不展开——不是省略了重要内容，而是这个方法在考研范围内几乎不出现，你知道有这么个东西即可。

4.3 Z变换的几条性质（会用就行）

据 PPT 幻灯片 28-29：

• 线性：\(Z[af(t)]=aF(z)\)，\(Z[f_1\pm f_2]=F_1(z)\pm F_2(z)\)。意思是"倍数和加法可以直接穿过 Z变换"。
• 平移（滞后）定理：\(Z[f(t-kT)]=z^{-k}F(z)\)。意思就是前面说的：延迟 \(k\) 拍，等于乘 \(z^{-k}\)。
• 平移（超前）定理：\(Z[f(t+kT)]=z^{k}\left[F(z)-\sum_{m=0}^{k-1}f(mT)z^{-m}\right]\)；若 \(f(0)=f(T)=\cdots=f[(k-1)T]=0\)，则简化为 \(z^kF(z)\)。意思是超前要把已经"跑掉"的前几拍减掉（和拉氏变换微分定理要减初值同理）。
• 终值定理：\(f(\infty)=\lim_{k\to\infty}f(kT)=\lim_{z\to1}(z-1)F(z)\)。这一条是下一讲算稳态误差的命根子，本讲先记住"连续是 \(s\to0\)，离散是 \(z\to1\)"。
• 初值定理：\(f(0)=\lim_{z\to\infty}F(z)\)。

【难点 5】为什么连续用 \(s\to0\)，离散却用 \(z\to1\)？ - 老师课上专门提醒了这一点。理由在映射关系 \(z=e^{sT}\)：\(s=0\) 代进去得 \(z=e^0=1\)。 - 更直观的说法：\(s=0\) 是 \(s\) 平面上"稳定与不稳定的边界（虚轴）"与实轴的交点，也是"直流/终态"所在的位置；映射到 \(z\) 平面，虚轴变成了单位圆，\(s=0\) 那一点就落到 \(z=1\)。所以凡是连续系统里"令 \(s\to0\)"的地方，离散系统里一律换成"令 \(z\to1\)"。这条对应关系会在下一讲的静态误差系数里反复出现。

4.4 Z反变换：从 \(F(z)\) 回到时间序列

方法一：幂级数法（长除法）（PPT 幻灯片 30） 做法：把 \(F(z)\) 的分子、分母都按 \(z^{-1}\) 的升幂排列，然后用分子多项式除以分母多项式，商写成 \(z^{-1}\) 的升幂级数： $\(F(z)=c_0+c_1z^{-1}+c_2z^{-2}+\cdots\)$ 对照定义式可知，系数 \(c_n\) 就是第 \(n\) 拍的采样值（脉冲强度）。

PPT 幻灯片 68 给了一个完整实例：\(C(z)=\frac{0.368z^{-1}+0.263z^{-2}}{1-2z^{-1}+1.632z^{-2}-0.632z^{-3}}\)，长除得 $\(0.368z^{-1}+z^{-2}+1.4z^{-3}+1.4z^{-4}+1.147z^{-5}+0.895z^{-6}+\cdots\)$ 于是 \(c(0)=0,\ c(T)=0.368,\ c(2T)=1,\ c(3T)=1.4,\ c(4T)=1.4,\ c(5T)=1.147,\dots\) ——这一串数画出来就是系统的阶跃响应，能直接读出超调、调节时间。

优点：一定算得出来，且直接给出每一拍的数值。缺点（老师强调的）：往往得不到闭合形式的通项表达式，只能一拍一拍往下算。

方法二：部分分式法（PPT 幻灯片 30） 关键技巧（老师专门叮嘱、也是这一节唯一的技术要点）：先展开 \(F(z)/z\)，而不是直接展开 \(F(z)\)。

为什么？看第 4.2 节那张表你会发现：常见信号的 Z变换分子上都带一个 \(z\)（\(\frac{z}{z-1}\)、\(\frac{z}{z-a}\)…）。如果你直接把 \(F(z)\) 拆成 \(\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-a}\)，这些项在表里查不到；而先拆 \(\frac{F(z)}{z}\)，拆完每项再把 \(z\) 乘回去，就正好凑成表里的标准形式。

老师给的例子（原口述被 ASR 打乱，我按标准算法复原，这是要点转述+我补的完整过程，不是老师逐字原话）：设 \(F(z)=\frac{-0.5z}{(z-1)(z-0.5)}\) 这类形式，先写 $\(\frac{F(z)}{z}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-0.5}\)$ 解出 \(A,B\) 后乘回 \(z\)： $\(F(z)=\frac{Az}{z-1}+\frac{Bz}{z-0.5}\)$ 再查表得 \(f(nT)=A\cdot 1+B\cdot(0.5)^n\)。

【你可能会以为】既然表里都带 \(z\)，那我直接把每项配上 \(z\) 不就行了，何必绕一圈。 但其实：部分分式展开的待定系数只有在真分式上才唯一确定。绕这一圈 \(F(z)/z\) 不是形式主义，它保证了拆出来的每一项都恰好是表里有的标准形式，避免出现 \(\frac{A}{z-1}\) 这种查不到、只能硬推的项。这是必须养成的固定动作。

4.5 差分方程（本讲只需知道它是什么）

据 PPT 幻灯片 34-35，一般线性定常离散系统的 \(n\) 阶后向差分方程：

这式子在说什么：这一拍的输出，取决于这一拍及之前几拍的输入，以及之前几拍的输出。 每个符号是什么：\(c(k)\) 第 \(k\) 拍输出；\(r(k)\) 第 \(k\) 拍输入；\(a_i,b_j\) 常数（"定常"= 这些系数不随时间变化，跟连续系统里"线性定常"的定常是同一个意思）；\(n\) 是阶次，\(m\le n\)。 怎么用：两种解法——迭代法（一拍一拍代进去算）和 Z变换法（两边取 Z变换，用平移定理把 \(c(k-1)\) 变成 \(z^{-1}C(z)\)，方程立刻变成代数方程，解出 \(C(z)\) 再做 Z反变换）。

【难点 6】离散系统的"自然运动形式"和连续系统不同。 老师专门讲了这一点，值得记牢： - 连续系统稳定时，典型运动形式是 \(e^{-at}\)（衰减指数）。 - 离散系统的典型运动形式是 \(a^n\)（几何级数/等比数列）。 - 两者的联系：\(e^{-anT}=(e^{-aT})^n\)，令 \(a'=e^{-aT}\) 就变成了 \(a'^n\)。所以本质是同一件事在两种时间刻度下的样子。 - 为什么这条重要：\(e^{-at}\) 衰减的条件是 \(a>0\)（极点在左半平面）；\(a'^n\) 衰减的条件是 \(|a'|<1\)（极点在单位圆内）。这正是下一节稳定判据的由来——不是硬记的规定，是从运动形式推出来的。

考试提示（有出处）：《26北方工业大学专业课考点分析》p006 明说"像反变换、Z变换求差分方程这些都是不考察的"。所以差分方程这一段，理解到上面这个程度即可，不必刷题。

5. 脉冲传递函数：本章最容易丢分的地方

5.1 定义

据 PPT 幻灯片 36：在零初始条件下，输出采样信号与输入采样信号的 Z变换之比：

零初始条件在这里的具体含义（PPT 原文）：\(t<0\) 时 \(c(-T)=c(-2T)=c(-3T)=\cdots=0\)，且 \(r(-T)=r(-2T)=\cdots=0\)。

PPT 幻灯片 36 底下有一句加粗提醒，也是本节所有麻烦的根源：

注意：脉冲传递函数是在两个采样开关之间定义的。

另一个等价理解（PPT 幻灯片 38）：若输入是单位脉冲序列，输出序列 \(K(nT)\) 称为单位脉冲响应序列（【补前置】"单位脉冲响应"就是你只在 \(t=0\) 敲系统一下（输入一个单位脉冲），此后不再给任何输入，系统自己产生的那条输出曲线；离散情形就是"第 0 拍给 1、其余拍给 0"时输出的那串数 \(K(0),K(T),K(2T),\dots\)。它又叫加权序列，因为任意输入下的输出都可以看成"把各拍输入分别乘上这串数再错位叠加"，这串数起的正是"权重"的作用），则 \(G(z)=\sum_{n=0}^{\infty}K(nT)z^{-n}\)，即脉冲传递函数就是加权序列 \(K(nT)\) 的 Z变换（这和连续系统"传递函数是脉冲响应的拉氏变换"完全对应）。

【补前置】"虚设采样开关"是什么鬼？（PPT 幻灯片 37）真实系统的输出 \(c(t)\) 往往是连续的（比如炉温），那"输出的 Z变换"从何谈起？做法是：在输出端假想有一个与输入开关同步、同周期的采样开关，于是就有了 \(c^*(t)\)。它是不存在的，仅仅表明"脉冲传递函数所能描述的，只是连续输出 \(c(t)\) 在采样时刻上的那些离散值"。

【你可能会以为】既然虚设一个开关就行了，那这个假想没什么代价。 但其实：代价很实在——\(G(z)\) 完全不知道两个采样时刻之间输出干了什么。理论上输出可能在采样点之间剧烈振荡（俗称"纹波"），而每次采样恰好都采到同样的值，\(G(z)\) 会告诉你"一切正常"。这是离散系统分析的固有盲区，也是"最少拍系统"要考虑有无纹波的原因。

5.2 从 \(G(s)\) 求 \(G(z)\)

PPT 幻灯片 39 给的标准三步（也是老师课上口述的三步）：

1. 已知连续部分传递函数 \(G(s)\)，做拉氏反变换求出脉冲响应 \(g(t)=\mathscr{L}^{-1}[G(s)]\)；
2. 对 \(g(t)\) 采样，得 \(g^*(t)\)；
3. 对 \(g^*(t)\) 做 Z变换，得 \(G(z)\)。

实际做题时不用真走三步，直接查表即可，记作 \(G(z)=Z[G(s)]\)。但你必须知道这个记号的真实含义是上面三步——否则就会犯 4.4 节那个"以为 \(Z[G_1G_2]=Z[G_1]Z[G_2]\)"的错。

5.3 串联环节：有没有采样开关隔开，公式完全不同

【难点 7】这是本章第一号考点，也是最容易想当然做错的地方。

据 PPT 幻灯片 41（原文两条）：

• 串联环节之间有采样开关时：脉冲传函等于各环节脉冲传函的乘积 $\(G(z)=G_1(z)G_2(z)\)$
• 串联环节之间无采样开关时：脉冲传函等于各环节传函乘积采样后的 Z变换 $\(G(z)=Z[G_1(s)G_2(s)]\triangleq G_1G_2(z)\)$

这两式在说什么：中间有开关，两个环节各自被离散化了两次，所以各自变成 \(z\) 域函数再相乘；中间没开关，两个环节在 \(s\) 域里是连着的一整块，必须先在 \(s\) 域相乘、再整体做一次 Z变换。

记号说明（很重要，看不懂记号会读不懂答案）：\(G_1G_2(z)\) 这种写法（中间不加乘号、\(z\) 只写一个）专指"先乘再变换"，读作"\(G_1G_2\) 的 Z变换"；而 \(G_1(z)G_2(z)\) 是两个函数相乘。这两个东西一般不相等。

举个能自己验证的例子（这是我构造的验证，不是老师原话）：设 \(G_1(s)=G_2(s)=\frac1s\)。 - 先乘再变换：\(Z\left[\frac{1}{s^2}\right]=\frac{Tz}{(z-1)^2}\)。 - 先变换再乘：\(\frac{z}{z-1}\cdot\frac{z}{z-1}=\frac{z^2}{(z-1)^2}\)。 两者显然不同。你自己动手验证一次，这个坑就再也不会踩。

• 难在哪：结构图上"有没有那个小开关"是一个极不起眼的细节，考场上容易看漏。
• 为什么难：因为它违反连续系统养成的直觉——连续系统里串联就是相乘，永远成立。
• 正确理解：采样开关是一道"信息闸门"。信号一旦通过开关，中间的连续信息就被丢掉了，后面环节只能看到那一串数；没有开关时，前一环节的完整连续输出直接喂给后一环节，两者是一个不可拆的整体。所以"能不能分开写"取决于"中间的信息有没有被切断"。

做题动作：看到串联结构图，第一件事是用笔在每两个环节之间标记"有开关/无开关"，然后才动手写公式。

5.4 含零阶保持器的开环脉冲传递函数（几乎年年出现）

据 PPT 幻灯片 44，\(G_h(s)\) 为 ZOH 传函、\(G_p(s)\) 为连续部分传函，且两者之间无采样开关：

这式子在说什么：ZOH 那个讨厌的 \(\frac{1-e^{-Ts}}{s}\)，可以拆成两部分——\(e^{-Ts}\) 提出去变成 \(z^{-1}\)（一个纯粹的"延迟一拍"），剩下的 \(\frac1s\) 并到后面环节里一起做 Z变换。 推导： $\(Z\left[\frac{1-e^{-Ts}}{s}G_p(s)\right]=Z\left[(1-e^{-Ts})\frac{G_p(s)}{s}\right]=(1-z^{-1})Z\left[\frac{G_p(s)}{s}\right]\)$ 最后一步用的是 Z变换的平移（延迟）定理，不是"乘积可以拆开"。下面这处【难点】必须看，否则这一步在你心里就是个洞。

【难点 10】凭什么这里 \(1-e^{-Ts}\) 能提到 Z变换外面？前面刚说过 \(Z[G_1(s)G_2(s)]\ne Z[G_1(s)]Z[G_2(s)]\) 啊。 - 难在哪：4.1 和 5.3 反复强调"\(s\) 域两个东西相乘，不能变成 Z变换后相乘"，可这里偏偏就把 \(s\) 域的因子 \((1-e^{-Ts})\) 拆成了 \(z\) 域的 \((1-z^{-1})\) 提出来。看上去自相矛盾。 - 为什么难：因为"能不能提出来"不取决于形式上像不像乘法，而取决于这个因子在时域里干了什么。一般的 \(G_1(s)\) 是一个会把信号"揉开"的动态环节（比如惯性环节把方波磨成指数曲线），它在两个采样点之间做的事被采样丢掉了，所以先采样和后采样结果不同，不能拆。 - 正确理解：\(e^{-Ts}\) 不是普通环节，它是纯延迟，而且延迟量恰好等于一个采样周期 \(T\)。纯延迟在时域里只是把整条曲线整体右移，不改变形状；移动量又正好是采样周期的整数倍，所以采样后的序列也只是整体右移了整整一拍，即 \(f(nT)\to f((n-1)T)\)。Z变换的平移定理说：序列整体延迟 \(k\) 拍 \(\Leftrightarrow\) \(Z\) 变换乘 \(z^{-k}\)。于是 \(Z[e^{-Ts}F(s)]=z^{-1}F(z)\) 成立，而且 Z变换是线性的（\(Z[f_1+f_2]=Z[f_1]+Z[f_2]\)），所以 \(1-e^{-Ts}\) 这个"减法"也能逐项处理。 - 边界（这是最容易被忽略的一句）：只有当延迟量是采样周期 \(T\) 的整数倍时才能这样提出来。若 ZOH 换成延迟 \(0.5T\) 的环节（\(e^{-0.5Ts}\)），采样点会落在"半拍"上，\(e^{-0.5Ts}\) 就不能写成 \(z^{-1/2}\) 拿出来（那属于"含小数延迟的修正 Z变换"，本课程不要求）。所以这不是"乘法可以拆"的例外，而是"整数拍延迟"这一种特殊情形的特权。 每个符号是什么：\(G_p(s)\) 是保持器后面那一整块连续部分（被控对象等）；\(\frac{G_p(s)}{s}\) 里那个 \(\frac1s\) 来自 ZOH，不是你自己加的积分器。 怎么用：三步——①写出 \(\frac{G_p(s)}{s}\)；②部分分式展开后逐项查 Z变换表得到 \(Z[\frac{G_p(s)}{s}]\)；③整体乘 \((1-z^{-1})\)，通常再化成 \(\frac{z-1}{z}\cdot(\cdots)\) 约分。

PPT 幻灯片 67 的现成结果可以拿来对答案：当 \(G_p(s)=\frac{1}{s(s+1)}\)、\(T=1\text{s}\)、\(K=1\) 时 $\(G(z)=(1-z^{-1})Z\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]=\frac{0.368z+0.264}{(z-1)(z-0.368)}\)$ （其中 \(0.368\approx e^{-1}\)。）对比幻灯片 70 中不加 ZOH、只有采样器时的 \(G(z)=Z[\frac{1}{s(s+1)}]=\frac{0.632z}{(z-1)(z-0.368)}\)——同一个对象，加不加保持器，\(G(z)\) 的分子完全不同（零点变了），而极点 \(z=1\) 和 \(z=0.368\) 没变。这正好印证了 3.3 节末尾那条"极点不变、零点改变"。

老师原话大意："含有零阶保持器的离散控制系统，在考研试卷中是非常常见的，遇到了该如何处理，考生要牢固掌握。"这句话请你当真。

5.5 闭环脉冲传递函数：有时候根本求不出来

【难点 8】这是本章第二号考点，也是最反直觉的地方。

PPT 幻灯片 45 开宗明义："采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能，所以闭环离散系统没有唯一的结构形式。" 意思是：连续系统你背一个 \(\Phi(s)=\frac{G}{1+GH}\) 就通吃，离散系统不行，必须看图现推。

PPT 给的三个标准结论（照抄）：

下面三张结构图，PPT 上是图片（幻灯片 45-47），文本导出里只剩公式，所以图是我按公式和 PPT 幻灯片 47 残留的文字标注复原的，用 ASCII 画出来，你照着看信号往哪走、开关卡在哪。记号约定：--/-- 表示一个采样开关（每隔 \(T\) 秒闭合一瞬），⊗ 表示相加点（上支路为 \(+\)、反馈支路为 \(-\)）。

情况一（误差采样，最常见）：采样开关就装在误差点 \(e(t)\) 之后。

 r(t) ──►⊗──► e(t) ──/--──► e*(t) ──► G(s) ──► c(t) ──┬──► 输出
         ▲(-)          采样开关                        │
         │                                             │
         └──────────────  H(s)  ◄─────────────────────┘

沿路读图：输入 \(r\) 与反馈量相减得误差 \(e(t)\) → 经开关变成脉冲序列 \(e^*(t)\) → 送进 \(G(s)\) → 得输出 \(c(t)\) → 经 \(H(s)\) 绕回相加点。整个回路里只有这一个开关，所以从 \(e^*\) 出发绕一圈回到相加点，途中经过的是 \(G(s)\) 与 \(H(s)\) 两个中间没有开关的连续环节，它们必须先在 \(s\) 域乘起来再整体做一次 Z变换，写成 \(HG(z)\)；而前向通道从 \(e^*\) 到输出（输出端虚设开关）只经过 \(G(s)\) 一块，写成 \(G(z)\)。于是

注意分母里是 \(HG(z)\)（先乘再变换），不是 \(H(z)G(z)\)——因为 \(G\) 与 \(H\) 之间没有采样开关。

情况二（幻灯片 46）：前向通道被第二个采样开关切成 \(G_1\)、\(G_2\) 两段。

 r(t) ──►⊗──► e(t) ──/--──► G1(s) ──/--──► G2(s) ──► c(t) ──┬──►
         ▲(-)          开关1              开关2               │
         │                                                    │
         └────────────────────  H(s)  ◄──────────────────────┘

逐段推演（这就是"沿前向通路走一遍、遇开关断开"的做法）： 1. 前向通道（分子）：从开关1 出来 → \(G_1\) → 撞上开关2，断开 → \(G_2\) → 输出（虚设开关）。断开处两边各自被离散化，所以写成两个独立因子相乘：\(G_1(z)\cdot G_2(z)\)。 2. 回路（分母里那一项 = 回路增益）：从开关1 出发绕一圈回到相加点，途中依次是 \(G_1\) → 开关2（断开） → \(G_2\) → \(H\) → 回来。在开关2 处断成两段：前一段只有 \(G_1\)，写 \(G_1(z)\)；后一段是 \(G_2\) 与 \(H\) 中间没有开关、粘成一整块，写 \(HG_2(z)\)。两段相乘得回路增益 \(G_1(z)\,HG_2(z)\)。 3. 套"\(\dfrac{\text{前向通路增益}}{1+\text{回路增益}}\)"：

对照情况一体会：开关加在哪里，哪里的乘积就能被拆开写。这不是背三个公式，是同一条规则在不同图上的结果。

情况三（幻灯片 47）：误差点处没有采样开关，开关改装在 \(G(s)\) 的输出端和 \(H(s)\) 的输出端（PPT 幻灯片 47 图上标的正是两处 \(c^*(t)\)）。

 r(t) ──►⊗──► e(t) ──► G(s) ──► c(t) ──/--──► c*(t) ──┬──► 输出
         ▲(-)   ↑ 这里没有开关                         │
         │                                             │
         └───/--──  H(s)  ◄──────────────────────────┘
              开关

关键差别：从输入 \(r\) 一路走到 \(G(s)\)，中间一个开关都没有，\(r(t)\) 是以完整连续信号的身份进入 \(G(s)\) 的。这时 PPT 原文写道：

只要误差 \(e(t)\) 信号处没有采样开关，输入采样信号便不存在，闭环系统的脉冲传递函数就不可求得，只能求出 \(C(z)\)。

此时能写出的只有输出的 Z变换： $\(C(z)=\frac{RG(z)}{1+HG(z)}\)$ 分子分母为什么长这样（照上面同一条规则读图）：分子是"输入到输出"这条通路——\(r\) 与 \(G\) 之间没有开关，两者粘成一整块 \(R(s)G(s)\)，只能整体做一次 Z变换，记作 \(RG(z)=Z[R(s)G(s)]\)；分母的回路是 \(G\) → 开关 → \(H\) → 回相加点，\(G\) 与 \(H\) 之间在相加点前也没有开关隔断（开关在 \(H\) 之后），所以仍粘成一块写 \(HG(z)\)。 注意分子是 \(RG(z)\)——输入 \(R\) 和 \(G\) 粘在一起做了一次 Z变换，拆不开，所以 \(\frac{C(z)}{R(z)}\) 写不出来。

• 难在哪：零基础会问："既然 \(C(z)\) 都求出来了，除一下 \(R(z)\) 不就是传递函数吗？"
• 为什么难：因为 \(C(z)=\frac{RG(z)}{1+HG(z)}\) 里的 \(RG(z)=Z[R(s)G(s)]\) 是一个不能因式分解成 \(R(z)\cdot G(z)\) 的整体。你除以 \(R(z)\) 得到的东西里面还含有 \(R\)，那就不是"只跟系统有关"的传递函数了——它会随输入变化，不配叫系统的身份证。
• 判定口诀（老师课上给的，也是 PPT 幻灯片 47 的意思）：看输入信号与它遇到的第一个前向通道环节之间，是否被采样开关隔开。隔开了 → 闭环脉冲传递函数可求；没隔开 → 求不出，只能求 \(C(z)\)。

【你可能会以为】求不出闭环脉冲传递函数 = 这题没法做。 但其实：照样能做完。判稳看的是特征方程 \(1+HG(z)=0\)，它一直都在；求稳态误差可以直接对 \(E(z)\) 用终值定理，不需要先有 \(\Phi_e(z)\)。求不出来的只是"传递函数"这个形式，不是"分析能力"。

老师额外提了一句很有价值的话：在离散闭环结构里，梅森公式（信号流图增益公式）同样适用（【补前置】三个词：前向通道增益=从输入沿箭头一路走到输出、不重复经过任何节点的一条路上，把沿途各环节传函乘起来得到的东西；回路增益=沿着一个闭合回路（含反馈支路）绕一圈，把沿途各环节传函乘起来，负反馈会带一个负号；梅森公式=第二章那条"不用一步步化简结构图、直接由各前向通道增益与各回路增益写出总传函"的通用公式，单回路情形化简后就是你熟悉的 \(\frac{\text{前向通道增益}}{1+\text{回路增益}}\)），只不过每条回路、每条前向通道的增益要按"这一段中间有没有采样开关"分别写成 \(G_1(z)G_2(z)\) 或 \(G_1G_2(z)\)。这给了你一个统一的处理办法，不必死记那三张图。

做题动作总结（我给你固化成流程）： 1. 在结构图上把每一个采样开关圈出来。 2. 判断输入到第一个前向环节之间有没有开关 → 决定是求 \(\Phi(z)\) 还是只求 \(C(z)\)。 3. 前向通道：沿路径走，中间有开关就断开写成乘积，没开关就并成一整块加括号做一次 Z变换。 4. 回路（分母）：同样规则处理 \(1+\cdots\) 里的那一项。 5. 检查：分母里出现的应该是回路增益，分子是前向通路增益。

【考试提示（有出处）】《26北方工业大学专业课考点分析》p006 第 2 条给了一个验算技巧和一条警告：可以"直接当做系统连续来做题，看每一个元件左右连接是否有采样器来做，但这种做法是用来检测自己做的对不对的，直接做的话会扣分的，还是当做一个后手，优先掌握正儿八经的做法。"——当成对答案的手段，不能当成写在卷面上的解法。

6. 稳定性：从"左半平面"到"单位圆内"

6.1 \(s\) 平面到 \(z\) 平面的映射（一切的根源）

由定义 \(z=e^{sT}\)，令 \(s=\sigma+j\omega\)（\(\sigma\) 是实部、\(\omega\) 是虚部/角频率），则

这式子在说什么：\(z\) 这个复数的模长只由 \(s\) 的实部决定，幅角只由 \(s\) 的虚部决定。 每个符号是什么：\(|z|\) 是复数 \(z\) 到原点的距离；\(\angle z\) 是它与正实轴的夹角；\(\sigma\) 是 \(s\) 的实部（决定衰减快慢）；\(\omega\) 是 \(s\) 的虚部（决定振荡快慢）。

【补前置】复数的两种写法（3.3 节已补过欧拉公式，这里再用一次）。一个复数既可以写成 \(a+jb\)（直角坐标：横坐标 \(a\)、纵坐标 \(b\)），也可以写成 \(|z|e^{j\theta}\)（极坐标：离原点多远、朝哪个方向）。欧拉公式 \(e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta\) 是两者的桥梁，它说明 \(e^{j\theta}\) 永远落在单位圆上（模长为 1），只管方向。所以 \(e^{\sigma T}e^{j\omega T}\) 就是"模长 \(e^{\sigma T}\)、方向 \(\omega T\)"。

由此立刻得到三条对应（PPT 幻灯片 48）：

因为 \(\sigma<0\Rightarrow e^{\sigma T}<e^0=1\)。就这么简单一句话，第三章的整套稳定观全部平移过来了。

PPT 幻灯片 49-52 还给了几条细节映射（了解即可，主要用于理解，不是计算重点）：\(s\) 平面上的等 \(\sigma\) 竖线映射为 \(z\) 平面上的同心圆；等 \(\omega\) 横线映射为从原点出发的射线；等阻尼比的射线映射为收敛的对数螺线。另外一条概念要点：\(\omega\) 从 \(-\infty\) 变到 \(+\infty\) 时，\(z\) 平面上的点沿逆时针转无穷圈，其中 \(-\omega_s/2\sim+\omega_s/2\) 这一段叫主要带，其余叫次要带。

【难点 9】"\(z\) 平面转无穷圈"意味着映射不是一一对应的。 - 难在哪：\(s\) 平面上无穷多个点会映到 \(z\) 平面同一个点（因为 \(e^{j\omega T}\) 每转 \(2\pi\) 就重复，即 \(\omega\) 每增加 \(\omega_s=2\pi/T\) 就回到原处）。 - 为什么难：一是"多对一"违反了前六章养成的习惯——之前学的变换都是一一对应、能来回换算的，这里第一次出现"回不去"；二是它看上去像纯数学的怪癖，学生不知道它对应现实中的哪件事，于是当成没用的细节跳过。但它恰恰对应采样最要命的物理现象：这就是 3.2 节频率混叠的另一种说法——采样以后，高于 \(\omega_s/2\) 的频率会与低频"撞在同一个位置"，你分不清它到底是哪个。采样定理要求 \(\omega_s\ge2\omega_h\)，本质就是"让所有真实频率成分都待在主要带里，不要转出圈去撞车"。 - 正确理解：\(z=e^{sT}\) 是多对一的映射；单位圆内 ↔ 稳定这条结论仍然完全正确（因为模长只看 \(\sigma\)，不受转圈影响）。

6.2 稳定的充要条件

据 PPT 幻灯片 53：典型离散系统闭环脉冲传函 \(\Phi(z)=\frac{G(z)}{1+GH(z)}\)，特征方程为

设其根为 \(z_j\)（闭环特征根，即闭环极点），则

采样系统稳定的充要条件是：系统的特征根必须全部位于 \(z\) 平面的单位圆内，即所有特征根的模均小于 1。

\(|z_j|<1\) 稳定；\(|z_j|>1\) 不稳定；\(|z_j|=1\) 临界稳定。

为什么（不许只背）：4.5 节【难点 6】已经推过——离散系统的自然运动是 \(z_j^{\,n}\)。\(|z_j|<1\) 时 \(|z_j|^n\to0\)（衰减），\(|z_j|>1\) 时 \(|z_j|^n\to\infty\)（发散），\(|z_j|=1\) 时不衰不长（等幅）。这与连续系统 \(e^{s_jt}\) 的道理一模一样，只是判据从"实部为负"换成了"模小于 1"。

老师给的实例（转录中的数值）：某二阶离散系统闭环极点为 \(z_1=0.368\)、\(z_2=-0.717\)，两者模长都小于 1，都在单位圆内，故系统稳定。注意 \(z_2\) 是负实数——在 \(z\) 平面上负实轴仍然属于单位圆内的合法稳定区，只不过对应的响应是"正负交替衰减"（PPT 幻灯片 74 第 3 条：\(-1<P_j<0\) 时 \(P_j^k\) 随 \(k\) 奇偶取正负值，瞬态分量是正负交替衰减的脉冲序列）。

【你可能会以为】极点是负数说明不稳定（连续系统里负实部才稳定，这里负数看着"更稳"或者"有问题"）。 但其实：在 \(z\) 平面里符号根本不是判据，模长才是。\(z=-0.9\) 稳定（衰减但来回变号，动态过程难看）；\(z=+1.1\) 不稳定。PPT 幻灯片 76 还给了一条设计建议："在离散系统设计时，应把闭环极点安置在 \(z\) 平面的右半单位圆内，且尽量靠近原点"——靠近原点衰减快，在右半圆内避免交替变号。

老师给的做题顺序（很实用）：考研题里离散系统一般只有二阶、三阶。先尝试因式分解求出闭环极点，直接看在不在单位圆内——这是最快的。只有在分解不出来（比如含参数 \(K\)）时，才动用判据。

6.3 判据一：朱利（Jury）判据

用于直接在 \(z\) 域判断根是否都在单位圆内，不用解方程。PPT 幻灯片 56 只写了一句结构信息："根据闭环特征方程的系数，判别其根是否在 \(z\) 平面单位圆内。构造 \(2n-3\) 行、\(n+1\) 列朱利阵列，见教材 p352。"

老师课上口述了使用方法，我按标准朱利判据整理如下。下面的必要条件与二阶实用结论是标准形式，可放心用；只有阵列的逐行通式（\(b\)、\(c\) 行怎么算）我未逐字核对教材 p352，标【存疑·待核】，考研二阶、三阶题基本用不到通式。

设特征多项式 \(D(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_n\)（老师口述中系数下标的书写方向在 ASR 里有混乱，这里按常见教材写法）。

必要条件（先查，不满足直接判不稳定）：约定把多项式写成最高次项系数 \(a_0>0\) 的形式（若首项为负，整个方程乘 \(-1\)，根不变）。 1. \(a_0>0\)（这是人为规定的写法，不是限制）； 2. \(D(1)>0\)； 3. \((-1)^n D(-1)>0\)，即：当 \(n\) 为偶数时 \(D(-1)>0\)；当 \(n\) 为奇数时 \(D(-1)<0\)。

【难点 11】朱利判据没有"系数全正/全同号"这一条，别把劳斯判据的习惯照搬过来。 - 难在哪：第三章劳斯判据的第一步就是"特征方程系数必须全部同号且不缺项，否则直接判不稳定"，这个动作已经变成肌肉记忆，读到朱利判据时会自动去查系数符号。 - 为什么难：因为两个判据的"稳定区域"根本不是同一块地方。劳斯管的是"根在左半平面"，左半平面的根 \(-a\)（\(a>0\)）相乘相加以后，系数确实必然同号；朱利管的是"根在单位圆内"，单位圆内的根可正可负，展开后的系数完全可以异号。 - 正确理解：朱利判据的必要条件只有上面三条（\(a_0>0\)、\(D(1)>0\)、\((-1)^nD(-1)>0\)），系数异号完全允许。 反例就在本讲自测第 3 题：根 \(z_1=-0.8\)、\(z_2=0.5\) 都在单位圆内（稳定），而 \(D(z)=(z+0.8)(z-0.5)=z^2+0.3z-0.4\)，常数项是负的、和其它两项不同号。你要是按"系数全正"去卡，会把一个稳定系统判成不稳定，直接丢分。

阵列条件：把系数正着排一行、倒着排一行，往下逐行用二阶行列式计算（\(b_0\) 由前两行的"第一列与最后一列"构成的行列式算出，\(b_1\) 由"第一列与倒数第二列"算出，依此类推），一直算到最后只剩三个元素的那一行。然后要求每个奇数行第一个元素的绝对值大于该行最后一个元素的绝对值。在本讲的下标约定（\(a_0\) 配最高次 \(z^n\)、\(a_n\) 是常数项）下写成

共 \(n-1\) 个约束。全部满足 → 系统稳定。

第一条 \(|a_n|<a_0\) 的含义（用这个记，别死背下标）：由韦达定理，多项式全部根之积的绝对值 \(=\left|\dfrac{a_n}{a_0}\right|\)。要求它小于 1，就是要求所有根的模长之积小于 1——这正是"根都在单位圆内"的一个必要后果。所以只要你记住"常数项/最高次系数，绝对值要小于 1"，无论教材把下标从哪一端编号，你都写不反。

二阶系统的实用结论（老师专门讲了，考研最常用）：对 \(D(z)=a_0z^2+a_1z+a_2\)（\(a_0>0\)，\(a_2\) 是常数项），稳定的充要条件是 $\(D(1)>0,\qquad D(-1)>0,\qquad |a_2|<a_0\)$

这三条在说什么：\(D(1)>0\) 与 \(D(-1)>0\) 卡住实轴上 \(z=1\)、\(z=-1\) 两个边界点（\(n=2\) 为偶数，故 \(D(-1)>0\)）；\(|a_2|<a_0\) 卡住"两根模长之积 \(<1\)"。三条合起来恰好等价于"两根都在单位圆内"。

（脚注：老师课上口述的形式经 ASR 记为"\(|a_0|<a_2\)"，方向与此相反；那是口述/转录中下标端点的混淆，按上面这个带韦达定理含义的形式记即可，教材 p352 亦同。）

三阶：老师说需要 \(D(1)>0\)、\(D(-1)<0\)（\(n\) 为奇数），加上阵列给出的约束。具体条数按上面的通式走。

6.4 判据二：双线性变换 + 劳斯判据（\(w\) 域法）

思路（PPT 幻灯片 54）：既然劳斯判据只会判"虚轴"这条直线边界，那我就把单位圆掰直成一条虚轴。用

这式子在说什么：一个把 \(z\) 平面单位圆映成 \(w\) 平面虚轴的坐标变换。 为什么它能做到：PPT 幻灯片 54 给了验证——设 \(z=x+jy\)、\(w=u+jv\)，代入得 $\(w=\frac{(x^2+y^2)-1}{(x-1)^2+y^2}+j\frac{-2y}{(x-1)^2+y^2}\)$ 看实部：\(u\) 的符号完全由分子 \((x^2+y^2)-1\) 决定（分母恒正）。而 \(x^2+y^2=|z|^2\)，所以 - \(|z|<1\)（单位圆内）\(\Rightarrow u<0\)（\(w\) 左半平面）； - \(|z|=1\) \(\Rightarrow u=0\)（\(w\) 虚轴）； - \(|z|>1\) \(\Rightarrow u>0\)（\(w\) 右半平面）。

这就是"\(w\) 平面和 \(s\) 平面完全一致"的意思——在 \(w\) 平面里，稳定 = 根在左半平面，和连续系统一模一样。PPT 原文："只要进行了双线性变换，就可以在 \(w\) 平面内直接使用劳斯判据。"

怎么用（步骤）： 1. 写出 \(z\) 域闭环特征方程 \(D(z)=0\)； 2. 把每个 \(z\) 都换成 \(\frac{w+1}{w-1}\)； 3. 通分、整理成 \(w\) 的多项式（分母 \((w-1)^n\) 可以直接乘掉，因为它不影响根）； 4. 对这个 \(w\) 多项式列劳斯表，用第三章的老规矩判稳、或求 \(K\) 的临界值。

PPT 幻灯片 55 给了一道典型题："单位反馈闭环离散系统，采样周期 \(T=0.1\)s，求系统稳定时 \(K\) 的临界值。"这就是标准考法。

【考试提示（有出处）】《26北方工业大学专业课考点分析》p007 第 3 条原文："离散系统的判稳：有非线性加劳斯和朱利判据两种方法，比较喜欢非线性加劳斯，但这种做法计算量较大，需要用到转化很容易因为步骤出错，就看个人喜欢哪种做法了。"（按上下文，"非线性"应是"双线性"之误。）——说明双线性+劳斯是本校更常见的考法，但容易在代换整理时出错。

我的建议（我的判断）：二阶题优先用朱利的三条简化条件（快、不易错）；含参数 \(K\) 求范围的题优先用双线性变换 + 劳斯（因为劳斯表处理参数是你已经很熟的动作）。两种都要会，因为题目可能指定方法。

7. 本讲末尾的三个"预告"（老师明确留到后面的内容）

（1）暂态性能：思路有两条——① 求出 \(C(z)\)，做 Z反变换（通常用长除法）得到输出序列 \(c(nT)\)，从这一串数里直接读出超调量、调节时间等指标；② 由闭环极点在 \(z\) 平面的分布（离原点多远、在左半圆还是右半圆、是不是复数极点）定性判断响应形态。PPT 幻灯片 73-76 给了完整的响应表达式与六种极点位置的响应形态。老师说这部分下一讲讲。

（2）稳态误差：两条路——① 时域：对 \(E(z)\) 做 Z反变换得 \(e(nT)\)，取 \(n\to\infty\) 的极限；② \(z\) 域：用终值定理 \(e(\infty)=\lim_{z\to1}(z-1)E(z)\)。此外还有和连续系统对应的静态误差系数法（PPT 幻灯片 60-62）：

这三个式子在说什么：它们把"系统对付某一类输入的能力"浓缩成一个数，算出来以后套一个固定的分式就能直接得到稳态误差，不必每题都做终值定理。 每个符号是什么：\(G(z)\) 是开环脉冲传递函数（不是闭环）；\(z\to1\) 这个极限就是"看稳态"（因为 \(s\to0\) 对应 \(z\to1\)，见 4.3 节【难点 5】）；\(K_p\)、\(K_v\)、\(K_a\) 分别是位置、速度、加速度静态误差系数，分别对应单位阶跃、单位斜坡、单位加速度三种输入（含义见 0.1 节词表）。\((z-1)\)、\((z-1)^2\) 这两个因子的作用是"抵消掉 \(G(z)\) 在 \(z=1\) 处的极点"，否则极限是无穷大、算不出有限的系数。 怎么用：先判系统型别，再按输入类型选对应的那个系数，代进稳态误差公式。具体公式和例题下一讲讲，这里你只需要知道有这么三个量、它们分别管哪种输入。

系统型别由 \(G(z)\) 中 \(z=1\) 处极点的个数决定（幻灯片 59）——注意：连续系统看 \(s=0\) 处极点个数，离散系统看 \(z=1\) 处，这正是 4.3 节那条对应关系。老师说这部分下一讲讲。

（3）离散系统的根轨迹：老师明确说，如果 \(z\) 域特征方程已知，按照与连续系统完全相同的绘制规则（先判断该用 180° 还是 0° 根轨迹）在 \(z\) 平面上画即可，只是判稳边界从虚轴换成了单位圆。规则一条不变，这是第四章的直接复用。

（4）最少拍系统设计（PPT 幻灯片 77-80）：指"在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统"。设计的是数字控制器，习惯上也记作 \(D(z)\)：

⚠ 符号撞车提醒（很坑，务必注意）：这里的 \(D(z)\) 是"数字控制器的脉冲传递函数"，和 6.2、6.3 节里表示"特征多项式"的 \(D(z)\) 完全是两回事，只是教材沿用了同一个字母。看到 \(D(z)\) 先看上下文：出现在"\(D(z)=0\)、判根在不在单位圆内"的语境里，是特征多项式；出现在"设计/校正装置"的语境里，是控制器。为避免混淆，本讲后文若再提控制器，会写成"数字控制器 \(D(z)\)"。

这式子在说什么：把"我希望系统表现成什么样"（由 \(\Phi_e(z)\) 指定）反过来解出"那我该在计算机里装个什么算法"。这是反着设计：先定目标，再倒推控制器。 每个符号是什么：\(G(z)\) 是被控对象（含 ZOH）的开环脉冲传递函数，已知；\(\Phi(z)\) 是闭环脉冲传递函数；\(\Phi_e(z)=\frac{E(z)}{R(z)}\) 是误差脉冲传递函数（5.5 节情况一里出现过），\(\Phi_e(z)=1-\Phi(z)\)；\(D(z)\) 是待求的数字控制器。 核心条件：要让稳态误差在有限拍内变成 0，必须让 \(\Phi_e(z)\) 含有 \((1-z^{-1})^m\) 这个因子。其中 \(m\) 是典型输入信号的"阶次"——单位阶跃 \(m=1\)、单位斜坡 \(m=2\)、单位加速度 \(m=3\)（因为这三种输入的 Z变换分母里正好各含 \((1-z^{-1})\) 的 1、2、3 次方，用 \(\Phi_e(z)\) 的这个因子去把它约掉，误差就成了有限项多项式，即有限拍后恒为零）。老师原话大意：这种设计在各院校考研题中涉及非常少，如果学习有难度，这部分内容可以不用掌握（在计算机控制系统课程中会详细学）。 我把它写在这里，是让你知道这块被略过是有明确理由的，不是我替你删了内容；如果你后期时间宽裕，再回头补。

这一讲的骨架（真正要带走的东西）

1. 换舞台，不换戏。离散系统把连续系统的四条线（建模 → 稳定 → 暂态 → 稳态）原样搬了过来，只是工具从"拉氏变换/传递函数/左半平面"换成了"Z变换/脉冲传递函数/单位圆内"。学每一个新概念都要立刻问：它对应连续系统的谁？
2. \(z=e^{Ts}\) 是全章唯一的桥。由它推出：\(z^{-1}\) = 延迟一拍；左半平面 → 单位圆内；\(s\to0\) → \(z\to1\)。这三条推论覆盖了本章八成的"为什么"。
3. "先采样再变换"这句话决定了一切公式的形状。\(Z[G_1G_2]\ne Z[G_1]Z[G_2]\)，所以串联要看有没有采样开关；所以闭环有时求不出脉冲传递函数。
4. 含零阶保持器的开环脉冲传函 \(G(z)=(1-z^{-1})Z[\frac{G_p(s)}{s}]\) 必须能默写并会算，这是考场上最高频的一步。
5. 判稳三件套：先试因式分解看极点模长；不行用朱利判据（二阶三条件最实用）；含参数求范围用双线性变换 + 劳斯。
6. 常用 Z变换表必须背下来，否则每道题第一步就卡死。

诚实说难度：这一讲你第一遍看不懂是完全正常的，而且大概率会卡在两个地方——一是"为什么 \(Z[G_1G_2]\ne Z[G_1]Z[G_2]\)"（卡在这里说明你还没把"Z变换 = 先采样再变换"内化）；二是"闭环什么时候能求 \(\Phi(z)\)"（卡在这里说明你还没习惯把采样开关当成信息闸门看）。这两处不通，后面所有题都做不动，值得停下来反复啃。至于 Z反变换、差分方程，按考点分析的说法本校不考，可以先放轻。

自测（戳穿假懂版）

第 1 题　某系统里所有元件都是模拟电路，只有一个每隔 0.05 s 闭合一次的机械开关。它是连续系统还是离散系统？为什么？

答案要点：离散系统。判据是"系统中有一处或多处信号是脉冲序列或数字信号"，与有没有计算机无关。 答错说明你卡在：把"离散"和"数字/计算机"划等号，没抓住"信号形态"这个真判据（第 1.1 节）。

第 2 题　设 \(G_1(s)=\frac{1}{s}\)、\(G_2(s)=\frac{1}{s+1}\)（取 \(T=1\)s）。分别写出"两者之间有采样开关"和"没有采样开关"时的开环脉冲传递函数，并说明两者为什么不相等。

答案要点：有开关：\(G(z)=\frac{z}{z-1}\cdot\frac{z}{z-e^{-1}}=\frac{z^2}{(z-1)(z-0.368)}\)。无开关：\(G(z)=Z\left[\frac{1}{s(s+1)}\right]=\frac{z(1-e^{-1})}{(z-1)(z-e^{-1})}=\frac{0.632z}{(z-1)(z-0.368)}\)（与 PPT 幻灯片 70 一致）。不相等的原因：Z变换的含义是"先采样再变换"，中间有开关时信号被截断成序列、两段各自离散化；没开关时两段是一个连续整体，只能整体离散化一次。 答错说明你卡在：还在用连续系统"串联即相乘"的直觉（第 5.3 节【难点 7】）。

第 3 题　某离散系统闭环特征方程的根为 \(z_1=-0.8\)、\(z_2=0.5\)。系统稳定吗？它的暂态响应大致是什么样子？

答案要点：稳定，因为 \(|-0.8|=0.8<1\)、\(|0.5|<1\)，两根都在单位圆内。响应形态：\(0.5^n\) 是单调衰减分量；\((-0.8)^n\) 随 \(n\) 奇偶变号，是正负交替衰减的分量，所以整体过程会来回摆动着衰减，动态品质不佳。 答错说明你卡在：（a）如果你说"负根不稳定"——你把连续系统"实部为负才稳定"的判据错搬到 \(z\) 平面了，\(z\) 平面只看模长；（b）如果稳定性答对但形态答不出——你还没把"离散系统的自然运动是 \(z^n\) 而非 \(e^{-at}\)"这条吃透（第 4.5 节【难点 6】）。

第 4 题　某离散系统的采样开关只装在反馈通道里，输入 \(R(s)\) 与前向通道第一个环节 \(G(s)\) 之间没有采样开关。问：能否求出该系统的闭环脉冲传递函数？如果不能，还能不能判断它的稳定性？

答案要点：不能求 \(\Phi(z)\)，只能求 \(C(z)=\frac{RG(z)}{1+HG(z)}\)，因为 \(RG(z)\) 中输入与系统粘在一起、无法分离出 \(R(z)\)。但稳定性照样能判——特征方程 \(1+HG(z)=0\) 存在且与输入无关，解出根看是否都在单位圆内即可。 答错说明你卡在：（a）答"能求，\(C(z)\) 除以 \(R(z)\) 就行"——没理解"传递函数必须与输入无关"这个定义底线；（b）答"求不出就没法分析"——把"传递函数"和"稳定性分析"绑死了（第 5.5 节【难点 8】）。

第 5 题　同一个被控对象 \(G_p(s)\)，方案 A 只有采样器，方案 B 采样器后面再加零阶保持器。两个方案的 \(G(z)\) 极点相同吗？零点相同吗？加 ZOH 对系统动态性能有什么影响？

答案要点：极点相同，零点不同（对照 PPT 幻灯片 67 与 70 的一对结果：极点都是 \(z=1\) 与 \(z=0.368\)，分子一个是 \(0.368z+0.264\)、一个是 \(0.632z\)）。影响：ZOH 引入约 \(T/2\) 的时间滞后与 \(-\omega T/2\) 的相角滞后，使峰值时间和调节时间加长、超调量和振荡次数增加（PPT 幻灯片 72）。 答错说明你卡在：只背了"ZOH 是低通滤波器"，没把它的相位滞后和第五章"滞后吃相角裕度、损害稳定性"接上（第 3.3 节）。

第 6 题　已知某二阶离散系统特征方程为 \(D(z)=z^2+z+K=0\)。不解方程，用你会的方法说明 \(K\) 在什么范围内系统稳定（提示：可用朱利二阶条件，也可用双线性变换）。

答案要点（朱利二阶条件）：\(D(1)=1+1+K=2+K>0\Rightarrow K>-2\)；\(D(-1)=1-1+K=K>0\Rightarrow K>0\)；\(|\)常数项\(|<|\)最高次系数\(|\Rightarrow |K|<1\)。三者取交集得 \(0<K<1\)。 校验思路（这也是我建议你养成的习惯）：\(|K|<1\) 这条的含义是"两根之积的模小于 1"，与"两根都在单位圆内"直接吻合，可以自己检查符号有没有搞反。 答错说明你卡在：朱利条件的三条你只记住了阵列那一条、忘了 \(D(1)\) 与 \(D(-1)\)；或者被 \(n\) 奇偶的符号规则绕晕（第 6.3 节）。

第 7 题　为什么连续系统求稳态误差是 \(\lim_{s\to0}sE(s)\)，离散系统却是 \(\lim_{z\to1}(z-1)E(z)\)？请只用一句话给出根本原因。

答案要点：因为 \(z=e^{sT}\)，\(s=0\) 对应 \(z=e^0=1\)；\(s\) 平面的虚轴（稳定边界）映射成 \(z\) 平面的单位圆，\(s=0\) 这一点落在 \(z=1\)。 答错说明你卡在：把两个终值定理当成两条互不相干的公式硬背（第 4.3 节【难点 5】）。

知识地图

向前串（这一讲依赖前面的什么） - 第二章：拉氏变换、传递函数定义、零初始条件、部分分式展开 → Z变换、脉冲传递函数完全照搬这套框架，连"零初始条件"的措辞都一样。 - 第二章：结构图化简、梅森公式 → 求闭环脉冲传递函数时仍然用它，只是每条通路要额外判断"中间有没有采样开关"。 - 第三章：稳定的充要条件（极点位置）、劳斯判据、终值定理、静态误差系数 → 分别对应本章的"单位圆内"、"双线性变换后用劳斯"、"\(z\to1\) 终值定理"、"\(z=1\) 处极点个数定型别"。 - 第四章：根轨迹绘制规则（180°/0°）→ 在 \(z\) 平面上原样使用。 - 第五章：频率特性、相角滞后损害稳定性 → 用来理解零阶保持器为什么是"必要的坏东西"。

横向串（本章内部怎么连） $\(\text{采样定理（}T\text{怎么选）}\rightarrow\text{采样}+\text{ZOH（信号怎么进出）}\rightarrow Z\text{变换（数学工具）}\rightarrow G(z)\text{（模型）}\rightarrow\begin{cases}\text{稳定性：单位圆 / 朱利 / 双线性+劳斯}\\ \text{暂态：Z反变换（长除法）、极点分布}\\ \text{稳态：}z\to1\text{ 终值定理、}K_p K_v K_a\end{cases}\)$ 四者的枢纽是同一个式子 \(z=e^{Ts}\)：它既是 Z变换的定义，也是 \(s\)→\(z\) 映射的规则，还是"延迟一拍 = 乘 \(z^{-1}\)"的来源。

向后串（后面用在哪） - 下一讲（第 17 讲）：离散系统的暂态性能与稳态误差计算，直接建立在本讲的 \(G(z)\)、\(\Phi(z)\)、\(\Phi_e(z)\) 上——本讲求不对脉冲传函，下一讲一步都走不了。 - 最少拍系统设计：用到 \(\Phi_e(z)\) 与 \((1-z^{-1})^m\)，老师说考研涉及极少，可后置。 - 考试整体：据《26北方工业大学专业课考点分析》p008 的历年表，T8 连续三年都是离散题（判稳+稳态误差 / 求闭环与误差传函 / 由稳态误差求 \(T\) 并分析根分布与响应），p001 也把"离散系统分析"列为七类计算题之一、把"离散稳态误差的因素"列为常考简答点。本章是必拿分，不是选修。